辽宁省凌源市联合校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

这是一份辽宁省凌源市联合校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题）
已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则A∩B=（ ）
A. B. C. D.
已知i为虚数单位，复数z满足：z（1+i）=2-i，则在复平面上复数z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
命题p：∀x∈R，ax2-2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
函数f（x）=x2sinx的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
已知m，n是两条不同的自线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若m,n没有公共点,则B. 若,,,则
C. 若,,则D. 若,,则
已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2-|=1，则||=（ ）
A. B. 1C. D. 2
已知正项等比数列{an}满足a1-a2=8，a3-a4=2，若a1a2a3…an=1，则n为（ ）
A. 5B. 6C. 9D. 10
将函数y=sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A. B. C. D.
，则cs2θ的值为（ ）
A. B. C. D.
已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足cs2A-cs2B+cs2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，则△ABC的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 等腰直角三角形
C. 顶角为的等腰三角形D. 顶角为的等腰三角形
设函数f（x）=xlnx的图象与直线y=2x+m相切，则实数m的值为（ ）
A. eB. C. D. 2e
已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、填空题（本大题共4小题）
命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是______（写出否定命题）
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为______．
已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为______．
已知侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．
三、解答题（本大题共6小题）
已知函数．
（1）求函数y=f（x）的值域和单调减区间；
（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且，，求sinA的值．
在中，角所对的边分别为，且满足.
⑴求角的大小；
⑵ 若，求周长的最大值。
已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a2，a4，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求：数列{bn}的前n项和Tn．
已知数列{an}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=an+lg2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为棱形，面PAD⊥面ABCD，PA=PD=5，AD=6，∠DAB=60°，E为AB的中点．
（1）证明：AC⊥PE；
（2）求二面角D-PA-B的余弦值．
已知在x=1与处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}．
故选：A．
分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由z（1+i）=2-i，得z=，
∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（，），位于第四象限．
故选：D．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：命题p：∀x∈R，ax2-2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△=4a2-4a=4a（a-1）＜0，且0＜a，
∴解得：0＜a＜1，
②当a=0时，不等式ax2-2ax+1＞0在R上恒成立，
∴不等式ax2-2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；
命题q：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）为减函数，则：0＜a＜1；
所以：当0≤a＜1；则推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；则能推出0≤a＜1；
则P是q的必要不充分条件．
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由于函数f（x）=x2sinx是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；
又函数过点（π，0），可以排除A，所以只有C符合．
故选：C．
根据函数f（x）=x2sinx是奇函数，且函数过点[π，0]，从而得出结论．
本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：m，n没有公共点，则m，n平行或异面，故A错误；
m⊂α，n⊂β，α∥β，则m，n平行或异面，故B错误；
m⊂α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；
n∥α，由线面平行的性质定理可得n平行于过n的平面与α的交线l，m⊥α，
可得m⊥l，即有m⊥n，故D正确．
故选：D．
由两直线的位置关系可判断A；由面面平行的定义可判断B；由线面的位置关系可判断C；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断D．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，注意平行和垂直的判定和性质的运用，考查推理能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||=1，∴=||•1•=，
∵|2-|=1，∴=4-4+=4-2||+1=1，∴4-2||=0，∴||=，
故选：A．
由题意可得=||•1•=，再根据，=1，求得||的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：正项等比数列{an}满足a1-a2=8，a3-a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代入a1-a2=8，可得a1=16，a1a2a3…an=1，可得（a1an）n=1，所以a1an=1，a12qn-1=1，
∴=1，解得n=9．
故选：C．
利用已知条件求出对比以及数列的首项，通过a1a2a3…an=1，转化求出n的表达式，求解即可．
本题考查数列的递推关系式以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
8.【答案】A
【解析】解：将函数y=sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y=sin（2x-）图象，
令2x-=kπ，可得x=+，k∈Z，故所得函数图象的对称中心为（+，0）．
令k=1，可得所得图象的一个对称中心为（，0），
故选：A．
由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：∵=-sinθ，
∴sinθ=，
∴cs2θ=1-2sin2θ=1-2×（）2=．
故选：A．
由已知利用诱导公式可求sinθ的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：∵cs2A-cs2B+cs2C=1+sinAsinC，
∴（1-sin2A）-（1-sin2B）+（1-sin2C）=1+sinAsinC，
∴可得sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC，
∴根据正弦定理得a2+c2-b2=-ac，
∴由余弦定理得csB===-，
∵B∈（0°，180°），
∴B=120°，
∵sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC．
