2022-2023学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学模拟试卷（一）（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学模拟试卷（一）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若为a实数，且2+ai1+i=3+i，则a=( )
A. −4B. −3C. 3D. 4
2.已知向量a=(2,1)，b=(−1,λ)，若a//b，则实数λ=( )
A. 2B. 12C. −2D. −12
3.已知OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. a−b+c−d=0B. a−b−c+d=0
C. a+b−c−d=0D. a+b+c+d=0
4.某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体底面对角线AC的实际长度为( )
A. 6
B. 4 6
C. 4 2
D. 2 10
5.已知向量a=(m,2)，b=(1,1)，c=(1,3)，且(2a−b)⊥c，则实数m为( )
A. −4B. −3C. 4D. 3
6.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(3,2)，C(4,5)，则△ABC的面积为( )
A. 3B. 52C. 5 52D. 5
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，若f(x)的图象关于点(π3,0)对称，且直线y=1与函数f(x)的图象的两个交点之间的最短距离为π，则下列四个结论中错误的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的单调递减区间是[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z
C. f(x)的图象关于直线x=−π12对称
D. f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数
8.定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区.地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈“回“字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成“水环寺，楼抱殿“独特格局.某同学为测量寺内观音塔的高度MN，在观音塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，观音塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部M的仰角为15°，观音塔的高度约为( )
A. 32mB. 39mC. 45mD. 55m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B. 若向量a，b满足|a|>|b|，且同向，则a>b
C. 若|a|≠|b|，则a与b可能是共线向量
D. 若非零向量AB与CD平行，则A、B、C、D四点共线
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列关于函数g(x)=f(2x)的结论中，正确的是( )
A. g(x)的最小正周期为2π
B. g(x)的单调递增区间为[5π24+kπ2,11π24+kπ2],(k∈Z)
C. 当x∈[−π6,0]时，g(x)的最大值为1
D. g(x)在区间[0,2π]上有且仅有7个零点
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若acsA=bsinB，则A=B
B. A>B是sinA>sinB的充要条件
C. 若a=1，b=2，A=30°，则解此三角形必有两解
D. 若△ABC是锐角三角形，则sinA+sinB>csA+csB
12.对于任意两个向量a,b，下列命题正确的是( )
A. |a+b|≤|a|+|b|B. |a−b|≤|a|−|b|
C. |a⋅b|≤|a|⋅|b|D. 若|a|>|b|，则a>b
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.△ABC中，(a−c)sinA+csin(A+B)=bsinB，则B= ______．
14.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，点E，F分别在BC，CD上，若EC=2BE，F为CD的中点，则AC⋅EF= ______．
15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(2a−c)csB=bcsC，且b= 3，则△ABC周长的最大值为 ．
16.对于△ABC，有如下命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②若sinA=csB，则△ABC为直角三角形；
③若sin2A+sin2B+cs2C<1，则△ABC为钝角三角形；
④若满足C=π6，c=4，a=x的三角形有两个，则实数x的取值范围为(4,8)．
其中正确说法的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i．
(Ⅰ)当实数m取什么值时，复数z是：
①实数；
②纯虚数；
(Ⅱ)当m=0时，化简z2z+5+2i．
18.(本小题12分)
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE=23AD,AB=a,AC=b．
(1)用a,b表示AE,BE；
(2)求证：B，E，F三点共线．
19.(本小题12分)
已知向量a=(−2 3sinx,cs2x)，b=(csx,6)，设函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)=0,b= 7，3sinA−2sinC=0，求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(π12,0)，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为(π3,5)．
