2022-2023学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省清远市四校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=(m−1)+(m+3)i，其中i为虚数单位.若复数z为实数，则m的值为( )
A. m=1B. m=−1C. m=3D. m=−3
2.命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+1<1B. ∃x∈R，x2+1≤1
C. ∃x∈R，x2+1<1D. ∃x∈R，x2+1≥1
3.下列既是奇函数，在(0,+∞)上又是单调递增函数的是( )
A. y=sinxB. y=lnxC. y=tanxD. y=−1x
4.设向量a=(−1,2)， b=(2,−1)，则(a⋅b)(a+b)等于( )
A. (1,1)B. (−4,−4)C. −4D. (−2,−2)
5.要得到y=sin(2x−π3)的图象，只要将y=sin2x的图象( )
A. 向左平移π3个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
6.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则CD=( )
A. BC−12BAB. −BC−12BAC. −BC+12BAD. BC+12BA
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则
( )
A. ω=1，φ=π6B. ω=1，φ=−π6
C. ω=2，φ=π6D. ω=2，φ=−π6
8.已知a=(3,−1)，b=(1,2)，则下列结论中正确的个数为( )
①与b同向共线的单位向量是( 55,2 55)；
②a与b的夹角余弦值为 25；
③向量a在向量b上的投影向量为(15,25)；
④(a−15b)⊥b．
A. 1个B. 2个C. .3个D. 4个
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 既有大小，又有方向的量叫做向量B. 所有单位向量都相等
C. 平行向量也叫做共线向量D. 零向量的方向是任意的
10.下列不等式中成立的是( )
A. tan45°>tan60°B. sin1C. csπ3>csπ6D. cs(−70°)>sin18°
11.已知sinθ+csθ=15，θ∈(0,π)，则( )
A. sin2θ=−2425B. csθ−sinθ=75C. tanθ=−43D. sinθ2= 55
12.已知函数f(x)=cs2x−1sin2x，则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)的图像关于直线x=π2对称B. 函数f(x)的图像关于点(π2,0)对称
C. 函数f(x)是奇函数D. 函数f(x)在区间(0,π)上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(2,3)，b=(x,6)，且a/​/b，则x=______．
14.函数y= 2−x+lnx的定义域为______．
15.复数z满足z=3+4ii，则z的虚部为______，|z|= ______．
16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图所示，已知▱ABCD的顶点A(−1,−2)，B(3,−1)，C(5,6)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)已知点M(8,10)，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明．
18.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,−2)．
(1)求|a−b|；
(2)已知|c|= 10，且(2a+c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
19.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB= 3bcsA．
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35,−45).
(1)求sin(α+π)的值；
(2)若角β满足sin(α+β)=513，求csβ的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csx(sinx−csx)+1，x∈R．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最小值和最大值．
22.(本小题12分)
对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本C(x)万元，已知C(x)=ax2+49x,0(1)年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：吨)的函数关系式；
(2)当年产量为多少时(精确到0.1吨)，所获年利润最大？最大年利润是多少(精确到0.1吨)？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为复数z=(m−1)+(m+3)i，复数z为实数，
所以m+3=0，解得m=−3．
故选：D．
根据复数的概念列出方程，求解即可．
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：
∃x∈R，使x2+1<1．
故选：C．
全称命题：“∀x∈A，P(x)”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P(x)”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．
本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P(x)”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P(x)”，是解答此类问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=sinx，是正弦函数，是奇函数，在(0,+∞)上不是递增函数，不符合题意，
