辽宁省岫岩满族自治县第二高级中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019--2020岫二高三数学上学期期中理科试卷（B）

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1.若集合，且，则集合可能是 

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

先解出A＝（0，2），根据A∪B＝A可得出B⊆A，依次看选项中哪个集合是A的子集即可．

【详解】A＝（0，2）；

∵A∪B＝A；

∴B⊆A；

选项中，只有{1}⊆A．

故选C．

【点睛】本题考查了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于基础题．

2.若复数满足，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析：利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.

详解：复数满足

，

.

故选C.

点睛：复数四则运算的解答策略

复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

3.若函数，则（其中为自然对数的底数）=（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分段函数及定义域特征，代入即可求解．

【详解】由题意得，

∴．

选B．

【点睛】本题考查了分段函数的函数值求解，注意自变量的取值范围即可，属于基础题．

4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是    

A. 平方米 B. 平方米

C. 平方米 D. 平方米

【答案】B

【解析】

【分析】

在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．

【详解】如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，

在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，

可得：矢=4﹣2=2，

由AD=AO•sin=4×=2，

可得：弦=2AD=2×2=4，

所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．

故答案为：B．

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，考查学生对新的定义的理解，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

5.在正方形中，为的中点，若，则的值为（  ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出,再求即得解.

【详解】由题得,

.

故选B

【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项(    )

A. 180 B. 120 C. 160 D. 175

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.

【详解】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，

则通项为，

令，则.

故选：A

【点睛】本题考查二项展式中求指定项系数，还考查了展开式中二项式系数最大项，属于简单题.

7.平面向量与的夹角为，，，则等于 (　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

通过题意可求得,从而,即可得到答案.

【详解】由于,所以,因此,因此,故选D.

【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，模的相关运算，难度不大.

8.甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲胜的概率为.比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）制”，则甲获胜的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据独立事件的概率求法，甲获胜，则打了五局，且第五局甲胜.

【详解】由题意，前四局甲胜2局，第五局甲胜，

所以甲获胜的概率是，

.

故选：D

【点睛】本题主要考查独立事件的概率求法，属于基础题.

9.若,是第三象限的角,则（ ）

A.  B.  C. 2 D. -2

【答案】A

【解析】

试题分析：∵，为第三象限，∴,

∵

．

考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．

10.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3

【答案】B

【解析】

分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．

或

，

,可知

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．

11.已知定义在R上的偶函数（其中e为自然对数的底数），记，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据定义在R上的偶函数，则，解得，得到在上的单调性，再根据的大小关系，利用单调性定义求解.

【详解】由定义在R上的偶函数，

得：，

即，

所以，

解得，

所以，

因为时，，单调递增，

所以在上单调递增，

因为，，

所以，

所以，

即.

故选：C

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性，单调性比较函数值的大小，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.

12.已知奇函数()对任意都有，则当取最小值时，的值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用两角差的正弦公式的逆用公式可得，根据奇函数的性质可得，将化为,可得 (),故的最小值为2，此时，由此可得.

【详解】因为，

又为奇函数，所以，所以()．

又，所以．所以．

又因为对任意都有，

所以，即，

所以()，所以()．又，故的最小值为2，此时，所以．

故选：C．

【点睛】本题考查了两角差的正弦公式的逆用，考查了奇函数的性质，考查了诱导公式的应用，属于中档题.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.在中，已知，则_______．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据余弦定理求解.

【详解】由余弦定理得：

即

解得或（舍去）

【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.

14.在研究函数()的单调区间时，有如下解法:设,在区间和区间上是减函数,因为与有相同的单调区间,所以在区间和区间上是减函数.类比上述作法,研究函数()的单调区间,其单调增区间为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用题中所给的方法构造出新的函数，然后结合复合函数的单调性确定函数()的单调区间即可.

【详解】构造函数，则，

当时，单调递减，由复合函数的单调性可知函数()单调递减；

当时，单调递增，由复合函数的单调性可知函数()单调递增；

综上可得：函数()的单调增区间为.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，复合函数单调性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15.已知，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

先利用诱导公式将化简成，再由题意利用二倍角的余弦公式求即可得到答案.

【详解】由，可得.

而，

因此.

故答案为：

【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角余弦公式，属于较易题.

16.在中，角、、所对的边分别为、、，，当角取最大值时，的周长为，则__________．

【答案】3

【解析】

分析：根据题意由正弦定理得出cosA＜0，A为钝角，cosAcosC≠0，由两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得出tanA=﹣3tanC，且tanC＞0；由已知及基本不等式求出B取得最大值，可得C=B=，可求A，利用余弦定理可求a=b，结合已知求得b的值，进而可求a的值．

详解：△ABC中，sinB=cos（B+C）sinC，

∴b=cos（B+C）•c，即cosA=﹣＜0，∴A为钝角，

∴cosAcosC≠0；

由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=﹣2cosAsinC，

可得tanA=﹣3tanC，且tanC＞0，

=

当且仅当tanC= 时取等号；

∴B取得最大值时，c=b=1，此时C=B=．

∴A=，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a=b，

∵三角形周长为a+b+c=b +b+b=2．解得：b=，可得：a=b =3．

故答案为3

点睛：解答本题的关键是解析思路，转化“当角取最大值时，的周长为”，研究角B的最大值，首先要求角B的某种三角函数（tanB）的最大值，求的最大值利用基本不等式求，当且仅当C=B=，后面的问题解答就容易了.

