2022-2023学年广东省惠州市龙门高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省惠州市龙门高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设函数y=f(x)在R上可导，则等于( )
A. f′(1)B. 3f′(1)C. 13f′(1)D. f′(−1)
2. 某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有( )
A. 4种B. 5种C. 9种D. 20种
3. 设曲线在点(0,0)处的切线方程为2x−y=0，则a=( )
A. 1B. −1C. 12D. −12
4. 从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A. 6种B. 12种C. 36种D. 60种
5. 函数y=lnx−x的单调递增区间为( )
A. (−∞,1)B. (0,1)C. (−1,1)D. (1,+∞)
6. (2 x−x−1)6的展开式中含x−3项的系数为( )
A. −60B. −240C. 60D. 240
7. 某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是( )
A. 310B. 12C. 625D. 925
8. 已知正项数列{an}满足Sn=n2+2n，若bn=1anan+1，则数列{bn}的前n项的和为( )
A. B. C. n6n+9D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导过程正确的是( )
A. (2x)′=−2x2B. ( x)′=12 x
C. (lnxlna)′=1xlnaD.
10. 已知随机事件A，B的概率分别为P(A)，P(B)，且P(A)P(B)≠0，则下列说法中不正确的是( )
A. P(A|B)C. D.
11. 对任意实数x，有，则( )
A. a2=−144B. a0=1
C. a0+a1+a2+…+a9=1D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）
12. 函数f(x)=x−lnx的最小值为______．
13. (x−2y)5的展开式中x2y3的系数是______.(用数字作答)
14. 函数f(x)=x−ax在x=1处的切线与直线y=2x平行，则a= ．
15. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生a、b、c、d、e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．若每位教师至多指导两名学生，则共有______种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有______种分配方案．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：4A73+2A74A77−A84；
(2)已知1C5m−1C6m=710C7m，求C6m+C6m+1+C7m+2+C8m+3的值．
17. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an−n2，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2在x=−1处取得极值7．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值．
19. (本小题12.0分)
已知二项式(1 x+2x)n(n∈N*)的展开式，____，给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数纸币是1：4；
②所有偶数项的二项式系数和为256；
③展开式中第4项的常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：
(1)求展开式中x−3的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
20. (本小题12.0分)
甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是35，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是45．
(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；
(2)在甲、乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数．
(1)若m=2，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵函数y=f(x)在R上可导，
．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的定义，即可求解．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，从9人中选1人参加某项活动，
若选出为男生，有4种选法，若选出为女生，有5种选法，
则有5+4=9种不同选法；
故选：C．
根据题意，按选出学生为男生或女生分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理，注意题干的条件，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：切线2x−y=0的斜率为2，
由．
故选：C．
根据导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：∵从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，
∴只需要从其余4人中选2人参加座谈会即可，不同的选法有C42=6种．
故选：A．
从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，只需要从其余4人中选2人参加座谈会即可，利用组合知识可得结论．
本题考查组合知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
5.【答案】B
【解析】解：f′(x)=1x−1，令f′(x)>0，解得：0故f(x)的单调递增区间为(0,1)，
故选：B．
对函数求导，令其在定义域内导函数大于0即可找出增区间．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：(2 x−x−1)6的展开式中，通项，r=0，1，2，．
令3−32r=−3，得r=4，
含x−3项的系数为C64⋅(−1)4⋅22=60，
故选：C．
利用二项展开式的通项公式求解即可．
本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式及运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：记“第一次抽到作图题”为事件A，记“第二次抽到作图题”为事件B，
P(A)=A31A41A52=1220=35,P(AB)=A32A52=620=310，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12，
故选：B．
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：Sn=n2+2n，当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1，当n=1时，也满足，
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1，bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，．
故选：C．
由an和Sn的关系，利用公式an=S1(n=1)Sn−Sn−1(n≥2)求出数列{an}的通项公式，可得到数列{bn}的通项公式，利用裂项相消法求前n项的和．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：选项A，，即A正确；
选项B，，即B正确；
选项C，，即C正确；
选项D，，即D错误．
故选：ABC．
根据导数的运算法则，即可得解．
本题考查导数的运算法则，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由条件概率知：P(A|B)=P(AB)P(B)，因为，所以P(A|B)=P(AB)P(B)≥P(AB)，故A不正确；
