2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2020届辽宁省沈阳市五校协作体高三上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合 A＝{x|0＜x＜6}，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则A∪B＝（　　）

A．{x|1＜x＜6} B．{x|x＜﹣2或x＞0} C．{x|2＜x＜6} D．{x|x＜﹣2或x＞1}

【答案】B

【解析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．

【详解】

∵B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A＝{x|0＜x＜6}，

∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞0}．

故选：B．

【点睛】

本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题

2．设，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.

详解：

，

则，故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3．函数部分图象可以为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】本题选项A、B中的图像关于轴对称，选项C、D中的图像关于原点对称，故可以从函数的奇偶性角度排除C、D，然后再根据函数值在x接近于0时的符号不一样，进行筛选。

【详解】

解：函数定义域为R

因为，函数

所以，函数为偶函数，故C、D不符合

当时，函数，

故选A

【点睛】

判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选。

4．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：

402　　978　　191　　925　　273　　842　　812　　479　　569　　683

231　　357　　394　　027　　506　　588　　730　　113　　537　　779

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共54随机数，根据概率公式，得到结果．

【详解】

由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，

在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，

可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，

所求概率为，

故选：D．

【点睛】

本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．

5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若，，则；         ②若，，则；

③若，，，则；  ④若，，，则

其中正确命题的序号是（   ）

A．①② B．①③ C．②③ D．③④

【答案】C

【解析】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A、B选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.

6．朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，推导出q=，由此能求出的值．

【详解】

依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，

则=，且=2a1，∴q=，

∴==q6=．

故选：A．

【点睛】

本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

7．甲、乙、丙三明同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（  ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定

【答案】B

【解析】试题分析：如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分．故选B．

【考点】合情推理．

8．已知双曲线：的左右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，的长为半径作圆，与在第一象限交于点，若直线的倾斜角为且，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】因为直径所对的圆周角为，所以，，，结合双曲线的定义，即可求解。

【详解】

由题意知：，，，，两边平方得：.

【点睛】

本题考查双曲线的定义，离心率问题，结合了圆，三角函数的相关知识，重在考查学生的知识的综合应用能力，求解运算能力，属中档题。

9．已知函数，则

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称

【答案】C

【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．

【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．

10．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由三角函数的图象变换，求得函数，求得增区间，令，可得函数的单调递增区间为，进而根据函数在区间上无极值点，即可求解.

【详解】

由题意，将函数的图象向左平移个单位，

可得函数，

令，解得

即函数的单调递增区间为，

令，可得函数的单调递增区间为，

又由函数在区间上无极值点，则的最大值为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.

11．已知O为坐标原点，抛物线上一点A到焦点F的距离为4，若点P为抛物线C准线上的动点，则的最小值为（　　）

A． B．8 C． D．

【答案】A

【解析】由已知条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由，知的最小值为，由此能求出结果．

【详解】

解：抛物线的准线方程为，

∵，

∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为2，

∵点A在抛物线上，

∴A的坐标

∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为，

∴，

∴的最小值：．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

12．已知函数 ，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先求得满足的的值，然后结合函数的图象确定函数零点的个数即可.

【详解】

由可得：或，

当时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以函数在处有极小值，

作出函数的图象如图所示，

观察可得，函数的零点个数为3.故选B.

【点睛】

本题主要考查了函数与方程，分段函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于难题.

二、填空题

13．设向量，，且，则_______.

【答案】

【解析】根据向量垂直的充要条件得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．

【详解】

∵；

∴；

即x+2（x+1）＝0；

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．

14．已知数列满足：，，，（），则_______.

【答案】

【解析】利用已知条件推出数列为等差数列，可得，进而求得，求得结果.

【详解】

∵，

∴数列为等差数列，首项为1，公差为1，

∴，即，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查了等差中项的应用及等差数列的通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力．

15．已知则当a的值为        时取得最大值.

【答案】4

【解析】试题分析：由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.

【考点】基本不等式求最值．

16．一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切）则容器内水的体积为__________．

【答案】.

【解析】先由题意作出轴截面，根据圆锥的底面直径与母线长相等，得到，再记铁球的半径为，得，求出圆锥的高，以及圆锥底面圆半径，最后由，即可求出结果.

【详解】

如图所示，作出轴截面，

由题意，圆锥的底面直径与母线长相等，可得，则，所以，

记铁球的半径为，即，在中，，则，所以，因此，

所以铁球所在圆锥的体积为，

即.

故答案为

【点睛】

本题主要考查圆锥内切球的相关计算，熟记体积公式即可，属于常考题型.

三、解答题

17．在中，，．

（1）若，求的面积；

（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；

（2）设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．

【详解】

（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，，

所以，所以．

（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得

解得：所以．

【点睛】

本题考查解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化能力与计算能力．

18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：，

【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析

（2）80

（3）能

【解析】【详解】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可。

（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。

（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果。

详解：（1）第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知.

列联表如下：

（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活。

19．在四棱柱中，底面为平行四边形，平面．，

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与底面所成角为， ，，分别为，，的中点，求三棱锥的体积．

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】（1）推导出D1D⊥平面ABCD，D1D⊥BC，AD⊥BD，由AD∥BC，得BC⊥BD，从而BC⊥平面D1BD，由此能证明平面D1BC⊥平面D1BD．

（2）由平面得，可以计算出，再利用锥体体积公式求得，根据等体积法即为.

【详解】

（1）∵平面，平面，

∴.

又，，，

∴，

∵，∴.

又∵，

∴.

又∵，平面，平面，

∴平面，而平面，

∴平面平面；

（2）∵平面，

∴即为直线与底面所成的角，即，

而，∴.

又，

∴.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的定义及求法，考查了三棱锥体积的常用求法，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20．已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.

【答案】（1）（2）证明过程详见解析

【解析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；

（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得

， 与椭圆有两个交点，.

设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明

即可.

【详解】

解：（1）依题意可设圆方程为，

圆与直线相切，.，

由解得，

椭圆的方程为.

（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得

，

与椭圆有两个交点，，即.

设，，直线，的斜率分别为，

则，.

，

即.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．

21．已知函数.

（Ⅰ）求函数极值；

（Ⅱ）若对任意，，求的取值范围.

【答案】(1) ，无极大值；(2) .

【解析】（Ⅰ）先对函数求导，利用导数的方法确定函数单调性，进而可得出极值；

（Ⅱ）先设，对函数求导，分，和三种情况讨论，用导数方法判断其单调性等，即可得出结果.

【详解】

解：（Ⅰ）令，

，无极大值；

（II）对任意，即，

设，，

①当时，单调递增，单调递增，，成立；

②当时，令，单调递增，单调递增，，成立；

③当时，当时，，单调递减，单调递减，，不成立.

综上，的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.

22．选修4-4：坐标系与参数方程.

以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.

（1）求与的极坐标方程；

（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为

（2）

【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；

（2）设的极坐标方程为，，分别与和的极坐标方程联立，可得和，进而看化简求值.

【详解】

解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，

的方程为，其极坐标力程为.

（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，，

联立与的极坐标方程，得，即，

联立与的极坐标方程，得，即，

所以 ，

又，所以.

【点睛】

本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.

23．选修4-5 不等式选讲

已知均为正实数.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求.

【答案】(1)见解析.(2)见解析.

【解析】（Ⅰ）先将展开，再用基本不等式即可得出结论；

（II）先由题意，计算，再由基本不等式，即可得出结果.

【详解】

解：（Ⅰ）

；           

（II）

而，所以.

【点睛】

本题主要考查不等式的证明，常用综合法处理，熟记基本不等式即可，属于常考题型.