2021【KS5U解析】青铜峡高级中学高三上学期期中考试数学（理）试卷含解析

青铜峡市高级中学吴忠中学青铜峡分校2020-2021学年第一学期

高三年级数学(理)期中试卷

一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

1. 已知全集，集合，，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解一元二次不等式可得，根据集合的交集运算可得结果.

【详解】由于，

又因为，

所以，

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的补集和交集运算，属于基础题.

2. 已知，则“”是“”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．

【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，

“”⇒“a＞1或a＜0”，

∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．

故选A．

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

3. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将分别化为：，，，先比较的大小，再比较的大小.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查比较对数式的大小问题，难度一般.解答时注意将所给数据合理转化，然后结合对数函数的单调性比较大小.

4. 的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．

【详解】解：成等比数列，，又，，

则

故选B．

【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5. 已知向量，满足，，向量，的夹角为，则（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面向量的定义求出，再根据计算可得；

【详解】解：因为，所以， 又，向量，的夹角为，所以，所以

故选：C

【点睛】本题考查平面向量定义法求数量积，以及向量模的计算，属于基础题.

6. 已知是定义域为奇函数，满足.若，则（    ）

A. 50 B. 0 C. 2 D. -2018

【答案】B

【解析】

【分析】

由奇函数和得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出后可得结论．

【详解】由函数是定义域为的奇函数，所以，且，

又由，即，

进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，

又由，可得，,,

则，

所以.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.

7. 已知数列是等比数列，若，则（    ）

A. 5 B. 10 C. 25 D. 30

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等比数列的下标和性质计算可得；

【详解】解：因为，

所以，

故选：C

【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，属于基础题.

8. 如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.

【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.

9. 某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（    ）

A. 25 B. 35 C. 42 D. 50

【答案】C

【解析】

【分析】

设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达，8月份产量去年同期水平为，则．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．

【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达，8月份产量去年同期水平为，

则．

解得．

该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．

故选：C．

【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10. 已知函数若函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的根等价于函数与由两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象，求解即可.

【详解】由题意可知，函数有两个不同的零点，等价于函数与由两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象，如图所示.

由图象可知，.

故选：A

【点睛】本题考查函数的零点个数问题，属于中档题.

11. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

画出函数的图像，由图可得区间长度的最大值.

【详解】画出分段函数的图像，如下:

由图可知，,

要使在区间上的值域为，

可得，，所以最大值为.

故选: A

【点睛】此题关键在于能准确画出函数图像，属于典型的数形结合题.

12. 已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由两图象有三个公共点可得有三个实根，变形得，设，则关于的方程有两个不同的实数根且共有三个实数根，结合二次方程根的分布和的图象性质可得答案.

【详解】令，可得，可得.

设，则，即.

，

当时，单调递增且；

当时，单调递减且.

作出的图象如图所示.

对于，，

设该方程有两个不同的实根，由题意得共有三个实数根.

若是方程的根，则，即，

则方程的另一个根为，不合题意.

若是方程的根，则，即，

则方程的另一个根为，不合题意.

所以关于方程的两根(不妨令)满足.

所以解得.

故选A.

【点睛】本题考查函数与方程的综合问题，涉及导数、二次方程等，是一道难题，解题时要灵活运用等价转化、数形结合等数学思想方法.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由函数的定义域是，即，结合函数的解析式，列出不等式组 ，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域是，即，

则函数有意义，则满足 ，解得，

解得，即函数的定义域是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

14. 已知，若，则实数值_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由，得到，列出方程，即可求解

【详解】由题意，向量，则，

因为，可得，解得，

即实数的值.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直的坐标表示，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

15. ____________________

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式、切划弦可整理得，利用二倍角公式和辅助角公式可化简为，由诱导公式知，从而得到结果.

【详解】

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简求值的问题，考查对于公式的掌握程度，对学生的运算和求解能力有一定的要求.

16. 给出以下四个结论：①函数的对称中心是；②若关于的方程在没有实数根，则的取值范围是；③在中，若则为等腰三角形；④若将函数的图象向右平移个单位后变为偶函数，则的最小值是.其中正确的结论是________.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

将化成后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值，从而可判断④的正误.

【详解】对于①，因为，故的图象可以看出向左平移1个单位，向上平移2个单位，故的图象的对称中心为，故①正确.

