2023-2024学年河北省承德多校联考高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德多校联考高二（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x+1>0}，集合B={x||x|≥2}，则( )
A. A⊆BB. ∁UA={x|x<−1}
C. A∪B={x|x≥2}D. A∩B={x|x≥2}
2.若复数z满足(1+3i)z=2+4i，则z的虚部为( )
A. 15iB. −15iC. −15D. 75
3.下列函数中，表示同一函数的是( )
A. f(x)=x，g(x)= x2B. f(x)=lgx2，g(x)=2lgx
C. f(x)=lnex，g(x)=xD. f(x)=sinx,g(x)=cs(x+π2)
4.若M是抛物线y2=2px(p>0)位于第一象限的点，F是抛物线的焦点，|MF|=52p，则直线MF的斜率为( )
A. 54B. 53C. 43D. 52
5.已知等差数列{an}的公差和首项都不为0，且a2，a4，a8成等比数列，则S5a5=( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
6.如图，在四面体A−BCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点，令AB=a，AC=b，AD=c，则AG=( )
A. 13a+16b+16c
B. 16a+13b+12c
C. 13a−16b+16c
D. 16a−13b+12c
7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为13,12，则密码被破译的概率为( )
A. 16B. 23C. 56D. 1
8.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，C上的A，B两点关于原点对称，且|FA|=2|FB|，FA⋅FB=3a2，则C的离心率是( )
A. 52B. 72C. 142D. 262
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知α∈(0,π)，且sinα+csα=15，则( )
A. π2<α<πB. sinαcsα=−1225
C. csα−sinα=75D. csα−sinα=−75
10.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，以下说法正确的是( )
A. an=8n−6
B. 当k=3时，bn=2n
C. 当k=3时，b29不是数列{an}中的项
D. 若b9是数列{an}中的项，则k的值可能为7
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足B1P=λB1D1(0≤λ≤1)，则( )
A. 若λ=1，则AP与BD所成角为π4B. 若AP⊥BD，则λ=12
C. AP/​/平面BC1DD. A1C⊥AP
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y=x23,−1≤x≤0,(23)x,013.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an，则a3= ______，an= ______．
14.二面角α−l−β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=4，则CD的长______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
(1)估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1)
(2)某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
(参考公式：s= i=1nxi2−nx−2n)
(参考数据：2102=44100，1922=36864，1102=12100)
16.(本小题15分)
已知点B(−2,6)，点P在圆E：x2+y2=4上运动．
(1)求过点B且与圆E相切的直线方程；
(2)已知A(−2,−2)，C(4,−2)，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是BC的中点．
(1)求证：AB1⊥A1M；
(2)求二面角B−A1M−C1的大小．
18.(本小题17分)
已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=43，9an+1=6an−an−1(n≥2),an=bn3n−1(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn，并证明：Sn≥1．
19.(本小题17分)
已知A(− 3,1)，B，M是椭圆C上的三点，其中A、B两点关于原点O对称，直线MA和MB的斜率满足kMA⋅kMB=−13．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P、N，若1|PQ|+1|QN|为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x|x+1>0}={x|x>−1}，集合B={x||x|≥2}={x|x≤−2或x≥2}，
∴∁UA={x|x≤−1}，A∪B={x|x≤−2或x>−1}，A∩B={x|x≥2}，
故选：D．
先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵(1+3i)z=2+4i，
∴z=2+4i1+3i=(2+4i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=14−2i10=75−15i，
∴z的虚部为−15，
故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的概念得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：A选项，g(x)=|x|，与f(x)不是同一个函数；
