江苏省常州市2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

江苏省常州市2020届第一学期期中考试高三（理）

数学试题

2019．11

第I卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝，B＝{﹣2，﹣1，0，2}，则AB＝       ．

答案：{﹣1，0}

考点：集合交集运算

解析：∵A＝，

      ∴A＝(﹣2，2)，

      又∵B＝{﹣2，﹣1，0，2}，

      ∴AB＝{﹣1，0}

2．函数的定义域是       ．

答案：(﹣1，7)

考点：函数的定义域

解析：由题意得：，解得﹣1＜x＜7，故原函数的定义域是(﹣1，7)．

3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，则S6＝       ．

答案：

考点：正多边形面积

解析：由题意知，该正六边形为1，是由6个全等的边长为1的等边三角形构成，故面积为：

      ．

4．设曲线在点(0，0)处的切线方程为，则a＝       ．

答案：3

考点：导数的几何意义

解析：∵

      ∴

      由切线方程为，可知，故a＝3．

5．已知点A(1，3)，B(4，﹣1)，则与向量同方向的单位向量的坐标是       ．

答案：(，)

考点：单位向量的坐标表示

解析：∵点A(1，3)，B(4，﹣1)，

      ∴(3，﹣4)，，

      则＝(3，﹣4)＝(，)．

6．已知是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，．若，则a＝       ．

答案：﹣2

考点：奇函数的性质

解析：∵是定义在R上的奇函数，

      ∴

      解得a＝﹣2．

7．已知关于x的不等式的解集是(，﹣1)(，)，则实数a的值为 

        ．

答案：﹣2

考点：分式不等式

解析：由题意知a＜0，且，故a＝﹣2．

8．已知，为单位向量，且，若，则cos<，>＝       ．

答案：

考点：利用数量积求向量夹角

解析：∵，，

      ∴，，

      ∴cos<，>＝．

9．已知函数(A＞0，＞0，＜π)是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则       ．

答案：

考点：三角函数的图像与性质

解析：∵函数(A＞0，＞0，＜π)是奇函数，

      ∴＝0，

      又∵的最小正周期为π，

      ∴＝2，即

      将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得

      则

      ∵，

      ∴，解得A＝2，故，

      ∴．

10．函数定义域为R，为偶函数，且对，满足

    ＜0，若＝1，则不等式的解集为       ．

答案：(1，4)

考点：函数的奇偶性与单调性的结合

解析：∵为偶函数

      ∴的对称轴为x＝1

      ∵对，满足＜0，

      ∴在(，1)上递减，又对称轴为x＝1，则在(1，)上递增，

      ∴，＝1，转化为0＜＜2，解得1＜x＜4，

      故原不等式的解集为(1，4)．

11．已知正实数x，y满足，则的最小值为       ．

答案：

考点：基本不等式

解析：∵

∴，且x＞2，y＞1，

∴

   当且仅当时，取“＝”．

12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，，，若，则＝       ．

答案：6

考点：平面向量数量积

解析：因为，所以，即，把AC＝2代入可得：，

      则．

13．已知A、B、C为△ABC的内角，若3tanA＋tanB＝0，则角C的取值范围为       ．

答案：(0，]

考点：诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式，正切函数的图像与性质

解析：因为3tanA＋tanB＝0，可知A、B中一个锐角，一个钝角，则角C必为锐角

      ，则tanA＞0，A为锐角

      ，当且仅当取“＝”，

      则0＜C≤．

14．若对任意的x[1，e2]，都有恒成立，则实数a的取值范围是       ．

答案：[﹣1，]

考点：函数与不等式（恒成立问题）

解析：∵对任意的x[1，e2] 恒成立，

∴对任意的x[1，e2] 恒成立，

      接下来研究，则，列表如下：

      又，，

      ①当a＞0时，，解得；

      ②当a＝0时，0≤1成立；

      ③当a＜0时，，解得．

      综上所述，实数a的取值范围是．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

已知函数．

（1）求的最小正周期及单调递增区间；

（2）求在区间[0，]上的最大值．

16．（本题满分14分）

已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且acosB＋b＝c．

（1）求∠A；

（2）若a＝4，D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积．

17．（本题满分14分）

某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，其中4≤x≤l5)满足：当4≤x≤9时，(a，b为常数)；当9≤x≤15时，y＝﹣5x＋85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．

（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；

（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大．

18．（本题满分16分）

已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M．

（1）设，，试用表示m与n；

（2）设(x，yR)，试用表示x＋y；

（3）求x＋y的最小值．

19．（本题满分16分）

已知：定义在R上的函数的极大值为．

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式有且只有一个整数解，求实数a的取值范围．

20．（本题满分16分）

已知函数(aR)．

（1）若函数在[1，)上单调递减，求实数a的取值范围；

（2）若a＝l，求的最大值．

第II卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知1是矩阵A＝的一个特征值，求点(1，2)在矩阵A对应的变换作用下得到的点的坐标．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是，求直线l被圆C截得的弦长．

C．选修4—5：不等式选讲

对任给的实数a(a≠0)和b，不等式恒成立，求x的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛，已知该同学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立．

（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；

（2）用随机变量X表示该同学获得一等奖的总数，求X的概率分布和数学期望E(x)．

23．（本小题满分10分）

考察1，2，…，n的所有排列，将每种排列视为一个n元有序实数组A＝(，，…，)，设n且n≥2，设为(，，…，)的最大项，其中k＝l，2，…，n．记数组(，，…，)为B．例如，A＝(1，2，3)时，B＝(1，2，3)；A＝(2，1，3)时，B＝(2，2，3)．若数组B中的不同元素个数为2．

（1）若n＝4，求所有n元有序实数组A＝(，，…，)的个数；

（2）求所有n元有序实数组A＝(，，…，)的个数．