【期末常考压轴题】湘教版七年级数学下册-期末复习01 二元一次方程组、整式乘法、因式分解运算过关集训

期末复习01 二元一次方程组、整式乘法、因式分解运算过关集训

【考点导航】

【典型例题】

【考点一 解二元一次方程组】

【例题1】（2023春·七年级单元测试）解方程组：

(1)                        (2)

【答案】(1)

(2)

【分析】利用加减消元法解方程即可．

【详解】（1）解：

得，解得，

把代入①得，解得，

∴方程组的解为；

（2）解：

整理得：，

得，解得，

把代入①得：，解得，

∴方程组的解为．

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023春·七年级单元测试）解下列方程：

(1)；                       (2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据代入消元法计算即可；

（2）首先对方程组进行整理，然后再根据加减消元法计算即可．

【详解】（1）解：，

把代入，可得：，

解得：，

把代入，可得：，

∴原方程组的解为；

（2）解：，

整理方程组，可得：，

由，可得：，

解得：，

把代入，可得：，

解得：，

∴原方程组的解为．

【点睛】本题考查了解二元一方程组，解本题的关键在熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一方程组．

2．（2023春·七年级单元测试）解方程组：

(1)                          (2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；

（2）方程组利用加减消元法求出解即可．

【详解】（1）将②代入①，得，

解得．

将代入②，得．

所以原方程组的解为；

（2）由①，得．③

②－③，得，解得．

将代入②，解得

所以原方程组的解为．

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

3．（2023春·七年级单元测试）解方程组：

(1)；                        (2)；

(3)；                        (4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）（2）（4）利用加减消元法求解即可；（3）利用代入消元法求解即可．

【详解】（1）解：

得

将代入②，得

不等式组得解为

（2）解：原方程组可化为

得

将代入①得

不等式组的解为

（3）解：

将②代入①得

将代入②得

不等式组的解为

（4）解：原方程可化为

得

将代入①得

不等式组的解为

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．

4．（2023春·七年级单元测试）解下列方程组．

(1)；                         (2)；         

(3)；                        (4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）根据代入消元法计算即可；

（2）根据加减消元法计算即可；

（3）根据加减消元法计算即可；

（4）首先对方程组进行整理，然后再根据代入消元法计算即可．

【详解】（1）解：，

把代入，可得：，

解得：，

把代入，可得：，

∴原方程组的解为；

（2）解：，

由，可得：，

解得：，

把代入，可得：，

解得：，

∴原方程组的解为；

（3）解：，

由，可得：，

解得：，

把代入，可得：，

解得：，

∴原方程组的解为；

（4）解：，

整理方程组，可得：，

由可得：，

把代入，可得：，

解得：，

把代入，可得：，

∴原方程组的解为．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组．

5．（2023春·七年级单元测试）解方程组：

(1)；              (2)；            (3)

(4)；            (5)；                 (6)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用加减消元法求解即可．

【详解】（1）解：

，得

解得：

将代入①，得

不等式组的解为

（2）解：

原方程组可化为

得

将代入②，得

不等式组得解为

（3）解：

，得

将代入①，得

不等式组的解为

（4）解：原方程可化为

，得

将代入②，得

不等式组得解为

（5）解：原方程可化为

得

将代入①得

不等式组得解为

（6）解：原方程组可化为

得

将代入②得

不等式组的解为

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．

【考点二 不解二元一次方程组求式子的值】

【例题2】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）已知，满足，则_________．

【答案】3

【分析】将方程组两式相加，化简可得结果．

【详解】解：，

得：，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组的解，利用两式相加得到的值是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023春·山东临沂·七年级统考期中）已知x，y满足方程组，则的值为______．

【答案】

【分析】把方程组的两个方程相加得到，即可求出．

【详解】解：

得，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键．

2．（2023春·浙江温州·七年级统考期中）已知方程组，则的值是______.

【答案】2

【分析】直接求解即可得到答案.

【详解】解：得，

，

故答案为：2；

【点睛】本题主要考查根据二元一次方程组求代数式值，解题的关键是熟练掌握两方程和差与代数式之间的关系．

3．（2023·山东临沂·统考一模）已知二元一次方程组，则的值为_____________．

【答案】2

【分析】先将②-①得，即可求得答案．

【详解】原方程组为，

由②-①得，

∴

故答案为：2．

【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．

【考点三 整式的混合运算】

【例题3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据单项式乘以单项式，平方差公式进行计算即可求解；

（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了整式的乘法，乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求积的乘方，然后求同底数幂的乘法，最后合并同类项即可；

（2）先进行积的乘方的逆运算，然后运用平方差公式、完全平方公式求解即可；

（3）运用完全平方公式，以及多项式乘多项式进行运算求解即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

