2021北京清华附中高一（上）期末数学（教师版）

2021北京清华附中高一（上）期末

数    学

一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）

1．已知为第三象限角，则为　　

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．已知集合与，的交集为，则的值可以为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

3．已知，，，，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

4．已知点是角终边上一点，则　　

A． B． C． D．

5．“，”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若，则　　

A． B． C． D．

7．函数的图像关于直线对称，则的值可以为　　

A． B． C． D．

8．已知函数在，上的值域为，，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

9．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　　

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时

10．已知函数，若函数在，，上有四个不同的零点，则实数的取值范围为　　

A． B．， C． D．，

二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）

11．函数最小正周期为　 　．

12．已知函数，若，则（1）　　．

13．函数在上单调递增，则实数的最大值为 　　．

14．某种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效的治疗作用，已知服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（克随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中．

（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达 　　小时．

（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，则的最小值为 　　．

15．如果函数的图像可以通过的图像平移得到，称函数为函数的“同形函数”．在①；②；③；④中，为函数的“同形函数”的有 　　（填上正确选项序号即可）

三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）

16．（14分）（Ⅰ）计算求值：

（1）　　；

（2）　　；

（Ⅱ）解关于的不等式：

（1）；

（2）．

17．（14分）已知为第二象限角，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．（14分）已知函数，且．

（Ⅰ）若（2），求的值．

（Ⅱ）若在，上的最大值与最小值的差为1，求的值．

19．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的最大值及最小值．

20．（14分）已知函数，，，且该函数的图像经过点，．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）已知直线与轴交于点，且与函数的图像只有一个公共点．求的最大值．（其中为坐标原点）

21．（15分）已知为不小于3的正整数，记，，，，对于中的两个元素，，，，，，，，定义为，，，中的最小值．

（Ⅰ）当时，，，，求，，的值；

（Ⅱ）若，为中的两个元素，且，求实数的所有可能取值构成的集合．

（Ⅲ）若，且对于任意的，均有，求的最小值．

参考答案

一、选择题：（共10道小题，每小题4分，共40分）

1．【分析】由的范围求出的范围，进而看可确定的范围．

【解答】解：因为，，

所以，，

所以为第四象限．

故选：．

【点评】本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．

2．【分析】根据题意可得，即可判断正确的选项．

【解答】解：集合与，的交集为，

，

的值可以为3．

故选：．

【点评】本题主要考查了集合的交运算，是基础题型，较为简单．

3．【分析】根据不等式的性质判断即可．

【解答】解：由，当时，故不成立；

，

，

，故成立；

，

，

，故不成立；

例如，，，

则，，故不成立．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．

4．【分析】直接利用任意角的三角函数的定义可求，的值，进而根据两角和的余弦公式即可得到结论．

【解答】解：因为点是角终边上一点，

所以，，

所以．

故选：．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：等价于或，

所以“，”是“”的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．

6．【分析】结合指数函数为的单调性即可比较，的大小．

【解答】解：因为在上单调递减，且，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数单调性在比较函数值大小中的应用，属于基础题．

7．【分析】由正弦函数的对称性可令，，解得，再通过的取值可得结论．

【解答】解：由正弦函数的对称性可得，，

解得，，

当时，，

故选：．

【点评】本题考查正弦函数的对称轴方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

8．【分析】先求函数的对称轴，然后结合函数取得最大于最小值的位置即可求解．

【解答】解：的开口向上，对称轴，

且（4），（2），

函数在，内的值域为，，

则实数

故选：．

【点评】本题主要考查了二次函数闭区间上的最值求解，属于基础试题．

9．【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出，的值，运用指数幂的运算性质求解即可．

【解答】解：为自然对数的底数，，为常数）．

当时，，

当时，

当时，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．

10．【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由 的奇函数的性质，转化为，时 有两解，结合函数图像即可得解．