对于B，y=lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于C，y=tanx，是正切函数，是奇函数，在(0,+∞)上不是递增函数，不符合题意，
对于D，y=−1x，是反比例函数，既是奇函数，在(0,+∞)上又是单调递增函数，符合题意，
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算，属于基础题．
运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算，即可得到．
【解答】
解：向量a=(−1,2)， b=(2,−1)，
则a⋅b=−2−2=−4，
则有(a⋅b)(a+b)=−4(1,1)
=(−4,−4)．
故选B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
【解答】
解：将y=sin2x向右平移π6个单位得：y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：在△BCD中，CD=CB+BD=−BC+12BA，
故选C．
根据向量的几何意义即可求出
本题考查了向量的加减混合运算，属于基础题
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象，属基础题．
由题意可得A=1，由周期可得ω=2，可得y=sin(2x+φ)，代点(π3,1)可得φ值．
【解答】
解：由题意可得A=1，T4=7π12−π3=π4，
∴周期T=π，∴ω=2ππ=2，
∴y=sin(2x+φ)，
代点(π3,1)可得1=sin(2π3+φ)，
结合|φ|<π2可得2π3+φ=π2，
解得φ=−π6．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：∵a=(3,−1)，b=(1,2)，
∴a⋅b=1，|a|= 10，|b|= 5，
①与b同向共线的单位向量是b|b|=1 5(1,2)=( 55,2 55)，即①正确；
②a与b的夹角余弦值为a⋅b|a|⋅|b|=1 10× 5= 210，即②错误；
③向量a在向量b上的投影为a⋅b|b|=1 5= 55，投影向量为 55b|b|=(15,25)即③正确；
④∵(a−15b)⋅b=a⋅b−15b2=1−15×( 5)2=0，∴(a−15b)⊥b，即④正确，
综上，正确的有3个．
故选：C．
易知a⋅b=1，|a|= 10，|b|= 5，①与b同向共线的单位向量是b|b|；②由a⋅b|a|⋅|b|，得解；③向量a在向量b上的投影为a⋅b|b|，投影向量为 55b|b|，④验证(a−15b)⋅b=0是否成立，即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，理解单位向量、投影向量，以及熟练掌握平面向量数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：既有大小，又有方向的量叫做向量，故A正确；
所有单位向量的模都相等，方向不一定相同，故B错误；
平行向量也叫做共线向量，故C正确；
零向量的方向是任意的，故D正确．
故选：ACD．
由向量及其有关概念逐一分析四个选项得答案．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对A，因为tan45°=1对B，因为sin2=sin(π−2)，1<π−2<π2，所以sin1对C，因为csπ3=12对D，cs(−70°)=cs70°=sin20°>sin18°，故D正确．
故选：BD．
根据特殊角的三角函数可判断AC，由三角函数的诱导公式及正弦函数的单调性可判断BD．
本题考查三角函数的性质，考查比较大小的问题，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题．
将已知等式两边平方，由同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦即可求得sin2θ，从而判断选项A；求出sinθcsθ=−1225，结合已知即可求得sinθ，csθ，从而可判断选项B，C；利用二倍角的余弦公式可求得sinθ2，即可判断选项D．
【解答】
解：sinθ+csθ=15，两边同时平方得sin2θ+2sinθcsθ+cs2θ=125，
即1+sin2θ=125，
所以sin2θ=−2425，故A正确；
sinθcsθ=−1225，联立sinθ+csθ=15，
解得sinθ=45，csθ=−35或sinθ=−35，csθ=45，
因为θ∈(0,π)，所以sinθ=45，csθ=−35，
所以csθ−sinθ=−75，故B错误；
tanθ=sinθcsθ=−43，故C正确；
因为θ∈(0,π)，所以θ2∈(0,π2)，
所以sinθ2= 1−csθ2=2 55，故D错误．
故选：AC．
12.【答案】BC
【解析】解：由于f(x)=cs2x−1sin2x=−2sin2x2sinxcsx=−tanx(x≠kπ2)；
故函数f(x)是周期为π的奇函数，函数的图象关于(π2,0)对称，函数没有对称轴，函数在区间(0,π)上不具备单调性；
故选：BC．
直接利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成f(x)=−tanx，进一步利用正切函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：由题意知存在一实数λ使得：a=λb
∴(2,3)=λ(x,6)
∴2=λx 3=6λ
∴λ=12x=4
答案为：4
由a/​/b，必存在一实数λ使得a=λb，即可解出x的值．
本题主要考查平行向量的判定定理的逆应用．
14.【答案】(0,2]
【解析】解：由2−x≥0x>0，解得0∴函数y= 2−x+lnx的定义域为(0,2]．
故答案为：(0,2]．
直接由根式内部的代数式大于等于0，对数的真数大于0，联立不等式组求解即可．
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
15.【答案】−3 5
【解析】解：由已知可得z=3+4ii=4−3i，
所以，复数z的虚部为−3，
|z|= 42+(−3)2=5．
故答案为：−3；5．
利用复数的除法法则可化简复数z，利用复数的概念及模长公式可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】100 6
【解析】【分析】
本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
设此山高h(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】
