2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市高二（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.英文单词peach所有字母组成的集合记为A，英文单词apple所有字母组成的集合记为B，则A∩B=( )
A. {p}B. {p,e}C. {p,e,a}D. {p,e,a,c}
2.设z=1+i1−i+i2，则z+z−=( )
A. 4B. 2C. −2D. −4
3.若直线a2x+y−1=0的斜率大于−4，则a的取值范围为( )
A. (−2,2)B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−∞,2)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
4.在空间直角坐标系中，已知直线l的一个方向向量为m=(0,−1,− 3)，平面α的一个法向量为n=(0, 3,1)，则直线l与平面α所成的角为( )
A. 30°B. 150°C. 60°D. 120°
5.已知圆C的圆心为抛物线y=x2+2x+3的顶点，且圆C经过点(1,6)，则圆C的方程为( )
A. (x−1)2+(y+2)2=20B. (x+1)2+(y−2)2=20
C. (x−1)2+(y+2)2=16D. (x+1)2+(y−2)2=16
6.在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=( )
A. 12OA+14AB+14ACB. OA+14AB+14AC
C. 12OA+12AB+12ACD. OA+12AB+12AC
7.某地A，B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A(0,0)，B(−2,0)，一条河所在直线的方程为x+2y−5=0.若在河上建一座供水站P，则P到A，B两点距离之和的最小值为( )
A. 4 2B. 32C. 4 3D. 48
8.已知点G为△ABC的重心，D，E分别为AB，AC边上一点，D，G，E三点共线，F为BC的中点，若AF=λAD+μAE，则1λ+4μ的最小值为( )
A. 272B. 7C. 92D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线ax+2y=0与直线x+a(a+1)y+4=0垂直，则a的值可能是( )
A. −32B. −23C. 0D. 1
10.广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示：
则( )
A. 广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增
B. 广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万
C. 从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为12
D. 广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万
11.圆C：x2+y2−4x+6y+13=r2(r>0)与圆D：x2+y2=16的位置关系可能是( )
A. 内含B. 相交C. 外切D. 内切
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，AP=tAD1+(1−t)AB，t∈[0,1]，则( )
A. 当BD1⊥平面ACP时，t=13
B. AP⋅CP的最小值为−13
C. 当点D到平面ACP的距离最大时，t=23
D. 当三棱锥D−ACP外接球的半径最大时，t=23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若f(x)是奇函数，且f(6)=−4+f(−6)，则f(6)= ______ ．
14.在空间直角坐标系中，已知A(5,2,1)，B(4,2,−1)，C(0,−1,0)，D(1,0,1)，则直线AB与CD所成角的余弦值为______ ．
15.直线xcs40°−ysin40°+1=0的倾斜角为______ ．
16.若曲线(x+ 3)( 3x−y−2)=0与圆x2+(y−m)2=m2恰有4个公共点，则m的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l经过直线l1：x−y+1=0与直线l2：2x+y−4=0的交点．
(1)若直线l经过点(3,3)，求直线l在x轴上的截距；
(2)若直线l与直线l3：4x+5y−12=0平行，求直线l的一般式方桯．
18.(本小题12分)
a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知 5asinB=b．
(1)求cs2A；
(2)若A为钝角，且b= 5，c=3，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D，E，F分别为AC，CC1，BC的中点，A1A=2 3，AB=2．
(1)证明：DF/​/平面A1B1E.
