陕西师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年陕西师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 若，i为虚数单位，则

A.  B. 0 C. i D.

2. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

3. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，这批米内夹谷约为 

A. 108石 B. 169石 C. 237石 D. 338石

4. 在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个正根的概率为

A.  B.  C.  D.

5. 已知等差数列的前n项和，若，则

A. 27 B. 18 C. 9 D. 3

6. 在的展开式中，的系数是

A. 45 B.  C. 90 D.

7. 若x，，且，则的最大值是

A.  B.  C.  D.

8. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

9. 已知抛物线的一条弦AB恰好以为中点，则弦AB所在直线的方程是

A.  B.  C.  D.

10. 已知，为双曲线的左、右焦点，P为其渐近线上一点，轴，且，则该双曲线的离心率是

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

12. 在中，cosA：2cosB：：4：21，则

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 某正方体外接球的体积为，则此正方体的表面积为______．
14. 在各项都为正数的等比数列中，，，则数列的前n项和为______．
15. 钝角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则a的取值范围是______．
16. 已知，，，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 已知函数的图象的一条对称轴为．
    Ⅰ求的最小值；
    Ⅱ当取最小值时，若，，求．
    
    
    
    
    
    
     
18. 共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．
    从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
    从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在四面体ABCD中，，．
    Ⅰ证明：；
    Ⅱ若，，四面体ABCD的体积为2，求二面角的正弦值．

20. 已知离心率的椭圆的一个焦点为，
    Ⅰ求椭圆C的方程；
    Ⅱ设过原点O且与坐标轴不垂直的直线l与曲线C交于M，N两点，且点，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 函数．
    Ⅰ求在处的切线方程为自然对数的底数；
    Ⅱ设，若，且，满足，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
    写出直线l的直角坐标方程；
    设点M的坐标为，若点M是曲线C截直线l所得线段的中点，求l的斜率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知．
    当时，求不等式的解集；
    若对，成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：由，得，即．
故选：C．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.【答案】D
 

【解析】解：集合，
，
．
故选：D．
先求出集合A，B，由此能求出．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
 

【解析】【分析】
利用概率的性质能求出结果．
本题考查米内夹谷的数量的求法，考查概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，
这批米内夹谷约为：石．
故选：A．
4.【答案】A
 

【解析】解：根据题意，设方程的两个正根为、，
则，
即，
解得或，
又，
则所求的概率为．
故选：A．
设方程的两个正根为、，由根与系数的关系列出不等式，
求出p的取值范围，再计算所求的概率．
本题考查了一元二次方程与对应不等式的应用问题，是基础题．
5.【答案】A
 

【解析】解：设公差为d，则，

，
故选：A．
根据通项公式和求和公式即可求出．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
6.【答案】A
 

【解析】解：在的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得的系数是，
故选：A．
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
7.【答案】C
 

【解析】解：令，代入，
得，当且仅当，等号成立，
由，，
故选：C．
令，代入，利用基本不等式得，求出t即可．
考查基本不等式求最值，这里用了换元法，基础题．
8.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
设M、N、P分别为AB，和的中点，得出、夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和的余弦值即可．
【解答】
解：如图所示，

设M、N、P分别为AB，和的中点，
则，，
则、夹角为MN和NP夹角或其补角因异面直线所成角为，
可知，；
作BC中点Q，则为直角三角形，，，
中，由余弦定理得
，
，，；
在中，由余弦定理得
；
又异面直线所成角的范围是，
与所成角的余弦值为．
故选C．
9.【答案】B
 

【解析】解：抛物线的一条弦AB，设，，
可得，，
两式相减可得，
由弦AB恰好以为中点，可得，，
则直线AB的斜率，
可得直线AB的方程为，即，
联立抛物线方程，可得有两个不等实数根．
故直线AB存在．
故选：B．
设，，代入抛物线方程，两式作差，运用平方差公式和直线的斜率公式，以及中点坐标公式，可得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程．
本题考查抛物线的方程的运用和点差法求直线方程，考查直线的斜率公式和中点坐标公式的运用，化简运算能力，属于中档题．
10.【答案】D
 

【解析】解：如图，

轴，可得P的横坐标为，
由双曲线的渐近线方程，可得P的纵坐标为，
由，可得，
即，
即有．
故选：D．
由题意可得P的横坐标为，可设P的纵坐标为，由可得a，b的关系，再由离心率公式求解．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，是中档题．
11.【答案】D
 

【解析】解：函数函数，
作出函数的图象如右图所示，
方程有三个不同的实数根，
则函数的图象与的图象有三个不同的交点，
根据图象可知，a的取值范围为．
故选：D．
根据分段函数的解析式，作出分段函数的图象，方程有三个不同的实数根，即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a的取值范围．
本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数图象的作法．解题的关键在于正确作出函数图象，能将方程有三个不同的实数根的问题转化为函数图象有三个不同的交点的问题．解题中综合运用了数形结合和转化化归的数学思想方法．属于中档题．
12.【答案】C
 

