陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

这是一份陕西省西安中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题）
设集合A={x|（x+1）（x-2）＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A. B. 1,C. 0,1,D.
命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（ ）
A. 对任意,都有B. 不存在,使得
C. 存在,使得D. 存在,使得
在等差数列中，a2=4，a3=6，则a10=（ ）
A. 20B. 22C. 18D. 16
下列函数中，既是偶函数又有零点的是（ ）
A. B. C. D.
若tanα=，则=（ ）
A. B. C. D. 2
函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（ ）
A. B. C. D.
已知函数，则f（f（e-2））=（ ）
A. B. 2C. D. 4
设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
已知（1.40.8）a＜（0.81.4）a，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
在直角△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
已知定义在R上的函数f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且函数f（x+2）与函数f（x+7）都是偶函数，则f（x）在[0，2019]上的零点至少有（ ）个
A. 404B. 406C. 808D. 812
定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2019为奇函数，则不等式f（x）+2019ex＜0的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题）
已知，，若与平行，则m=______．
若不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，则实数m的取值范围为______．
已知a∈R，函数f（x）=|x+-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题）
函数的递减区间为______ ．
已知向量=（sinx，1），=，函数f（x）=的最大值为6．
（1）求A；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．
在△ABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．
设函数f（x）=（ax2-2x）•ex，其中a≥0．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．
以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；
（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．
已知函数，曲线y=f（x）在点处的切线方程为6x+πy-2π=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断方程在（0，2π]内的解的个数，并加以证明．
在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2csθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
已知a＞0，b＞0，a+b=1．求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A={x|-1＜x＜2}；
∴A∩B={0，1}．
故选：A．
可解出集合A，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2.【答案】D
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：“存在x0∈R，使得”．
故选：D．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．
本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．
3.【答案】A
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=4，a3=6，
∴a1+d=4，a1+2d=6，
解得a1=d=2，
则a10=2+2×9=20．
故选：A．
利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性和定义和函数零点的性质是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质和定义结合函数零点的性质分别进行判断即可．
【解答】
解：A．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件；
B．函数y=tanx是奇函数，不满足条件；
C．y=ex+e-x≥2=2，则函数没有零点，不满足条件；
D．函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=f（x），函数为偶函数，由y=ln|x|=0得x=1或-1，函数存在零点，满足条件．
故选D．
5.【答案】A
【解析】解：∵tanα=，
∴=
==．
故选：A．
由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，
f（-1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，
可得f（-1）f（0）＜0．
由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（-1，0）．
故选：B．
判断函数的单调性，利用f（-1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数，
f（e-2）=（e-2）2+1=e-4+1，
f（f（e-2））=ln（e-4+1-1）=ln（e-4）=-4；
故选：C．
根据题意，由函数的解析式分析可得答案．
本题考查分段函数解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=-，
平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B（1，1）时，直线y=-的截距最小，此时z最小．
此时z的最小值为z=1+2×1=3，
故选：B．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
9.【答案】A
【解析】解：依题意，因为1.40.8＞1＞0.81.4＞0，
又（1.40.8）a＜（0.81.4）a，
所以函数y=xa在（0，+∞）上单调递减，
所以a＜0．
故选：A．
因为1.40.8＞0.81.4，再结合幂函数y=xa的单调性处理即可．
本题考查了幂的大小比较，幂函数的性质，主要考查推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：设△ABC的外心即BC中点为O，
由平面向量的线性运算知，，
所以=，
由图可知：==3×，
当时，，
，
故选：D．
由平面向量的线性运算去分析最大值．
本题主要考查平面向量的应用，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：∵y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，
f（x）关于x=2和x=7对称．
∴f（x+2）=f（7+x），
即5是函数f（x）的一个周期．
∴定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3也是函数的零点，
f（x）=0的根为5n+1或5n+3的形式．
∴0≤5n+1≤2019，解得-0.2≤n≤403.6，共404个
0≤5n+3≤2019，解得-0.6≤n≤403.2，共404个
故函数y=f（x）在[0，2019]上的零点个数为808个，
故选：C．
根据y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，得到函数f（x）=f（5+x）即函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数．
本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
12.【答案】B
【解析】解：构造函数，则，
所以g（x）在R上单独递减，
因为f（x）+2019为奇函数，所以f（0）+2019=0，
∴f（0）=-2019，g（0）=-2019．
因此不等式f（x）+2019ex＜0等价于g（x）＜g（0），即x＞0，
故选：B．
由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可．
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数求解不等式的方法等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：∵，，与平行，
∴，
解得m=．
故答案为：．
利用两向量平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】[-2，10]