(1)求函数的解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)若将此函数的图象向左平移m(m>0)个单位，再向下平移2个单位长度得到g(x)图象正好关于y轴对称，求m的最小正值．
21.(本小题12分)
(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=a2+bc，tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB，判断△ABC的形状；
(2)在△ABC中，B=120°,AB= 2，角A的平分线AD= 3，求AC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查复数相等的条件和复数的四则运算，属于基础题．
去分母后进行乘法运算，然后根据复数相等的条件求得．
【解答】
解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，
则a=4，
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：由题设−12=λ1，故λ=−12．
故选：D．
由向量共线的坐标表示求参数即可．
本题主要考查了向量共线的坐标关系，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，解题时要结合实际情况注意公式的灵活运用，属于基础题．
观察四个选取项，由题设条件知a−b+c−d=BA+CD=0．
【解答】
解：∵在平行四边形ABCD中OA=a,OB=b,OC=c,OD=d，
∴a−b+c−d=BA+DC=0．
故答案选：A．
4.【答案】B
【解析】解：由题意知，把四边形OABC的直观图还原为平面图形，如图所示：
则OA=O1A1=6，OD=2 22+22=4 2，CD=O1C1=2，
所以OC2= (4 2)2+22=36，则OC=6，
又因为cs∠AOC=cs(90°+∠COD)=−sin∠COD=−26=−13，
由余弦定理得，AC2=62+62−2×6×6×(−13)=96，
解得AC=4 6，
即该几何体底面对角线AC的实际长度为4 6．
故选：B．
把四边形OABC的直观图还原为平面图形，利用直观图与原平面图形的关系，即可求出结果．
本题考查了平面直观图与原图形的关系应用问题，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：2a−b=(2m,4)−(1,1)=(2m−1,3)，
由于(2a−b)⊥c，
所以(2a−b)⋅c=2m−1+9=2m+8=0,m=−4．
故选：A．
根据向量垂直列方程，化简求得m的值．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：|BC|= (4−3)2+(5−2)2= 10，
BC所在直线方程为y−25−2=x−34−3，即3x−y−7=0．
∴A(1,1)到直线BC的距离d=|3−1−7| 10= 102，
∴△ABC的面积为S=12× 10× 102=52．
故选：B．
利用两点间的距离公式求得|BC|，再求出BC所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线BC的距离，代入三角形面积公式得答案．
本题考查两点间的距离公式及点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题知直线y=1与函数f(x)的交点之间的最短距离为π，所以T=π，故A正确；
所以ω=2ππ=2，所以f(x)=sin(2x+φ)，
因为f(x)的图象关于点(π3,0)对称，所以2π3+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ−2π3，k∈Z，又因为0<φ<π2，所以当k=1时，
φ=π3，所以f(x)=sin(2x+π3)，令π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z，B正确：
因为sin[2×(−π12)+π3]=sinπ6=12≠±1，故C错误；
函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数g(x)=sin[2(x−π6)+π3]=sin2x为奇函数，D正确．
故选：C．
y=1是函数的最大值，由此确定ω，再根据f(x)的图象关于点(π3,0)对称，确定φ=π3，求出函数f(x)的解析式后，根据y=sinx的性质可判断B，C项；再根据平移变换规律判断D项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，AC=ABsin30∘=45，
在△ACM中，∠CAM=30°+15°=45°，∠ACM=180−45°−30°=105°，
∴∠AMC=30°，由正弦定理ACsin∠AMC=MCsin∠CAM，
得CM=ACsin30∘⋅sin45°=90× 22=45 2，
又在Rt△CMN中，MN=MC⋅sin45°=45．
故选：C．
先在Rt△ABC中求出AC的长度，然后再求出△ACM中的∠CAM，∠ACM，利用正弦定理求出CM，最后在△CNM中利用三角函数的定义求出MN的长度即可．
本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A项，|a|=|b|只能说明a、b的长度相等，不能判断它们的方向，因而选项A错误；
对于B项，向量不能比较大小，因而选项B错误；
对于C项，|a|≠|b|只能说明a、b的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；
对于D项，AB与CD平行，可能AB/​/CD，即A、B、C、D四点不一定共线，因而选项D错误．
故选：ABD．
因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、B；再利用共线向量的含义可判断选项C、D．
本题考查向量的概念，主要是向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由题可知A=1，T2=23π−π6=π2，
∴T=π,ω=2πT=2，
故f(x)=sin(2x+φ)，
f(x)图象过点(π6,0)，