(2)若B1F⊥平面α，求平面α与平面A1B1E夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x−y=0所得弦长等于2．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C截直线3x−y=0所得弦长；
(3)若P(x,y)是圆C上的一个动点，求z=x2+y2+4x+6y+18的最小值．
21.(本小题12分)
如图，在底面为梯形的四棱锥E−ABCD中，BC/​/AD，BE⊥底面ABCD，AB=BC=1，BE=AD=3，AC= 2．
(1)证明：AD⊥平面ABE．
(2)延长AB至点F，使得AB=BF，求点F到平面CDE的距离．
22.(本小题12分)
已知圆C：λx2−2x+λy2−4y+6−5λ=0(λ>0)．
(1)证明：圆C恒过两个定点．
(2)当λ=1时，若过点A(−1,0)的直线l与圆C交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，且1y1+1y2等于直线l的斜率，求直线l的斜率．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为英文单词peach所有字母组成的集合记为A，英文单词apple所有字母组成的集合记为B，
所以A={p,e,a,c,h}，B={a,p,l,e}，
所以A∩B={p,e,a}．
故选：C．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵z=1+i1−i+i2=1+i1−i−1=1+i−i=−1+i，
∴z+z−=−1+i−1−i=−2．
故选：C．
先化简z，再代入计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：直线a2x+y−1=0的斜率为−a2，由题意−a2>−4，解得−2故选：A．
先求出直线的斜率，再根据已知条件列不等式求解即可．
本题考查直线的斜率的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设直线l与平面α所成的角为β，β∈[0,π2]，
则sinβ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=2 32×2= 32，则β=60°．
故选：C．
设直线l与平面α所成的角为β，则再由空间向量夹角公式，即可得出答案．
本题考查直线与平面所成角，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=x2+2x+3=(x+1)2+2，
∴顶点坐标为(−1,2)，
即圆C的圆心坐标为(−1,2)，
又圆C经过点(1,6)，
∴R= (−1−1)2+(2−6)2=2 5，
∴圆C的方程为(x+1)2+(y−2)2=20．
故选：B．
求出抛物线的顶点即为圆心坐标，求出半径即可得圆的方程．
本题考查圆的方程的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为D为BC的中点，所以AD=12(AB+AC)．
因为E为AD的中点，
所以AE=14(AB+AC)，
所以OE=OA+AE=OA+14AB+14AC．
故选：B．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：如图，设A关于直线x+2y−5=0对称的点为A′(a,b)，
则a2+2⋅b2−5=0ba⋅(−12)=−1，得a=2b=4，即A′(2,4)，
易知|AP|=|A′P|，当A′，P，B三点共线时，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|取得最小值，最小值为|A′B|= (2+2)2+(4−0)2=4 2．
故选：A．
先求A关于直线x+2y−5=0的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点P，即是P到A，B两点距离之和的最小值，即最小值为A′B．
本题考查线段之和的最小值即点关于直线的对称点的坐标的求法，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为点G为△ABC的重心，所以AG=23AF，则AF=32AG，
因为D，G，E三点共线，AG=23AF=mAD+(1−m)AE，
所以λ=32m,μ=32(1−m)，
所以λ+μ=32,λ,μ∈(0,1],
所以1λ+4μ=(1λ+4μ)(λ+μ)⋅23=23(5+μλ+4λμ)≥23(5+2 4)=6，
当且仅当μλ=4λμ，即μ=1,λ=12时，等号成立，故1λ+4μ的最小值为6．
故选：D．
重心为三条中线的交点，把中线分成了2：1，即AG=23AF，由三点共线定理可知AG=23AF=mAD+(1−m)AE，所以λ=32m,μ=32(1−m)，得λ+μ=32,λ,μ∈(0,1]，再利用基本不等式解决最值问题即可．
本题考查了三点共线定理和基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：直线ax+2y=0与直线x+a(a+1)y+4=0垂直，
则a+2a(a+1)=0，解得a=0或a=−32．
故选：AC．
根据已知条件，结合直线垂线的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由图可知，2021年到2022年常住人口在减少，故A错误；
对于B，将广东省2017到2022年这6年的常住人口(单位：万)按照从小到大的顺序排列为：
11169.00，11346.00，11521.00，12601.25，12656.80，12684.00，
则极差为12684.00−11169.00=1515万，故B正确；
对于C，因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为36=12，故C正确；
对于D，因为6×70%=4.2，所以第70百分位数为12656.80万，故D正确．
故选：BCD．
