2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中数学（理） 试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中数学（理） 试题

一、单选题

1．已知集合，，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为(   )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由图像可知阴影部分对应的集合为,然后根据集合的基本运算求解即可.

【详解】

解: 由图像可知阴影部分对应的集合为,

,=,

=,

故选D.

【点睛】

本题考查考查集合的基本运算，利用图像先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础.

2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】化简复数为a+bi的形式，即可得到其在复平面内对应的点的坐标.

【详解】

解：在复数平面内，复数=，

故对应的点的坐标为，

故选C.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算，复数对应的点的几何意义，属于基本知识的考查.

3．已知都是实数，：直线与圆相切；：，则是的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，即.

充分性：若直线与圆相切，则，充分性不成立；

必要性：若，则直线与圆相切，必要性成立.

故是的必要不充分条件.

故选B.

4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1

【答案】A

【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

5．已知，则的大小关系为(  )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.

【详解】

由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，

又由对数的运算性质，可得，

所以，故选D.

【点睛】

本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6．根据如下样本数据得到的回归方程为，则

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：由表格数据的变化情况可知回归直线斜率为负数，中心点为，代入回归方程可知

【考点】回归方程

7．已知，则的值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得，变形，利用两角差的余弦公式可得结果.

【详解】

由

可得，

，

，

，

，

，故选B.

【点睛】

三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

8．函数（其中）的图象不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，再分类讨论当时，当时，当时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解.

【详解】

解：由，

则当时，函数在为增函数，在为减函数，在为增函数，即选项D满足题意；

当时，函数在为增函数，在为减函数，即选项A满足题意；

当时，函数在为减函数，在为减函数，在为增函数，即选项B满足题意，

即函数（其中）的图像不可能是选项C，

故选：C.

【点睛】

本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.

9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为  (   )

A．336 B．340 C．352 D．472

【答案】A

【解析】分行政部门选一人和行政部门选二人分别计算选取方法的种数，相加可得答案.

【详解】

解：由题意可得，①行政部门选一人，若其他两人为同一部门有=72种，

若其他人不为同一部门有=192种，

②行政部门选二人，有=72种，

综上共有72+192+72=336种，

故选A.

【点睛】

本题考查了分类计数原理与排列组合，关键是如何分类，属于中档题.

10．已知，则不可能满足的关系是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得，从而可得，

故，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论．

【详解】

∵，

∴，

∴，

整理得．

对于A，由于，解得，所以A成立．

对于B，由于，解得，所以B成立．

对于C，

，所以C成立．

对于D，由于，所以，因此D不成立．

故选D．

【点睛】

本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式

的应用，同时也要注意不等式所需的条件，即“一正、二定、三相等”．

11．已知向量满足，点在内，且，设，若，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设

，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。

【详解】

由得，建立如图所示的直角坐标系，

，不妨设，，

由得

，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。

12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】【详解】

构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．若实数，满足条件，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】先作出不等式组所表示的平面区域，再将直线平移,使之经过可行域，从而求出目标函数的最值即可.

【详解】

解:由实数，满足条件，则不等式组表示的平面区域如图所示,

将化为,作出直线并平移,使之经过可行域,易知经过点时,纵截距最小,此时的值最大,最大为,

故答案为:.

【点睛】

本题考查了简单的线性规划，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.

14．由曲线（x≥0）与它在处切线以及x轴所围成的图形的面积为___________．

【答案】

【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，作出对应的图像，利用积分的几何意义即可求出区域的面积.

【详解】

解：

,当x=1时，y=1，,

在点（1，1）处的切线的斜率为k=，可得切线的方程为y=3x-2，

直线y=3x-2与x轴的交点坐标为（），

可得围成图形的面积：S====，

故答案：.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究曲线上的某点的切线方程及定积分在求面积中应用，属于基础题型.

15．三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积.

【详解】

由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，

如图所示，则，且的最大值是，

所以，所以的最小值是，即到的距离为，

所以，因为，在中可得，即可得,

取的外接圆圆心为，作，

所以，解得，所以,

取为的中点，所以，

由勾股定理得，

所以三棱锥的外接球的表面积是.

【点睛】

本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.

16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.

（1）下列函数中具有性质P的有            

① 

②  

③，

（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是           .

【答案】（1）①②；（2）或 .

【解析】试题分析：（1）①对，因为，所以具有P性质；  ②对，与有交点，故具有P性质；对③，

由得，但是，所以不具有P性质.