B选项，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，
所以f(x)与g(x)不是同一个函数；
C项，f(x)=g(x)=x，定义域都为R，是同一函数，正确；
D选项，f(x)=sinx，g(x)=−sinx，
所以f(x)与g(x)不是同一个函数．故选C．
判断函数三要素是否相同逐项检验即可．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据定义，|MF|=52p，则点M与准线的距离也是5p2，
设M(x0,y0)，则M与准线的距离为：x0+p2，
∴x0+p2=5p2，x0=2p，
∴y0=2p，
∴点M的坐标(2p,2p)，又F(p2,0)，
∴直线MF的斜率为：2p−02p−12p=43．
故选：C．
设M(x0,y0)，根据定义点M与焦点F的距离等于M到准线的距离得出x0+p2=5p2，即可求出x0，然后代入抛物线方程求出y0，进而即可求出斜率．
本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出点M与焦点F的距离等于M到准线的距离，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d≠0)，
由a2，a4，a8成等比数列，得a42=a2a8，
所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，又d≠0，故a1=d，
所以S5a5=5a1+10da1+4d=15d5d=3．
故选：C．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d≠0)，根据题意可得(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，即a1=d，从而利用S5a5=5a1+10da1+4d进行求解即可．
本题考查等差数列与等比数列的综合问题，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：连接EC，ED，如图所示，
AG=AE+EG=AE+13EF=AE+13×12(EC+ED)=AE+16(EC+ED)=AE+16(AC−AE+AD−AE)=23AE+16AC+16AD=23×12AB+16AC+16AD=13a+16b+16c．
故选：A．
连接EC，ED，利用空间向量运算的几何表示求解．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：甲、乙两人独立地破译一份密码，
设事件A表示甲能破译密码，事件B表示乙能破译密码，
则P(A)=13，P(B)=12，
密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，
∴密码被破译的概率为：
P=1−P(A−B−)=1−P(A−)P(B−)
=1−(1−13)(1−12)
=23．
故选B．
密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，由此利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出密码被破译的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设双曲线的另一焦点为F1，
根据双曲线的对称性以及A，B关于原点对称，可得F1A//BF，且|F1A|=|BF|，
即|FA|=2|FB|=2|F1A|，
又|FA|−|F1A|=2a，
可得|FA|=4a，|F1A|=2a，
所以FA⋅FB=4a×2a×cs∠BFA=3a2，
可得cs∠BFA=38=−cs∠FAF1=−(4a)2+(2a)2−(2c)22×4a×2a，可得13a2=2c2，
故离心率e=ca= 132= 262．
故选：D．
根据双曲线的对称性以及A，B关于原点对称，可得F1A//BF，且|F1A|=|BF|，求出|FA|=4a，|F1A|=2a，再结合余弦定理即可求解结论．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想和计算能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵sinα+csα=15，
∴(sinα+csα)2=sin2α+cs2α+2sinαcsα=1+2sinαcsα=125，
∴可得sinαcsα=−1225<0，故B正确，
又α∈(0,π)，sinα>0，
∴csα<0，
∴π2<α<π，故A正确，
∴csα−sinα=− (csα−sinα)2=− 1−2sinαcsα=− 1−2×(−1225)=−75，故C错误，D正确．
故选：ABD．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcsα=−1225<0，即可判断B，结合范围α∈(0,π)，可得csα<0，即可得解π2<α<π，即可判断A，进而利用平方差公式即可判断CD．
本题考查三角函数的化简求值，考察平方关系与同角三角函数间的关系式的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由题意得an=2+8(n−1)=8n−6，故A正确；
对于B，新数列的首项为2，公差为10−24=2，故bn=2+2(n−1)=2n，B正确；
对于C，由B选项可知b29=58，令8n−6=58，所以n=8，所以b29是数列{an}的第8项，C错误；
对于D，插入k个数，则a1=b1，a2=bk+2+2，a3=b2k+3+a，a4=b3k+4，…，
则等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中对应的下标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，则an=b1+(n−1)(k+1)，
而b9是数列{an}的项，
令1+(n−1)(k+1)=9，当k=7时，n=2，D正确．
故选：ABD．