根据图中信息可判断A选项；将这6年的常住人口数按照从小到大的顺序排列，进而求得极差即可判断B选项；结合古典概型公式即可判断C选项；根据百分位数的定义可判断D选项．
本题考查统计图表的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：圆C的标准方程为(x−2)2+(y+3)2=r2(r>0)，圆D：x2+y2=16，
因为22+(−3)2<16，
所以圆C的圆心在圆D的内部，
所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切．
故选：ABD．
根据已知得到圆C的圆心在圆D的内部，进而求解结论．
本题主要考查圆和圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
12.【答案】AB
【解析】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，
所以BD1=(−1,1,1)，AD1=(0,1,1)，AB=(1,0,0)，CA=(−1,−1,0)，
所以AP=tAD1+(1−t)AB=(1−t,t,t)，即P(1−t,t,t)，
所以CP=(−t,t−1,t)，
对于选项A，当BD1⊥平面ACP时，BD1⋅CP=t+t−1+t=0，解得t=13，即选项A正确；
对于选项B，AP⋅CP=−t(1−t)+t(t−1)+t2=3t2−2t=3(t−13)2−13，
当t=13时，AP⋅CP取得最小值−13，即选项B正确；
对于选项C，当P是BD1的中点，即t=12时，平面ACP⊥底面ABCD，
此时点D到平面ACP的距离最大，即选项C错误；
对于选项D，因为AD⊥CD，
所以过斜边AC的中点作平面DAC的垂线，则三棱锥D−ACP外接球的球心必在该垂线上，
所以可设球心O的坐标为(12,12,x)(0⩽x⩽1)，球的半径为R，
因为|OP|=|OA|=R，所以 (12−t)2+(t−12)2+(t−x)2= 12+x2=R，整理得t(3t−2)=2xt，
在三棱锥D−ACP中，t≠0，所以3t−2=2x，即x=3t2−1，
所以R= 12+(32t−1)2⩾ 22，当且仅当t=23时，等号成立，
此时三棱锥D−ACP外接球的半径最小，即D错误．
故选：AB．
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需各点的坐标，选项A，由BD1⋅CP=0，可求得t的值；选项B，根据二次函数的性质，分析AP⋅CP的取值，即可得解；选项C，由点到面距离的定义，分析得解；选项D，先确定球心的位置，并设出其坐标，再根据|OP|=|OA|=R，计算得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法解决线面垂直，棱锥外接球的处理方法，理解点到面距离的定义等是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
13.【答案】−2
【解析】解：因为f(x)是奇函数，所以f(−6)=−f(6)，
由f(6)=−4+f(−6)，即f(6)=−4−f(6)，
所以2f(6)=−4，则f(6)=−2．
故答案为：−2．
根据奇函数的性质求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】 155
【解析】解：因为CD=(1,1,1)，AB=(−1,0,−2)，
所以cs=AB⋅CD|AB|⋅|CD|=−3 5× 3=− 155，
所以直线AB与CD所成角的余弦值为 155．
先由已知条件求向量AB=(−1,0,−2)，CD=(1,1,1)，再利用向量夹角的余弦值公式即可求解．
本题考查了向量法求异面直线所成角，属于中档题．
15.【答案】50°
【解析】解：∵直线xcs40°−ysin40°+1=0的斜率为k=cs40°sin40∘=sin50°cs50∘=tan50°，
又倾斜角的范围是[0,π)，
∴直线的倾斜角为50°．
故答案为：50°．
求出直线的斜率，结合倾斜角的范围可得直线的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
16.【答案】(−∞,−145)⋃(−145,− 3)⋃(2,+∞)
【解析】解：因为曲线(x+ 3)( 3x−y−2)=0与圆x2+(y−m)2=m2恰有4个公共点，
所以直线x+ 3=0， 3x−y−2=0均与圆x2+(y−m)2=m2相交，且两直线的交点(− 3,−5)不在该圆上，
则有 3<|m|| 3×0−m−2| 3+1<|m|(− 3)2+(−5−m)2≠m2，解得m∈(−∞,−145)⋃(−145,− 3)⋃(2,+∞)．
故答案为：(−∞,−145)⋃(−145,− 3)⋃(2,+∞)．
根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出m的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
17.【答案】解：(1)由x−y+1=02x+y−4=0解得x=1y=2，
即l1和l2的交点坐标为(1,2)，
因为直线l经过点(3,3)，所以直线l的斜率为3−23−1=12，
所以直线l的方程为y−2=12(x−1)，
令y=0，得x=−3，所以直线l在x轴上的截距为−3；
(2)因为直线l与直线l3：4x+5y−12=0平行，
可得直线l的斜率为−45，所以直线l的方程为y−2=−45(x−1)，
即直线l的一般式方程为4x+5y−14=0．
【解析】(1)联立两条直线的方程，解得交点的坐标，进而求出直线l的斜率，代入点斜式方程，可得直线l的方程，令y=0，可得直线l在x轴上的截距；
(2)设直线l的方程，将交点的坐标代入，可得参数的值，进而求出直线l的方程．
本题考查求两条直线的交点坐标及平行线的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为 5asinB=b，
所以由正弦定理，可得 5sinAsinB=sinB，
因为sinB>0，所以sinA= 55，
所以cs2A=1−2sin2A=35；
(2)因为A为钝角，且sinA= 55，