∴f(π6)=sin(π3+φ)=0，即π3+φ=π+2kπ⇒φ=2π3+2kπ,k∈Z，
∵0<φ<π，
∴φ=2π3，
故f(x)=sin(2x+2π3)，
∵g(x)=f(2x)，
∴g(x)=sin(4x+2π3)，g(x)的最小正周期为T=2π4=π2，故A错误；−π2+2kπ≤4x+23π≤π2+2kπ⇒−724π+kπ2≤x≤−π24+kπ2(k∈Z)，即5π24+k1π2≤x≤11π24+k12π(k1∈Z)，故B正确；
x∈[−π6,0]，4x+2π3∈[0,2π3]，
当4x+23π=π2时，g(x)max=1，故C正确；
当x∈[−π6,0]时，
则4x+2π3∈[0,2π3]，
当4x+23π=π2时，g(x)max=1，故C正确；
令4x+23π=kπ⇒x=−π6+kπ4,(k∈Z)，
∵x∈[0,2π]，
∴零点可取值为当k=1时，x=π12；
当k=2时，x=π3；
当k=3时，x=7π12；
当k=4时，x=5π6；
当k=5时，x=13π12；
当k=6时，x=4π3；
当k=7时，x=19π12；
当k=8时，x=11π6，符合题意；
当k=9时，x=25π12>2π，不符合题意；
故g(x)在区间[0,2π]上有且仅有8个零点，故D错误．
故选：BC．
根据图像求出函数f(x)的解析式，从而可得三角函数g(x)的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对A选项，∵acsA=bsinB，
∴根据正弦定理可得：sinAcsA=sinBsinB=1，
即tanA=1，∴A=45°，∴不能得到A=B，∴A选项错误；
对B选项，∵A>B⇔a>b，
又根据正弦定理可得a>b⇔sinA>sinB，
∴A>B⇔sinA>sinB，∴B选项正确；
对C选项，∵a=1，b=2，A=30°，
又根据正弦定理可得asinA=bsinB，
∴112=2sinB，∴sinB=1，∴B=90°，
∴此三角形只有一解，∴C选项错误；
对D选项，∵△ABC是锐角三角形，
∴A+B>π2，又A，B∈(0,π2)，
∴π2>A>π2−B>0，π2>B>π2−A>0，
又y=sinx在(0,π2)上单调递增，
∴sinA>sin(π2−B)，sinB>sin(π2−A)，
∴sinA>csB，sinB>csA，
∴sinA+sinB>csA+csB，∴D选项正确．
故选：BD．
根据正弦定理，三角形的性质，三角函数的单调性，即可分别求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，三角函数的单调性应用，属中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由向量加法的运算性质可得|a+b|≤|a|+|b|，A正确；
对于B，由向量加法的运算性质可得|a−b|≥|a|−|b|，B错误；
对于C，|a⋅b|=|a||b||csθ|≤|a||b|，C正确；
对于D，向量不能比较大小，D错误；
故选：AC．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质，涉及向量的线性运算，属于基础题．
13.【答案】π3
【解析】解：∵sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，
∴(a−c)sinA+csinC=bsinB，
由正弦定理角化边得(a−c)a+c2=b2，
即a2+c2−b2=ac，
∴csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
又B∈(0,π)，
∴B=π3．
故答案为：π3．
先利用诱导公式变形，然后利用正弦定理角化边，将等式代入余弦定理求角．
本题考查了诱导公式，重点考查了两角和与差的三角函数及正弦、余弦定理，属基础题．
14.【答案】1
【解析】解：由题意知，AB⋅AD=|AB||AD|cs∠BAD=2×2×cs60°=2，
因为AC=AB+AD，
AE=AB+BE=AB+13AD，
AF=AD+DF=AD+12AB，
所以EF=AF−AE=(AD+12AB)−(AB+13AD)=−12AB+23AD，
所以AC⋅EF=(AB+AD)⋅(−12AB+23AD)=−12|AB|2+16AB⋅AD+23|AD|2=−12×4+16×2+23×4=1．
故答案为：1．
以AB，AD为基底，根据平面向量的线性运算法则，表示出AC和EF，再由向量数量积的运算法则，求解即可．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的基本定理，线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】3 3
【解析】解：因为(2a−c)csB=bcsC，由正弦定理可得(2sinA−sinC)csB=sinBcsC，
所以，2sinAcsB=sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)=sinA，
因为A、B∈(0,π)，则sinA>0，所以，csB=12，故B=π3，
由余弦定理可得3=b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3(a+c)24=(a+c)24，
所以，(a+c)2≤12，即a+c≤2 3，故a+b+c≤3 3，
当且仅当a=c= 3时，等号成立，故△ABC周长的最大值为3 3．
故答案为：3 3．
利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得csB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得a+c的最大值，即可得出△ABC周长的最大值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
16.【答案】③④
【解析】解：①∵sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π−2B，
∴A=B或A+B=π2，
∴得出△ABC为等腰三角形错误；
②∵sinA=csB，
∴sinA=sin(π2−B)，
∴A=π2−B或A=π−(π2−B)，
∴A+B=π2或A−B=π2，
∴得出△ABC为直角三角形错误；
③∵sin2A+sin2B+cs2C<1，