P(B|A)=P(AB)P(A)，P(A|B)=P(AB)P(B)，P(A)与P(B)不一定相等，所以P(A|B)=P(B|A)不一定成立，故B不正确；
P(B|A)=P(AB)P(A)，P(A|B)=P(AB)P(B)，所以，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABD．
由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案．
本题考查条件概率公式的应用，是中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：，
则，故A正确；
令x=1，a0=−1，故B错误；
令x=2，，故C正确；
令x=0，a0−a1+a2−…−a9=−39，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合二项式定理，以及赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理，以及赋值法，属于基础题．
12.【答案】1
【解析】解：f′(x)=1−1x=x−1x
令f′(x)>0得x>1；令f′(x)<0得0所以当x=1时函数有最小值为f(1)=1
故答案为1．
求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0得到x的范围，求出函数的最小值．
求函数的最值，一般利用函数的导函数的符号判断出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．
13.【答案】−80
【解析】解：根据二项式定理可得展开式中含x2y3的项为C53x2(−2y)3=−80x2y3，
所以x2y3的系数为−80，
故答案为：−80．
根据二项式定理求出展开式中含x2y3的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：由f(x)=x−ax，得f′(x)=1+ax2，
由于切线与直线y=2x平行，∴f′(1)=1+a=2，即a=1．
故答案为：1．
求出原函数的导函数，可得f′(1)，再由两直线平行与斜率的关系列式求解a值．
本题考查导数的概念及其几何意义，考查两直线平行与斜率的关系，是基础题．
15.【答案】90 70
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分成3组，人数分别为(2,2,1)，有C52C32A22=15种分组方法，
②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有A33=6种情况，
则有15×6=90种分配方案；
根据题意，分2步进行分析：
①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，
②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有(C42C22A22+C43)×A22=14种情况，
则有5×14=70种分配方案．
故答案为：90，70．
根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2,2,1)，②将分好的三组，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)4A73+2A74A77−A84=4×7×6×5+2×7×6×5×47×6×5×4×3×2×1−8×7×6×5=7×6×5×4×37×6×5×(4×3×2×1−8)=1216=34．
(2)由1C5m−1C6m=710C7m，可得m!(5−m)!5!−m!(6−m)!6!=7×m×(7−m)!10×7!，
即m!(5−m)!5!−m×(6−m)×(5−m)!6×5!=7×m×(7−m)(6−m)(5−m)!10×7×6×5!，
可得1−(6−m)6=(7−m)(6−m)10×6，整理可得：m2−23m+42=0，
解得m=2或m=21，因为0≤m≤5，可得m=2，
所以C62+C63+C74+C85=C73+C74+C85=C84+C85=C95=126．
【解析】根据排列组合数公式计算即可．
本题考查排列组合数公式应用，考查数学运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵数列{an}满足a1=1，
∴an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)+a1

．
∴an=n2−n+1．
，
∴数列{bn}是等差数列，首项为0，公差为−1，
∴数列{bn}的前n项和．
【解析】(1)利用“累加求和”即可得出；
，利用等差数列的前n项和公式即可得出Sn．
本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+2，所以f′(x)=3x2+2ax+b，
又函数f(x)在x=−1处取得极值7，
∴f(−1)=−1+a−b+2=7f′(−1)=3−2a+b=0,
解得a=−3b=−9，经检验，满足题意；
(2)由(1)得f(x)=x3−3x2−9x+2，
所以f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，
由f′(x)>0，得x>3或x<−1；由f′(x)<0，得−1又x∈[−2,2]，
所以f(x)在(−2,−1)上单调递增，在(−1,2)上单调递减，
因此f(x)max=f(−1)=7．
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
(1)求出函数的导数，根据导数的意义得到关于a，b的方程组，解出即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．
19.【答案】解：选择①：由题意可得Cn1Cn2=14，解得n=9；
选择②：由题意可得2n−1=256，解得n=9；
选择③：展开式的第4项为T4=Cn3(1 x)n−3(2x)3=8Cn3⋅x9−n2为常数项，则9−n2=0，解得n=9，
(1)则二项式为(1 x+2x)9，展开式的通项公式为Tr+1=C9r(1 x)9−r(2x)r=C9r⋅2rx3r−92，r=0，1，...，9，
令3r−92=−3，解得r=1，所以x−3的系数为C91⋅2=18；
(2)因为n=9，所以展开式中二项式系数最大的项为T5=C94⋅24x32=2016x32，T6=C95⋅25x3=4032x3．
【解析】分别选择①②③，求出n=9，(1)求出展开式的通项公式，令x的指数为−3，进而可以求解；(2)根据n的值以及二项式系数的性质与通项公式即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解二项式系数最大的项，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，
则P(A)=C32⋅(35)2⋅(25)=54125；
(2)根据题意，设“选中甲参加测试”为事件A1，“选中乙参加测试”为事件A2，“通过测试”为事件B，
则P(A1)=P(A2)=12，P(B|A1)=35，P(B|A2)=45，
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12×35+12×45=710．
【解析】(1)根据题意，设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率计算可得答案；
(2)根据题意，设“选中甲参加测试”为事件A1，“选中乙参加测试”为事件A2，“通过测试”为事件B，借助条件概率计算可得答案．
本题考查相互独立事件的概率计算，涉及互斥事件概率的计算，属于基础题．
21.【答案】解：(1)当m=2时，f(x)=2x+lnx，，
，又f(1)=2，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=−1×(x−1)，
即x+y−3=0；
(2)若恒成立，则恒成立，
即恒成立，令，
则，则当x∈(0,e−12)时，g′(x)>0，
当x∈(e−12,+∞)时，g′(x)<0，
．
∴m≥0．
即m的取值范围为[0,+∞)．
【解析】(1)把m=2代入函数解析式，求出导函数，得到f′(1)，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案；
(2)把问题转化为恒成立，令，利用导数求其最大值，即可得到实数m的取值范围．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．