求出等差数列{an}的通项公式可判断A，求出新数列的首项和公差可判断BC，分析数列{an}与{bn}的下标关系可判断D．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对选项A：λ=1时P与D1重合，AD1与BD所成角为AD1与B1D1所成角，△AB1D1为等边三角形，则AP与BD所成角为60°，错误；
对选项B：如图建立空间直角坐标系，
令AD=1，B1P=λB1D1，P(1−λ,1−λ,1)，AP=(−λ,1−λ,1)，DB=(1,1,0)，AP⋅DB=−λ+1−λ=0，λ=12，正确；
对选项C：D1B1//BD，D1B1⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，
故D 1B1//平面BDC1，
同理可得AD1/​/平面C1BD，AD1∩B1D1=D1，
故面AD1B1//面C1BD，AP⊂平面AD1B1，AP/​/平面C1BD，正确；
对选项D：A1C=(−1,1,−1)，A1C⋅AP=λ+1−λ−1=0，则A1C⊥AP，正确．
故选：BCD．
AD1与BD所成角为AD1与B1D1所成角，为60°，A错误，建系得到AP⋅DB=−λ+1−λ=0，B正确，故面AD1B1//面C1BD，C正确，A1C⋅AP=0，D正确，得到答案．
本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】[0,1]
【解析】解：因为函数函数y=x23,−1≤x≤0,(23)x,0则当−1≤x≤0时，y=x23，则0≤y≤1，
当0则函数的值域为[0,1]，
故答案为：[0,1]．
根据幂函数和指数函数的性质，可解分段函数的值域．
本题考查幂函数和指数函数的性质，属于基础题．
13.【答案】13 1n
【解析】解：因为a1=1,an+1=an1+an，
所以a2=a11+a1=12，a3=a21+a2=121+12=13，故a3=13；
an+1=an1+an，得1an+1=1an+1，
数列{1an}是以1为首项，1为公差的等差数列，即有1an=1+n−1=n，
则an=1n．
故答案为：13；1n．
由n=1，n=2，代入求解可得a3；对已知数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求an．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14.【答案】4
【解析】解：因为二面角α−l−β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面αβ内，AC⊥l，BD⊥l，
所以=60°，AC⋅BA=0，AB⋅BD=0，
又CD=CA+AB+BD，
所以|CD|= (CA+AB+BD)2= CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2AB⋅BD+2CA⋅BD
= CA2+AB2+BD2+2CA⋅BD = 22+22+2×22+2×2×2×2cs120°=4，
即CD的长为4，
故答案为：4．
由已知条件和空间向量加法可得CD=CA+AB+BD，再根据向量模和数量积的关系可得|CD|= (CA+AB+BD)2，由此能求出CD的长．
本题主要考查空间距离的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为0.05+0.15+0.25=0.45<0.5，0.05+0.15+0.25+0.35=0.8>0.5，
所以中位数为x满足70由(80−x10)×0.35+0.1+0.1=0.5，解得x=80−607≈71.4，
设平均分为y，
则y=0.05×45+0.15×55+0.25×65+0.35×75+0.1×85+0.1×95=71.0，
(2)由题意，剩余8个分数的平均值为x0−=10x−−100−808=90，
因为10个分数的标准差s= i=110xi2−10×90210=6，
所以x12+...+x102=10×62+10×902=81360，
所以剩余8个分数的标准差为s0= (x12+⋯+x102)−802−1002−8×9028= 20=2 5．
【解析】本题考查了中位数，平均数以及标准差的求解，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
(1)根据频率分布直方图求解平均数以及中位数的公式即可求解；
(2)根据平均数以及标准差的求解公式即可求解．
16.【答案】解：(1)当过点B的直线斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+2)+6，即kx−y+6+2k=0，
则圆心E到切线的距离为|6+2k| 1+k2=2，解得k=−43，
所以切线方程为y=−43(x+2)+6，即4x+3y−10=0，
当过点P的直线斜率不存在时，切线方程为x=−2，此时直线与圆M相切．
综上，切线方程为4x+3y−10=0或x=−2．
(2)设P点坐标为(x,y)，则x2+y2=4，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)22+(y−6)2+(x−4)2+(y+2)2
=3(x2+y2)−4y+68=80−4y．
因为−2≤y≤2，所以72≤80−4y≤88，
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．
【解析】(1)分斜率是否存在两种情况可求过点B且与圆E相切的直线方程；
(2)设P点坐标为(x,y)，|PA|2+|PB|2+|PC|2=3(x2+y2)−4y+68=80−4y，可求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，以及两点间距离公式，属中档题．
17.【答案】解：(1)证明：在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
由正方体的性质知，BM⊥平面ABB1A1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BM⊥AB1，
又A1B∩BM=B，A1B、BM⊂平面A1BM，
所以AB1⊥平面A1BM，
因为A1M⊂平面A1BM，所以AB1⊥A1M.