对于②，考虑方程在上有实数根即在上有实数根，

故，

故关于的方程在没有实数根时，则，故②错误.

对于③，由正弦定理得到，故，

因为，故即，故③正确.

对于④，平移后得到的图象对应的解析式为，

因为该函数为偶函数，故，

故，因为，故，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.

三､解答题：共70分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 等差数列的前项和为，若，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意建立关于和方程，即可求出通项公式；

（2）利用裂项相消法即可求出.

【详解】（1）的首项为，公差为，

因为，所以解得

所以.

（2），

所以.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

18. 已知函数

（1）求函数的单调递增区间;

（2）在中,内角、、的对边分别为、、.已知,求的面积.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）化简函数得，由即可得增区间；

（Ⅱ）由得或，由可得，从而得解.

试题解析：

（Ⅰ）解:

.

根据辅助角公式可得.

的单调增区间是,即.

（Ⅱ）解:

或

即或

角是的内角,且,

是直角三角形.

.

19. 已知函数,．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时,判断的零点个数．

【答案】(1)见解析；(2)2

【解析】

【分析】

(1)对函数进行求导,利用分类讨论法求出函数的单调性；

(2)设,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数零点个数.

【详解】(1),

故当时,,

所以函数在上单调递增,

当时,令,得,

所以函数在上单调递增,

令,得,

所以函数在上单调递减,

综上,当时,函数在上单调递增,

当时,函数在上单调递增,在上单调递减.

(2)设,

则,令,

解得,

当时,；

当时,；

故最大值为，

所以有且只有一个零点.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.

20. 在锐角△ABC中，分别为A、B、C所对的边，且

（1）确定角C的大小；

（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．

【答案】（1）C=60°；（2）（+3，]．

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，根据三角形是锐角三角形求得的大小.（2）利用正弦定理将转化为角度来表示，求得三角形周长的表达式，利用三角函数求取值范围的方法，求得三角形周长的取值范围.

【详解】解:（1）已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，

由a＝2csinA，

得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，

∴C=60°或C=120°,

∵△ABC为锐角三角形，∴C=120°舍去．∴C=60°

（2）∵c=，sinC=

∴由正弦定理得：,

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，

即B=-A

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2 [sinA+sin（-A）]+

=2（sinA+sincosA-cossinA）+

=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜A＜，

∴＜sin（A+）≤1，

则△ABC周长的取值范围是（+3，]．

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数取值范围的求法，属于中档题.

21. 已知函数，．

（1）求在区间上的极值点；

（2）证明：恰有3个零点．

【答案】（1）极大值点，极小值点；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出，利用导数求出函数的单调区间，进而求出极值点.

（2）求出是的一个零点，再判断函数为偶函数，只需确定时，的零点个数，利用导数判断函数的单调性，结合函数的符号即可求解．

【详解】解：（1）（），

令，得，或．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

故是的极大值点，是的极小值点．

综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为．

（2）（），

因为，所以是的一个零点．

，

所以为偶函数．

即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可．

当时，．

令，即，或（）．

时，，单调递减，又，所以；

时，，单调递增，且，

所以在区间内有唯一零点．当时，由于，．

．

而在区间内单调递增，，

所以恒成立，故在区间内无零点，

所以在区间内有一个零点，由于是偶函数，

所以在区间内有一个零点，而，

综上，有且仅有三个零点．

【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值点、利用导数研究函数的零点个数，考查了分析能力、数学运算，属于难题.

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若，是曲线上两点，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)先化参数方程为普通方程，再化为极坐标方程，利用曲线经过点求出的值即可.

(2)把，代入曲线的方程，对变形化简即可.

【详解】（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，

即.

由，，得曲线的极坐标方程为.

由曲线经过点，则(舍去),

故曲线的极坐标方程为.

（2）由题意可知，,

所以.

【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查对极坐标方程含义的理解，是一道基础题.牢记转化公式和极坐标系中的含义即可顺利解题.

23. 函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若的最小值为，，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：、、，由此求解出每一段定义域对应的的值域，由此确定出的最小值；

（2）由（1）确定出的值，采用常数代换的方法将变形并利用基本不等式完成证明.

【详解】解：（1），

当时，；

当时，；

当时，.

所以的最小值为.

（2）由（1）知，即，

又因为，，

所以

当且仅当，即，时，等号成立，

所以.

【点睛】本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.