∴变形得=（sinA+sinC）2-sinAsinC，
又∵sinA+sinC=1，得sinAsinC=，
∴上述两式联立得sinA=sinC=，
∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，
∴A=C=30°，
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
故选：D．
利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得csA的值，进而求得A，由sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC，与sinA+sinC=1联立求得sinA和sinC的值，进而根据A，C的范围推断出A=C，即可判断得解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：设切点为（s，t），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
可得切线的斜率为1+lns=2，解得s=e，
则t=elne=e=2e+m，即m=-e．
故选：B．
设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：，
∴，解得f′（2）=8．
故选：C．
可以求出导函数，从而可得出，解出f′（2）即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是：．
故答案为：．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
14.【答案】f（x）=
【解析】解：由函数的图象可得A=1，T=-，解得：T==π，
解得ω=2．
图象经过（，1），可得：1=sin（2×+φ），
解得：φ=2kπ+，k∈Z，
由于：|φ|＜，
可得：φ=，
故f（x）的解析式为：f（x）=．
故答案为：f（x）=．
由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，1），求出φ，从而得到f（x）的解析式．
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：A（2，0），B（0，1），
可得AB的方程为+y=1，（0≤x≤2），
由+y≥2，
可得xy≤2•（+y）2=，
当且仅当x=，y=时，取得最大值，
故答案为：．
求得线段AB的方程，由基本不等式，计算可得所求最大值．
本题考查直线方程的求法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】3πa2
【解析】解：因为侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，
三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，
球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：a；
所以球的表面积为：4π（）2=3πa2
故答案为：3πa2．
侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．
本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥扩展为正方体是本题的关键，正方体的对角线是外接球的直径也不容忽视，考查计算能力．
17.【答案】解：（1）∵
==，且，
∴所求值域为；
由，
得：，k∈Z．
故所求减区间为：；
（2）∵A，B，C是△ABC的三个内角，，∴，
又，即，
且，∴．
故．
【解析】（1）展开两角和的正弦，再由倍角公式降幂，利用辅助角公式化积，则函数的值域可求，再由复合函数的单调性求函数的单调减区间；
（2）由已知求得sinB，再由求解C，然后利用诱导公式及两角和的正弦求解sinA的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查三角形的解法，是中档题．
18.【答案】解：（Ⅰ）依正弦定理可将化为：
因为在中，sinB＞0，
所以，即，
∵0＜A＜π，∴．
（Ⅱ）因为三角形的周长=a+b+c=4+b+c，
所以当b+c最大时，△ABC的周长最大，
因为a2=c2+b2-2bccsA=（b+c）2-3bc，
因为a=4，且，则
∴16，即b+c≤8（当且仅当b=c=4时等号成立）
所以△ABC周长的最大值为12．
【解析】本题考查正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．
（Ⅰ）利用正弦定理、商的关系化简式子，求出tanA的值，由A的范围求出角A的大小；
（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，利用基本不等式求出b+c的范围，再求出△ABC的周长最大值.
19.【答案】解：（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），
据题得，解得，d=．
∴数列{an}的通项公式为；
（2）由，得．
令，
则，
∴=，
∴，
∴Tn=．
【解析】（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），由题意列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，代入等差数列的通项公式即可；
（2）求得数列{bn}的通项公式，再由错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6…（2分）
得或（舍） …（4分）
所以，a1=1
所以…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（7分）
所以Tn=b1+b2+…+bn=（20+21+…+2n-1）+（1+2+…+n）==…（13分）
【解析】（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6，a2＜a3，解出，再利用通项公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OE，BD，
∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵O、E分别为AD，AB的中点，∴OE∥BD，
∴AC⊥OE．
∵PA=PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，
∵OE∩OP=O，∴AC⊥面POE，
∵
∴AC⊥PE；
（2）解：连接OB，∴ABCD为菱形，∴AD=AB，
∵∠DAB=60°，∴△DAB为等边三角形，
又O为AD的中点，∴BO⊥AD，
∵PO⊥面ABCD，
∴PO⊥OA，∴OP、OA、OB两两垂直．
以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz，则
A（3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，4），
=（0，，0）为平面PAD的法向量，
设面PAB的法向量，
∵，，
则，即，取x=1，则，
∴cs＜＞==，
结合图形可知二面角D-PA-B的余弦值为．
【解析】（1）取AD的中点O，连接OP，OE，BD，由已知可得BD⊥AC，又O、E分别为AD，AB的中点，可得OE∥BD，得到AC⊥OE．再由PA=PD，O为AD的中点，得到PO⊥AD，结合面面垂直的性质可得PO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥面POE，从而得到AC⊥PE；
（2）求解三角形证明OP、OA、OB两两垂直．以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O-xyz，得到A，B，P的坐标，可得平面PAD的一个法向量，再求得面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-PA-B的余弦值．
本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
22.【答案】解：（1）∵，∴，
∵在x=1与处都取得极值，
∴f'（1）=0，．∴，解得；
（2）由（1）可知，
令，解得x=1或，
∵，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．
，而f（）-f（1）=（-ln4）-（-）=-ln4＞0，
所以f（）＞f（1），即f（x）在上的最大值为-ln4．
对时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）max＜c，即-ln4＜c，
所以实数c的取值范围为c＞-ln4．
【解析】（1）求出f′（x），由题意可得f'（1）=0，．解此方程组即得a，b值；
（2）对时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）max＜c，利用导数即可求得f（x）的最大值；
本题考查利用导数求函数的最值、函数在某点取得极值的条件，考查函数恒成立问题，转化为求函数最值是解决函数恒成立问题的常用方法．