∴sin2A+sin2B+cs2C∴sin2A+sin2B∴根据正弦定理得，a2+b2然后根据余弦定理得，csC<0，
∴C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形，∴该命题正确；
④∵C=π6,c=4,a=x，
∴根据正弦定理得xsinA=412，
∴x=8sinA，
根据题意，π6∴12∴4故答案为：③④．
命题①，当2A=π−2B时，得不出△ABC为等腰三角形，从而判断该命题错误，同样的方法可判断命题②错误；命题③可得出sin2A+sin2B本题考查了三角函数的诱导公式，正余弦定理，考查了计算和推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)①当m2−3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．
②当2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0时，解得m=−12或m=2m≠1且m≠2，
即m=−12时，复数z为纯虚数．
(Ⅱ)当m=0时，z=−2+2i，
∴z2z+5+2i=−8i3+4i=−8i(3−4i)25=−3225−2425i．
【解析】(I)利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．
(II)当m=0时，z=−2+2i，再利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵D为BC的中点，
∴AD=12(AB+AC)，
∴AE=23AD=13(a+b)，
∴BE=AE−AB=13(a+b)−a=13b−23a；
(2)证明：BE=13b−23a，BF=12b−a，
则BE=23BF，
又BE，BF有公共点B，
故B，E，F三点共线．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解；
(2)根据已知条件，先求出BE，BF，再结合二者之间的关系，即可求解．
本题主要考查向量的共线，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b=−2 3sinxcsx+6cs2x=− 3sin2x+3(cs2x+1)=−2 3sin(2x−π3)+3，
当sin(2x−π3)=−1时，f(x)取得最大值，为2 3+3．
(2)∵△ABC为锐角三角形，∴0∵f(B)=−2 3sin(2B−π3)+3=0，
∴sin(2B−π3)= 32，
∴2B−π3=π3，即B=π3，
由正弦定理和3sinA−2sinC=0，知3a=2c，
由余弦定理知，csB=a2+c2−b22ac=12，即a2+94a2−73a2=12，
∴a=2，c=3，
∴△ABC的面积S=12ac⋅sinB=12×2×3× 32=3 32．
【解析】(1)结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得f(x)=−2 3sin(2x−π3)+3，从而知f(x)的最大值；
(2)由锐角△ABC，推出−π3<2B−π3<2π3，再结合f(B)=0，求得B=π3，由正弦定理知3a=2c，再利用余弦定理求出a=2，c=3，最后由S=12ac⋅sinB，得解．
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形的面积公式与二倍角公式、辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由已知可得A=5，T4=π3−π12=π4，
∴T=2πω=π，
∴ω=2；
∴y=5sin(2x+φ)，
由5sin(2×π12+φ)=0得，π6+φ=0，
∴φ=−π6，
∴y=5sin(2x−π6)；
(2)由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，
得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
∴该函数的增区间是[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；
(3)g(x)=5sin(2x+2m−π6)−2，
∵g(x)图象正好关于y轴对称，则2m−π6=kπ，
∴解得m=kπ2+π12，当k=0，m的最小正值为π12．
【解析】(1)由已知可得A=5，T=2πω=π，ω=2；由5sin(2×π12+φ)=0⇒π6+φ=0，于是可求得函数的解析式；
(2)由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)即可求得函数的增区间；
(3)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换知g(x)=5sin(2x+2m−π6)−2，由g(x)图象正好关于y轴对称，则可得2m−π6=kπ，即可解得m的最小正值．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定与其图象变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，b2+c2=a2+bc，
所以b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=12，
又因为A为△ABC的内角，
所以A=π3，
由tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB，得tanA+tanB1−tanAtanB=− 3=tan(A+B)，
所以A+B=2π3,A=B=C=π3，
所以△ABC的是等边三角形；
(2)如图，在△ABD中，由正弦定理，得ADsinB=ABsin∠ADB，

∴sin∠ADB= 22，
由题意知0°<∠ADB<60°，
∴∠ADB=45°，
∴∠BAD=180°−45°−120°=15°，
∴∠BAC=30°,C=30°,BC=AB= 2，
在△ABC中，由正弦定理，得ACsinB=BCsin∠BAC，
∴AC=BCsinBsin∠BAC= 2× 3212= 6．
【解析】(1)利用余弦定理可得A=π3，根据两角和的正切公式结合条件可得A+B=2π3，进而即得；
(2)根据正弦定理结合条件可得∠ADB=45°，然后再利用正弦定理即得．
本题主要考查三角形形状的判断，考查转化能力，属于中档题．