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点P坐标为，且曲线与曲线交于C，D两点，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用参数方程与直角坐标方程间的转换以及极坐标方程与直角坐标方程间的转换即可得到答案；

（2）根据点P在直线上，可设直线的参数方程，将参数方程代入曲线方程中，设C，D两点对应的参数分别为，，利用参数的几何意义，将转化为，进而求得答案.

【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，得曲线的普通方程为，

曲线的极坐标方程为，可化为，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）因为点P在直线上，设直线参数方程为（t为参数），

将该参数方程代入，得，

可知，设C，D两点对应的参数分别为，，

则，，

根据参数，的几何意义，则.

【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化，考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题.

18.已知函数，且满足.

（1）求的值及的最小正周期；

（2）若，求的单调区间.

【答案】（1）.最小正周期.（2）单调递增区间为和；单调递减区间为.

【解析】

【分析】

（1）根据求出m的值，再利用三角恒等变换求出即得的最小正周期；（2）利用复合函数的单调性原理求出的单调区间.

【详解】（1）由，得，

解得.

，

所以函数的最小正周期.

（2）由，

得.

又时，所以，或，

即的单调递增区间为和；

由，

得，又，

所以的单调递减区间为.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的最小正周期的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19.如图，在中，点P在上，，，.

（1）求边的长；

（2）若的面积是，求的值.

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

【分析】

（1）在中，利用余弦定理以及题中条件可解得，可得是等边三角形，进而得到边的长；

（2）由已知可求得，利用三角形面积公式可求得，再在中，由余弦定理求出，最后由正弦定理可求的值.

【详解】（1）在中，因为，，，

由余弦定理得，即，

解得，而，，

可知是等边三角形，因而.

（2）由是等边三角形，知，则.

而的面积，得.

在中，由余弦定理，，

得.

在中，由正弦定理：，

可得.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属中档题.

20.已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【解析】

【分析】

（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

21.知函数，且曲线在点处的切线方程是.

（1）求，的值.

（2）（ⅰ）求函数的单调区间；

（ⅱ）求的解集.

【答案】（1）（2）（ⅰ）单调递增区间，无单调递减区间.（ⅱ）

【解析】

【分析】

（1）求出切线方程为，比较系数得解之即得，的值；（2）（ⅰ）利用导数求函数的单调区间；（ⅱ）等价于，令，求出函数的单调性和即得不等式的解集.

【详解】（1），

则切线的斜率为

又，所以曲线在点处的切线方程是，

即.

又因为切线方程是，

对比系数得解得

（2）（ⅰ）由（1）得，

则.

令.

当时，为增函数；

当时，为减函数，

所以

所以对，.

所以的单调递增区间为，无单调递减区间.

（ⅱ）.

令.

因为在为增函数，

所以在为增函数

因为，

所以不等式的解集为.

【点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间和解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22.新中国昂首阔步地走进2019年，迎来了她70岁华诞.某平台组织了“伟大的复兴之路一新中国70周年知识问答”活动，规则如下：共有30道单选题，每题4个选项中只有一个正确，每答对一题获得5颗红星，每答错一题反扣2颗红星；若放弃此题，则红星数无变化.答题所获得的红星可用来兑换神秘礼品，红星数越多奖品等级越高.小强参加该活动，其中有些题目会做，有些题目可以排除若干错误选项，其余的题目则完全不会.

（1）请问：对于完全不会的题目，小强应该随机从4个选项中选一个作答，还是选择放弃？（利用统计知识说明理由）

（2）若小强有12道题目会做，剩下的题目中，可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项和完全不会的题目的数量比是.请问：小强在本次活动中可以获得最多红星数的期望是多少？

【答案】（1）选择放弃作答；（2）72

【解析】

【分析】

（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0，若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，ξ取5，-2，列出其分布列，求出期望即可；

（2）依题意，分别求出可以排除一个错误选项、可以排除两个错误选项的每道题目的可获得红星数的期望，由（1）知完全不会的题目可选择放弃，再求每类题目数与该类题目每道题的期望的乘积，最终求和即可得到结果.

【详解】（1）对于任一道完全不会的题目，若选择放弃，则获得的红星数为0；

若选择作答，设小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为ξ，其分布列为：

所以，故应该选择放弃作答；

（2）由题意知，可以排除一个选项的题目有道，

设这9道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为X，其分布列为：

所以：；

可以排除两个选项的题目有道，

设这6道题目中每道题小明从四个选项中选一个作答获得的红星数为Y，其分布列为：

；

完全不会的题目有道，

由（1）知应选择放弃，这3道题中每道题得到的红星数的期望为0．

因此，小明在本次活动中可以获得的最多红星数的期望是：

．

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于中档题.