【解答】解：由，

所以 为奇函数，根据对称性可得，时有两个零点即可，

令，

可得，

若，则，，

即 有两解，

结合对称性可得：

如图所示可得：，

所以．

故选：．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分）

11．【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论．

【解答】解：根据三角函数的周期公式可得函数的周期，

故答案为：

【点评】本题主要考查三角函数的周期计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．

12．【分析】首先计算的和为常数，再由已知条件可得所求值．

【解答】解：函数，

则

，

所以（1）（1），

解得（1）．

故答案为：0．

【点评】本题考查函数奇偶性的运用，以及诱导公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

13．【分析】由正弦函数的单调性，求得的增区间，再由集合的包含关系，解不等式可得所求最大值．

【解答】解：函数，

可令，，

解得，，

由题意可得，，，，

即有且，，

即，可得时，取得最大值，

故答案为：．

【点评】本题考查三角函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

14．【分析】（1）由题意可得，则可得的解析式，求解，即可得答案．

（2）先分析有效治疗末端时间点，由此列出满足再服用个单位药剂后，接下来2个小时能持续有效的不等式，利用恒成立 求得的范围，即可得答案．

【解答】解：（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则，

所以 当时，，当时，令，解得，

当 时，令，解得，所以若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达 小时．

（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，则，

所以，

此时，

所以治疗时间末端为第6小时结束，

因为在治疗时间末端再服用个单位药剂，

所以，

所以，

所以 对于任意，恒成立，

所以 对于任意，恒成立，

设，为开口向上，对称轴为的拋物线，

所以在，上单调递增，

所以，故，

所以的最小值为．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

15．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据三角函数图像和图像的变换即可求解．

【解答】解：①，

其可由先纵坐标缩小一半，再向上平移得到，二者不是同形函数，故①错误；

②，

可由向右平移个单位得到，故②正确；

③，

可由向左平移个单位得到，故③正确；

④，

因为的定义域不是，而的定义域是．所以不可能平移得到．故④错误；

综上所述，②③正确．

故答案为：②③．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及三角函数图像和图像的变换，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．

三、解答题（共6道小题，第16～20题每题14分，第21题15分）

16．【分析】（Ⅰ）（1）根据对数定义计算即可；（2）根据诱导公式计算即可；（1）根据一元二次不等式运算即可；（2）根据一元二次不等式解法对进行讨论运算即可．

【解答】解：（Ⅰ）

（1）；

（2）；

（Ⅱ）

（1）一元二次方程的解为，4，

结合二次函数的图像可得一元二次不等式的解集为，；

（2）关于的不等式即为，

当时，原不等式解集为；

时，原不等式解集为，，；

当时，原不等式解集为，，．

【点评】本题考查对数运算、三角函数运算、一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于基础题．

17．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的正切公式即可求解的值．

（Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）因为为第二象限角，且，

所以，

所以．

（Ⅱ）因为为第二象限角，

所以，，，是第一或第三象限角，

所以．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18．【分析】由已知（2）代入即可直接求解；

结合对数函数的单调性对进行分类讨论，结合对数的运算性质可求．

【解答】解：因为（2），

所以，

解得或（舍，

当时，在，上单调递增，

由题意得，，

解得，，

当时，在，上单调递减，

由题意得，，

解得，，

综上，或．

【点评】本题主要考查了指数与对数相互转化及对数函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行转化求解即可．

（Ⅱ）求出角的范围，根据三角函数的最值性质进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）

，

则．

（Ⅱ）当时，，，，，

则，，即，，

则，，，，

即的最大值为，最小值为0．

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的最值性质是解决本题的关键，是中档题．

20．【分析】（1）把已知点的坐标直接代入即可求解，；

，由题意可得相应方程只有一个解，然后结合二次方程根的存在条件可得，的关系，再结合二次函数的性质可求．

【解答】解：由题意得，，

解得，，；

由题意得，，，，

由只有一个解，即只有一个解，

因为，

所以△，

所以，

根据二次函数的性质得，当时，上式取得最大值1，此时取得最大值1．

【点评】本题主要考查了待定系数求解函数解析式及方程根的存在性的应用，还考查了二次函数的性质在求解最值中的应用，属于中档题．

21．【分析】 利用定义计算即得；

根据定义和条件得到不等式组，求解即得；

先找一特例，使得，然后证明不可能更大即可．

【解答】解：，

，

；

若，

，或，

解得或，

即实数的所有可能取值构成的集合；

若，且对于任意的，均有，

当时，，

所以．

若存在，，，，使得，

则，

，

，，矛盾．

所以的最小值．

【点评】本题考查集合的新定义问题，关键是构造与证明相结合的思想方法，属于中档题．