．

【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式等知识．解题的关键在于正确的运算．

2．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式即可得到正确结果；

（2）根据完全平方公式正确结果；

（3）根据完全平方公式、平方差公式正确结果．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

．

【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．

3．（2023春·贵州六盘水·七年级校联考阶段练习）计算下列各题：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂乘法即可解答；

（2）直接利用完全平方公式即可解答；

（3）先计算括号内的乘方和单项式乘多项式，再合并同类项，最后再根据单项式乘多项式法则计算即可；

（4）先根据完全平方式、平方差公式计算，再去括号，合并同类项即可．

【详解】（1）解：原式

（2）解：原式

（3）解：原式

（4）解：原式

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，涉及的知识点有积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、平方差公式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．

4．（2023秋·八年级单元测试）计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)39999.75

(4)1

【分析】（1）根据平方差公式进行运算即可得到答案；

（2）根据平方差公式进行运算即可得到答案；

（3）根据平方差公式进行运算即可得到答案；

（4）根据完全平方公式进行运算即可得到答案．

【详解】（1）解：原式；

（2）解：原式；

（3）解：原式；

（4）解：原式．

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则、乘除运算法则，本题属于基础题型．

【考点四 化简求值】

【例题4】（2023春·江西鹰潭·七年级统考期中）求代数式的值，其中，.

【答案】，1

【分析】先根据整式的乘法，平方差公式和完全平方公式对代数式进行化简，再见、的值代入计算即可得到答案．

【详解】解：

，

当，时，

原式．

【点睛】本题考查了整式的乘法，平方差公式，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．

【变式训练】

1．（2023·吉林长春·校考一模）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．

【详解】解：

，

当时，

原式

．

【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘法运算法则，本题属于基础题型．

2．（2023春·湖南怀化·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中，．

【答案】；

【分析】根据完全平方公式与平方差公式进行计算，然后将字母的值代入即可求解．

【详解】解：

，

当，时，原式．

【点睛】本题考查了整式的乘法与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．

3．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）先化简，再求值：，其中，．

【答案】，

【分析】根据完全平方公式与多项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项化简，最后将字母的值代入进行计算即可求解．

【详解】解：∵

；

当，时，

原式

．

【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式与化简求值，熟练掌握多项式的乘法法则，乘法公式是解题的关键．

4．（2023春·江苏无锡·七年级江苏省天一中学校考期中）先化简，再求值：，其中，．

【答案】，2

【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可．

【详解】解：

，

将，代入，可得：

原式．

【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．

5．（2023·北京通州·统考一模）先化简，再求值：已知，求的值．

【答案】8

【分析】先利用完全平方公式与平方差公式以及单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再由可得，整体代入求值即可．

【详解】解：

∵

∴

∴

【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，熟练的利用乘法公式进行化简，再整体代入求值是解本题的关键．

6．（2023春·广东深圳·七年级深圳中学校考期中）先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】原式利用完全平分公式，平方差公式展开，去括号合并得到最简结果，将代入计算即可求出值．

【详解】解：原式

．

当时，原式．

【点睛】题主要考查了整式的混合运算与化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．

【考点五 因式分解】

【例题5】（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）把下列各式分解因式：

(1)                  (2)

(3)；                    (4)

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；

（2）原式进行变形后，先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；

（3）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；

（4）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．

【详解】（1）解：==；

（2）解：===；

（3）解：===；

（4）解：==

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

【变式训练】

1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）因式分解：__________．

【答案】

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答．

【详解】

故答案为：．

【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．

2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）分解因式：_________．

【答案】

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．

【详解】解：

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．

3．（2023春·江苏·七年级期末）分解因式______．

【答案】/

【分析】提取负号后，用完全平方公式即可分解．

【详解】解：

，

故答案为：

【点睛】本题考查了多项式的因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．

4．（2023秋·八年级单元测试）因式分解：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；

（2）利用完全平方公式和平方差公式求解即可；

（3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；

（4）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

；

（4）解：

．

【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解，熟记公式并正确求解是解答的关键．

5．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；

（2）先利用平方差公式分解因式，再提取公因数分解因式即可；

（3）先利用平方差公式分解因式，再提取公因数分解因式即可；

（4）利用平方差公式分解因式即可．

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

；

（3）解：原式

．

（4）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．

6．（2023春·江苏·七年级期中）因式分解：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）直接提取公因式即可解答；

（2）先凑成完全平方公式的形式，然后根据完全平方公式因式分解即可；

（3）先提取公因式，然后再运用平方差公式因式分解即可；

（4）先运用平方差公式，再运用完全平方公式因式分解即可．

【详解】（1）解：．

（2）解：．

（3）解：

．

（4）解：

．

【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．