（2）由得 ，令，则，由此可得，在内单调递减，在内单调递增.所以或.

【考点】1、函数的零点；2导数的应用.

三、解答题

17．已知数列{an}满足，且．

(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1) an＝(2n－1)2n－1;(2) Sn＝(2n－3)2n＋3.

【解析】（1）根据等差数列的定义，判断数列是等差数列，并写出它的通项公式以及{an}的通项公式；
（2）根据数列{an}的前n项和定义，利用错位相减法求出Sn；

【详解】

(1)证明：因为an＝2an－1＋2n，所以＝＝＋1，

即－＝1，所以数列是等差数列，且公差d＝1，其首项＝，所以＝＋(n－1)×1＝n－，解得an＝×2n＝(2n－1)2n－1.

(2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n

＝1＋－(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3.

所以Sn＝(2n－3)2n＋3.

【点睛】

本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了错位相减法求数列的个项和的问题，是综合性题目．

18．如图，在四边形中，，，的面积为.

（1）求；

（2）若，，求.

【答案】（1）3；（2）．

【解析】（1）根据三角形的面积公式列方程，求得的长，由余弦定理求得的长.（2）先求得，在中利用正弦定理求得的长.

【详解】

解：（1）由，，得．

因为，所以由余弦定理．

（2）由（1）知，因为，所以．

在△中，由正弦定理得，所以．

【点睛】

本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.

19．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】（1）由题意，分别求出和时，函数的解析式，得到相应的分段函数；

（2）由题意，求得“路段畅通”的概率，进而得到随机可取，利用的独立性检验的概率计算公式，求解随机变量取每个值对应的概率，求得分布列，最后利用期望的公式，即可求解.

【详解】

（1）当时，

           当时，.

得：

（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率

可取0，1，2，3.          

，

，

的分布列为

或依题意，

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，其中解答中认真审题，正确理解题意，得到随机变量的取值，利用概率的计算公式求解相应的概率是解答本题的关键，着重考查了运算求解能力，以及分析问题和解答问题的能力.

20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点.

(1)求证：；

(2)设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可推出结论成立；

（2）为线段上的动点，连接，，根据题意得到，由（1）得，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式，即可得出结果.

【详解】

(1)∵四边形为菱形，，

∴为正三角形.

又为的中点，∴.

∵，∴.

∵平面，平面，

∴.

∵平面，平面，且，

∴平面，

又平面，∴；

(2)如图，为线段上的动点，连接，.

当线段的长最小时，.

由(1)知，∵，

∴平面.

∵平面，∴.

在中，，，，

∴，

在中，由，，可知，即.

∴在中，可得.

由(1)可知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由，分别是，的中点，可得，，，，，，，

所以，.

设平面的法向量为，

则，因此，

取，得.

因为，，，

所以平面，

故为平面的一个法向量.

又，

所以.

由图易知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.

21．已知，.

（1）当时，求证：；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)见证明；（2）

【解析】(1) 设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；(2) 由题意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，两次求导，判断单调性，对a讨论，分①当a≥时，②当a＜时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．

【详解】

(1)设，

F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x-]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），

所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，

所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，

即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；

（2）即，

则，

在上递增，

①当时，,在上为单调递增函数，

故，

②当时，

设,

,

在上为单调递增函数，

，

，

则当时，恒成立，不合题意

综上，则

【点睛】

本题考查导数的运用：求单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查推理能力和运算能力，属于难题．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）射线：与曲线交于点，射线：与曲线交于点，求的取值范围．

【答案】（1）的极坐标方程为，的直角方程为；（2）.

【解析】(1)利用三种方程的互化方法求出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程即可；

（2）设点和点的极坐标分别为，，其中，可得，的值，代入可得其取值范围.

【详解】

解：（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为

又，

曲线的极坐标方程为，即

曲线的极坐标方程可化为，

故曲线的直角方程为

（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中

则，

于是

由，得

故的取值范围是

【点睛】

本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.

23．[选修4—5：不等式选讲]

设函数．

（1）若，解不等式；

（2）求证：．

【答案】（1）;（2）详见解析.

【解析】(1)，可得a的取值范围，即为的解集；

(2)可得的解析式，，可得证明.

【详解】

解：（1）因为，所以，

即或

故不等式的解集为

（2）由已知得：

所以在上递减，在递增

即

所以

【点睛】

本题主要考查解绝对值不等式，及不等式的证明，求出的解析式与最小值是解题的关键.