所以csA=− 1−( 55)2=−2 55，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
即a2=5+9−6 5×(−2 55)=26，
所以a= 26，
故△ABC的周长为3+ 5+ 26．
【解析】(1)根据正弦定理求得sinA，再利用倍角公式即可求得cs2A；
(2)由余弦定理求得边a，进而求得三角形周长．
本题考查正弦定理和余弦定理，属基础题．
19.【答案】(1)证明：因为D，F分别为AC，BC的中点，所以DF/​/AB，
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB/​/A1B1，
所以DF//A1B1，
又因为DF⊄平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，
所以DF/​/平面A1B1E；
(2)解：取AB的中点O，连接OC，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(−1,0,2 3)，B1(1,0,2 3)，E(0, 3, 3)，F(12, 32,0)，
所以A1E=(1, 3,− 3)，A1B1=(2,0,0)，
设平面A1B1E的法向量为n=(x,y,z)，所以n⊥A1B1,n⊥A1E，
则n⋅A1B1=2x=0,n⋅A1E=x+ 3y− 3z=0,
取y=1，得x=0，z=1，所以平面A1B1E的一个法向量为n=(0,1,1)，
因为B1F⊥平面α，所有B1F=(−12, 32,−2 3)是平面α的一个法向量，
所以|cs〈n,B1F〉|=|n⋅B1F||n||B1F|=3 32 26=3 7852．
故平面α与平面A1B1E夹角的余弦值为3 7852．
【解析】(1)由题可得DF//A1B1，再由线面平行的判断定理即可证明；
(1)建立空间直角坐标系，求出平面α与平面A1B1E的法向量，由向量法即可求得．
本题考查线面平行的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵圆C与两坐标轴的正半轴都相切，得圆C的圆心在直线x−y=0上，
圆截直线x−y=0所得弦长等于2，
∴圆C的直径为2r=2，即r=1．
设圆心C的坐标为(a,a)(a>0)，
则a=r=1，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=1．
(2)∵圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=1．
∴圆的半径为r=1，圆心C(1,1)到3x−y=0的距离d=2 10，
∴圆C截直线3x−y=0所得弦长为2 1−d2=2 155．
(3)z=x2+y2+4x+6y+18=(x+2)2+(y+3)2+5=[ (x+2)2+(y+3)2]2+5，
∵ (x+2)2+(y+3)2表示点P(x,y)与点A(−2,−3)之间的距离|PA|，
又点P(x,y)在圆C上，∴|PA|的最小值为|AC|−r= (−2−1)2+(−3−1)2−1=4，
∴z的最小值为42+5=21．
【解析】(1)设出圆心坐标，通过圆C与两坐标轴的正半轴都相切，求解半径，求解圆的方程即可．
(2)利用垂径定理，转化求解即可．
(3)利用表达式的几何意义，转化求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)证明：∵AB=BC=1，BE=AD=3，AC= 2，
∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，
又BE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴BE⊥BC，又AB∩BE=B，
∴BC⊥平面ABE，又BC/​/AD，
∴AD⊥平面ABE；
(2)以B为坐标原点，BE,BA,BC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建系如图，

则E(3,0,0)，C(0,0,1)，D(0,1,3)，F(0,−1,0)，
∴CE=(3,0,−1),CD=(0,1,2)，
设平面CDE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CE=3x−z=0n⋅CD=y+2z=0，取n=(1,−6,3)，又FE=(3,1,0)，
∴点F到平面CDE的距离d=|n⋅FE||n|=3 46=3 4646．
【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，即可证明；
(2)建系，利用向量法，向量数量积，即可求解．
本题考查线面垂直的证明，向量法求解点面距问题，属中档题．
22.【答案】(1)证明：圆C的方程可化为λ(x2+y2−5)−2x−4y+6=0．
令x2+y2=5−2x−4y+6=0，得 x=−1y=2，或x=115y=25，
故圆C恒过两个定点，且这两个定点的坐标为(−1,2)和(115,25)；
(2)解：当λ=1时，圆C的方程可化为x2+y2−2x−4y+1=0．
由题知直线l的斜率k存在且不为0，设直线l的方程为y=k(x+1)，
联立y=k(x+1)x2+y2−2x−4y+1=0，消去x得(1+k2)y2−4k(1+k)y+4k2=0，
所以y1+y2=4k(1+k)1+k2y1y2=4k21+k2，Δ=16k2(1+k)2−16k2(1+k2)>0，解得k>0．
因为1y1+1y2=y1+y2y1y2=1+kk，所以1+kk=k，解得k=1± 52，又k>0，
所以k=1+ 52．
【解析】(1)圆的方程可化为λ(x2+y2−5)−2x−4y+6=0，由x2+y2=5−2x−4y+6=0，解方程即可；
(2)求得圆的方程，设直线l的方程为y=k(x+1)，与圆的方程联立，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，解方程可得所求值．
本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．