人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念达标测试

第七章　7.1　7.1.1

A组·素养自测

一、选择题

1．如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为(　A　)

A．－2　 　　 B．1　

C．2　 　　 D．1或－2

[解析]　由题意知：解得a＝－2，故选A．

2．以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是(　C　)

A．－2＋3i B．－3＋i

C．－2i＋3 D．1－3i

[解析]　3i－1的虚部为3，－2＋i的实部为－2，故以3i－1的虚部为实部，以－2＋i的实部为虚部的复数是3－2i，故选C．

3．若复数z＝(m2－2m－15)＋(m2－16)i＞0，则实数m的值等于(　B　)

A．4 B．－4

C．5 D．－3

[解析]　∵z＞0，∴

即，

所以m＝－4．

4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(　B　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．

5．(多选题)有下列四个命题，其中正确的是(　ABC　)

A．方程2x－5＝0在自然数集N中无解

B．方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解

C．x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解

D．x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解

[解析]　经逐一检验知ABC正确，D中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选ABC．

二、填空题

6．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝__1__．

[解析]　∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，

∴，解得a＝1．

故答案为1．

7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为__2__．

[解析]　由题意得解得m＝2．

8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝__2__，n＝__±2__．

[解析]　由复数相等的充要条件有

⇒

三、解答题

9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．

(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；

(2)＋(x2－2x－3)i＝0．

[解析]　(1)∵x，y∈R，

∴由复数相等的定义得

解得

(2)∵x∈R，

∴由复数相等的定义得

即∴x＝3．

10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

[解析]　(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0．

故若使z为实数，则，

解得m＝6．所以当m＝6时，z为实数．

(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0．

故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，

所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．

(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0．

故若使z为纯虚数，则，

解得m＝－或m＝1．

所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．

B组·素养提升

一、选择题

1．设a，b∈R．“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　B　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　当a＝0时，若b＝0，则a＋bi是实数，不是纯虚数，因此“a＝0”不是“复数a＋bi是纯虚数”的充分条件；而若a＋bi是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可以得到a＝0，因此“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要条件．

故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．

2．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　B　)

A．2kπ－ B．2kπ＋

C．2kπ± D．＋(以上k∈Z)

[解析]　由得(k∈Z)．

∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．

3．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为(　A　)

A．0 B．－1

C．－ D．

[解析]　由z1＞z2，得

即解得a＝0．

4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(　D　)

A．－7≤λ≤ B．≤λ≤7

C．－1≤λ≤1 D．－≤λ≤7

[解析]　由z1＝z2，得

消去m，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝42－．

由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7．

二、填空题

5．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为__4__．

[解析]　∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，∴，解得：x＝4．

6．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于__3－i__．

[解析]　由题意，n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，

即解得∴z＝3－i．

三、解答题

7．若不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．

[解析]　由题意，得

∴∴当m＝3时，原不等式成立．

8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．

[解析]　由定义运算＝ad－bc，

得＝3x＋2y＋yi，

故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi．

因为x，y为实数，

所以有得得x＝－1，y＝2．