(2)设C1D与CD1相交于点N，过点N作NP⊥A1M于点P，连接C1P，
则∠C1PN为二面角C−A1M−C1的大小，
因为正方体的棱长为4，
所以由勾股定理得C1N=2 2，A1N=2 6，MN=2 3，A1M=6，
所以A1N2+MN2=A1M2，即∠A1NM=90°，
所以PN=A1N⋅MNA1M=2 6×2 36=2 2，
在Rt△C1NP中，tan∠C1PN=C1NPN=2 22 2=1，所以∠C1PN=45°，
而二面角B−A1M−C1与二面角C−A1M−C1互补，
所以二面角B−A1M−C1的大小为135°．
【解析】(1)由AB1⊥A1B，BM⊥AB1，结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；
(2)设C1D与CD1相交于点N，过点N作NP⊥A1M于点P，连接C1P，则∠C1PN为二面角C−A1M−C1的大小，结合勾股定理与三角函数，求得∠C1PN，再利用二面角B−A1M−C1与二面角C−A1M−C1互补，能求出二面角B−A1M−C1的大小．
本题考查立体几何的综合应用，考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】证明：(1)因为9an+1=6an−an−1(n≥2)，an=bn3n−1(n∈N*)，
则bn=3n−1an，等式9an+1=6an−an−1(n≥2)两边同时乘以3n−2可得3nan+1=2×3n−1an−3n−2an−1′
即bn+1+bn−1=2bn(n≥2)，所以数列{bn}是等差数列，
且b1=a1=1，b2=3a2=4，等差数列{bn}公差为d=b2−b1=4−1=3，
所以bn=b1+(n−1)d=1+3(n−1)=3n−2，
故an=3n−23n−1；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，且an=3n−23n−1，
则Sn=1+43+732+⋯+3n−23n−1，
所以13Sn=13+432+⋯+3n−53n−1+3n−23n，
两式相减可得
23Sn=1+3(13+132+⋯+13n−1)−3n−23n
=1+3×13×(1−13n−1)1−13−3n−23n=52−6n+52⋅3n，
所以Sn=154−18n+154×3n，
又Sn+1−Sn=an+1=3n+13n>0，即{Sn}为单调递增数列，
所以Sn≥S1=a1=1，即Sn≥1．
【解析】(1)由已知等式变形可得出bn+1+bn−1=2bn(n≥2)，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列{bn}的首项和公差，可求得数列{bn}的通项公式，进而可求得数列{an}的通项公式；
(2)利用错位相减法可求得Sn，分析数列{Sn}的单调性，即可证得结论成立．
本题考查了等比数列的证明和错位相减求和，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设M(x,y)，易知B( 3,−1)，
由kMA⋅kMB=−13，得y−1x+ 3⋅y+1x− 3=−13，
化简得x26+y22=1，故椭圆C的标准方程为x26+y22=1．
(2)∵点Q是椭圆C长轴上的不同于A、B的任意一点，
故可设直线PN的方程为x=my+x0，P(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x=my+x0x26+y22=1，得(m2+3)y2+2mx0y+x02−6=0，
∴y1+y2=−2mx0m2+3,y1y2=x02−6m2+3,Δ>0恒成立．
又|PQ|= 1+m2|y1|,|QN|= 1+m2|y2|，
∴1|PQ|+1|QN|=1 1+m2(1|y1|+1|y2|)=1 1+m2|y1−y2|−y1y2，
=1 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2−y1y2=1 1+m2⋅ (−2mx0m2+3)2−4⋅x02−6m2+3−x02−6m2+3
=26−x02 6m2−3x02+18m2+1=26−x02 6(m2+6−x022)m2+1，
要使其值为定值，则6−x022=1，
故当x02=4，即x0=±2时，1|PQ|+1|QN|= 6．
综上，存在这样的稳定点Q(±2,0)．
【解析】(1)设M(x,y)，由kMA⋅kMB=−13化简可得椭圆C的标准方程；
(2)设直线PN的方程为x=my+x0，与椭圆方程联立，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，又|PQ|= 1+m2|y1|,|QN|= 1+m2|y2|，从而可求1|PQ|+1|QN|的表达式，即可求解．
本题考查了求解椭圆的标准方程，考查了联立直线与椭圆方程解决问题的能力，考查了韦达定理的应用，考查了方程思想，属于难题．