解：设此山高h(m)，则BC= 3h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得 3hsin30°=600sin45∘，
解得h=100 6(m)
故答案为：100 6．
17.【答案】解：(1)由平行四边形可得：DC=AB，又A(−1,−2)，B(3,−1)，C(5,6)，AB=(4,1)，
所以OD=OC−AB=(5,6)−(4,1)=(1,5)，
∴D的坐标为(1,5)；
(2)A，M，C三点共线；
因为A(−1,−2)，C(5,6)，M(8,10)，
所以AC=(6,8),AM=(9,12)=32AC，又AC,AM有公共点A，
所以A，M，C三点共线．
【解析】(1)由平行四边形可得DC=AB，然后根据向量的坐标运算即得；
(2)根据坐标关系可得AM=32AC，进而即得．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a=(1,2)，b=(3,−2)
所以a−b=(−2,4)，
所以|a−b|= 4+16=2 5；
(2)由题知，a=(1,2)，|c|= 10，(2a+c)⊥c，
所以|a|= 5，(2a+c)⋅c=0，
所以2a⋅c+c2=0，
所以2× 5× 10×cs〈a,c〉+10=0，
所以cs=− 22，
因为∈[0,π]，
所以向量a与向量c的夹角为3π4．
【解析】(1)根据向量的坐标运算求向量的模即可；
(2)由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为asinB= 3bcsA，由正弦定理可得：sinAsinB= 3sinBcsA，
在三角形中，sinB≠0，所以tanA= 3，A∈(0,π)，
所以A=π3；
(Ⅱ)因为a= 7，b=2，A=π3，
由正弦定理可得：asinA=bsinB，即 7sinπ3=2sinB，
可得sinB= 3 7，因为a>b，可得B所以csB= 7−3 7=2 7，
所以在三角形中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 32⋅2 7+12⋅ 3 7=3 2114，
所以S△ABC=12absinC=12⋅ 7⋅2⋅3 2114=3 32．
【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式，由三角形中，B角的正弦值不等于0，可得A的正切值，进而求出A角的大小；
(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理可得B的正弦值，由三角形中，大边对大角可得B为锐角，再由三角形中，C的正弦用A，B的角表示可得sinC，代入三角形的面积公式，求出三角形的面积．
本题考查三角形中正弦定理的应用及三角形面积的求法，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：
(1)∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(−35,−45).
∴x=−35，y=−45，r=|OP|= (−35)2+(−45)2=1，
∴sin(α+π)=−sinα=−yr=45；
(2)由x=−35，y=−45，r=|OP|=1，
得sinα=−45，csα=−35，
又由sin(α+β)=513，
得cs(α+β)=± 1−sin2(α+β)
=± 1−(513)2=±1213，
则csβ=cs[(α+β)−α]
=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=1213×(−35)+513×(−45)=−5665，
或csβ=cs[(α+β)−α]
=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα
=−1213×(−35)+513×(−45)=1665．
∴csβ的值为−5665或1665．
【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
(1)由已知条件即可求r，则sin(α+π)的值可得；
(2)由已知条件即可求sinα，csα，cs(α+β)，再由csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα，代值计算得答案．
21.【答案】解：(I)f(x)=2csx(sinx−csx)+1=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)．
因此，函数f(x)的最小正周期为π．
(II)因为f(x)= 2sin(2x−π4)在区间[π8,3π8]上为增函数，在区间[3π8,3π4]上为减函数，
又f(π8)=0,f(3π8)= 2,f(3π4)= 2sin(3π2−π4)=− 2csπ4=−1，
故函数f(x)在区间[π8,3π8]上的最大值为 2，最小值为−1．
【解析】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y=Asin(ωx+ϕ)的性质等基础知识，考查基本运算能力．
(I)先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
(II)根据正弦函数的单调性和x的范围，进而求得函数的最大和最小值．
22.【答案】解：(1)当基底产出该中药材40吨时，年成本为1600a+49×40+250万元，
利润为50×40−(1600a+49×40+250)=190，解得a=−14，
则L(x)=14x2+x−250,0(2)当x∈(0,50]，y=−14x2+x−250，对称轴为x=−2<0，则函数在(0,50]上单调递增，故当x=50时，ymax=425，
当x∈(50,100]时，y=−x−144002x+1+620=−(x+144002x+1)+620=620.5−(2x+12+144002x+1)≤620.5−120 2≈451.3，
当且仅当2x+12=144002x+1，即x=60 2−12≈84.1时取等号，
因为425<451.3，所以当年产量为84.1时，所获年利润最大，最大年利润是451.3．
【解析】(1)由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；
(2)当x∈(0,50]时，求得ymax万元；当x∈(50,100]时，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．