【解析】解：∵不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，
∴△=m2-4（2m+5）≤0，即m2-8m-40≤0，
∴-2≤m≤10，
∴m的取值范围为[-2，10]．
故答案为：[-2，10]．
由不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，可得△≤0，解出m的范围即可．
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
15.【答案】（-∞，]
【解析】​【分析】
通过转化可知|x+-a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a-5≤x+≤5，进而计算可得结论．
本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
【解答】
解：由题可知|x+-a|+a≤5，即|x+-a|≤5-a，所以a≤5，
又因为|x+-a|≤5-a，
所以a-5≤x+-a≤5-a，
所以2a-5≤x+≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，
所以2a-5≤4，解得a≤，
故答案为：（-∞，]．
16.【答案】（1，+∞）
【解析】【分析】
本题主要考查求对数函数的定义域、复合函数的单调性规律，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
令2x2-3x+1=（2x-1）（x-1）=t，则函数y=，（t＞0），求得函数y的定义域．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t在函数y的定义域内的增区间．利用二次函数的性质可得函数t在函数y的定义域内的增区间．
【解答】
解：令2x2-3x+1=（2x-1）（x-1）=t，则函数y=，（t＞0）．
令t＞0，求得x＜，或 x＞1，故函数y的定义域为{x|x＜，或x＞1}．
函数的递减区间，根据复合函数的单调性规律，
本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-∞，）∪（1，+∞）上的增区间．
利用二次函数的性质可得，函数t在函数y的定义域内的增区间为（1，+∞），
故答案为（ 1，+∞）．
17.【答案】解：（1）f（x）==Asinxcsx+cs2x
=A（sin2x+cs2x）
=Asin（2x+），
∵函数f（x）=的最大值为6，
∴A=6．
（2）f（x）=6sin（2x+）y=6sin（2（x+）+）=6sin（2x+）
y=6sin（4x+），
则g（x）=6sin（4x+），
∵0≤x≤，
∴0≤4x≤，
∴≤4x+≤，
∴≤sin（4x+）≤1，
∴-3≤6sin（4x+）≤6，
即g（x）在[0，]上的值域为[-3，6]．
【解析】（1）化f（x）==Asinxcsx+cs2x=A（sin2x+cs2x）=Asin（2x+），从而求A；
（2）由图象变换得到g（x）=6sin（4x+），从而求函数的值域．
本题考查了平面向量的数量积及三角函数的化简与其性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBcsA，
∵sinB≠0，
∴可得：sinA=csA，即：tanA=，
∵A∈（0，π），
∴A=；
（2）∵A=，a=5，
∴△ABC的面积2=bcsinA=bc，可得：bc=8，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，
∴可得：（b+c）2=49，解得：b+c=7，
∴△ABC的周长a+b+c=5+7=12．
【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcsA，结合sinB≠0，可求tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．
（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得：b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]•ex①
（I）若a=时，由，
综合①，可知
所以，是极大值点，x2=1是极小值点．
（II）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，
所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，
即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．
（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；
（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，
则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，
即，所以．
综合（1）（2）知a的取值范围是．
【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，解不等式即可得到结论．
本题主要考查函数的极值的求解，以及函数单调性和导数的关系，考查导数的基本运算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
20.【答案】解：（1）椭圆C的离心率为，即c=，
由c2=a2-b2，则a=2b，
设椭圆C的方程为，
∵椭圆C过点，∴，
∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，
∴椭圆C的标准方程为，
椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．
（2）由题意知，|m|≥1．
易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，
由得，
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，．
又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．
所以
=，
则，|m|≥1．
（当且仅当时取等号）
所以当时，S△AOB的最大值为1．
【解析】（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；
（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值．
本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）直线6x+πy-2x=0的斜率为-，过点（，-1），
f′（x）=，则，即a=3，
f（）=b=-1，所以f（x）=-1，
（Ⅱ）方程f（x）=-1在（0，2π]上有3个解．
证明：令g（x）=f（x）-+1=-，则g′（x）=，
又g（）=-＞0，g（）=-＜0，
所以g（x）在（0，]上至少有一个零点，
又g（x）在（0，]上单调递减，故在（0，]上只有一个零点，
当x∈（，）时，csx＜0，故g（x）＜0，
所以函数g（x）在∈（，）上无零点，
当x∈[，2π]时，令h（x）=xsinx+csx，h′（x）=xcsx＞0，
所以h（x）在[，2π]上单调递增，h（2π）＞0，h（）＜0，
所以∃0∈（，2π]，使得g（x）在[，x0）上单调递增，在（x0，2π]上单调递减．
又g（2π）=0，g（）＜0，所以函数g（x）在[，2π]上有2个零点．
综上，方程f（x）=-1在（0，2π]上有3个解．
【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得a，b的值，即可求出函数的解析式；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-+1=-，求出导数，根据函数的单调性和函数零点存在定理即可判断．
本题考查了函数零点存在定理和导数和函数的单调性的关系，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题．
22.【答案】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
同理由C3：ρ=2csθ．可得直角坐标方程：，
联立，
解得，，
∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C1上，
∴A（2sinα，α），B．
∴|AB|==4，
当时，|AB|取得最大值4．
【解析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2csθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．
（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】证明：（Ⅰ）===≥1，当且仅当时等号成立．
（Ⅱ）（a+1）2+（b+1）2=a2+b2+2（a+b）+2=（a+b）2-2ab+4=5-2ab，
∵，
∴，
∴，当且仅当时等号成立，
从而．
【解析】（Ⅰ）把不等式左边展开，把a+b=1代入，利用均值不等式证明即可；
（Ⅱ）由（a+1）2+（b+1）2=a2+b2+2（a+b）+2=（a+b）2-2ab+4=5-2ab，又因为，，代入证明即可．
考查不等式的证明，主要是均值不等式证明，本题重点是在运用均值不等式前的灵活变换，中档题．
x
1
（1，+∞）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