【解析】解：由cosA：：4得
，
，
，
又cosA：：21，
，
由余弦定理得，
代入并化简得，
解得或舍，
，
，
故选：C．
由cosA：：4得，从而有，所以有，再由cosA：：21化简得，结合及余弦定理代入化简得，化简得，再根据余弦定理即可得出结论．
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】96
 

【解析】解：设正方体的棱长为a，所以正方体的对角线长为，所以正方体为外接球的半径为，
由于正方体外接球的体积为，则，解得，
所以正方体的表面积．
故答案为：96．
首先求出正方体的对角线的长，进一步求出球的半径，再利用球的体积公式的应用求出正方体的棱长，最后求出结果．
本题考查的知识要点：正方体和外接球的关系的应用，球体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
14.【答案】
 

【解析】解：在各项都为正数的等比数列的公比设为q，，，，
可得，即，
则，
，
则数列的前n项和为
，
故答案为：．
设等比数列的公比为q，，运用等比数列的通项公式可得，求得通项公式，可得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
15.【答案】
 

【解析】解：由正弦定理，有．
为钝角三角形，，
当A为钝角时，，；
当C为钝角时，，
为钝角三角形，．
，
，
故答案为：．
由正弦定理可得，再根据为钝角三角形求出C的范围，进一步求出a的范围．
本题考查了正弦定理和正切函数的图象与性质，关键是根据三角形为钝角三角形求出角的范围，属中档题．
16.【答案】
 

【解析】解：，，，
只需要求的范围即可；
，，
而，
，
两边平方得，；
故答案为：．
从所求的结果得所需要的的范围，再从已知条件中寻找它的范围即可，需要用到余弦值的范围．
本题利用三角函数范围求数量积的范围，属于中难度题．
17.【答案】解：Ⅰ
，
由题可得，
解得，
，
故的最小值为1；
Ⅱ，
，，
，
．
 

【解析】Ⅰ把已知函数解析式变形，取，再由相位终边落在y轴上求解值；
Ⅱ由已知求得与的值，然后利用诱导公式及倍角公式求解．
本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．
18.【答案】解：记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件A，则．
显然X的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故随机变量X的分布列为

X的数学期望．
 

【解析】利用独立事件的概率的乘法以及互斥事件求解概率即可．
判断X的取值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．
19.【答案】Ⅰ证明：如图，作斜边BD上的高AE，连接CE．
因为，，所以≌可得．
所以平面AEC，于是．
Ⅱ解：在中，因为，，
所以，，，．
因为平面AEC，四面体ABCD的体积2，
所以，则，，
所以平面BCD．
以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，0，，，0，，，，．
设是平面BAC的法向量，则，
即，可取．
设是平面DAC的法向量，则，
即，可取．
因为，所以二面角的正弦值为．
 

【解析】Ⅰ作斜边BD上的高AE，连接证明平面AEC，推出．
Ⅱ以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面DAC的法向量，平面BAC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ根据题意得，，．
．
故椭圆C的方程为：．
Ⅱ根据题意：设直线的方程为：，
由，得．
设，，
，
，，
．
又点到直线l的距离，
1当时，；
2当时，，
当且仅当时取等号，
综上所述，的面积的最大值为．
 

【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ根据题意得，，，解出即可得出椭圆C的方程．
Ⅱ根据题意：设直线的方程为：，与椭圆方程联立化为设，，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
21.【答案】解：Ⅰ，，则，
故在处的切线方程为，即；
Ⅱ证明：由题可得，，
当时，，，则；当时，，，则，
所以，当时，，在上是增函数，
设，
则，
当时，，，，则，在上递减．
不妨设，由于在上是增函数，则，
又，，则，于是，
由，在上递减，
则，所以，则，
又，在上是增函数，所以，，即．
 

【解析】Ⅰ求出切点，求出导数进而得到切线斜率，进一步由点斜式方程求得答案；
Ⅱ利用导数可知在上是增函数，构造，则在上递减，设，则，又，，进而知道，则，即，亦即，从而得证．
本题考查利用导数研究函数在某点的切线方程及函数的单调性，考查导数中的不等式证明问题，解决本题的关键是合理构造函数，平时应该多总结归纳题型及方法，从而找到解题方向，快速有效解题，本题是一道中档题．
22.【答案】解：当时，直线l的直角坐标方程为；
当时，直线l的直角坐标方程为；
点M的极坐标为，则点M的直角坐标为，
曲线C的极坐标方程为，得
曲线C的直角坐标方程为，
把代入曲线C的直角坐标方程，
化简得，
由，得，
，
直线l的斜率为．
 

【解析】直接对分类消参可得直线l的直角坐标方程；
求出点M的直角坐标，化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，把代入曲线C的直角坐标方程，得到，利用根与系数的关系列式求解l的斜率．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中此时t的几何意义，是中档题．
23.【答案】解：当时，，
因为，
，或，或，
解得或，
不等式的解集为：或；
表示数轴上的点到a和的距离之和，
表示到a和的距离之和大于等于1恒成立，
则或，
的取值范围为：．
 

【解析】将代入中去绝对值，然后分别解不等式即可；
利用绝对值不等式的几何意义直接得结果．
本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，正确的理解绝对值不等式的几何意义很关键，属基础题．