高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念一课一练

7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念

A级　基础巩固

1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为(　　)

A.-2 B. C.- D.2

解析:复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),即b=2.

答案:D

2.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则 (　　)

A.M∪R=I B.(∁IM)∪R=I

C.(∁IM)∩R=R D.M∩(∁IR)=⌀

解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如图所示.

所以应有:M∪R⫋I,(∁IM)∪R=∁IM,M∩(∁IR)≠⌀,故A,B,D三项均错误,只有C项正确.

答案:C

3.有下列四个命题:

(1)方程2x-5=0在自然数集N中无解;

(2)方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;

(3)x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;

(4)x4=1在实数集R中有两解,在复数集C中也有两解.

其中正确命题的个数是 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:经逐一检验知(1)、(2)、(3)正确,(4)中方程x4=1在C中有4解,错误,故选C.

答案:C

4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi= (　　)

A.-2+i B.2+IC.1-2i D.1+2i

解析:由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件,得x=2,y=1,故x+yi=2+i.

答案:B

5.复数z=(2a2-a-1)+(a-1)i,a∈R.

(1)若z为实数,求a的值;

(2)若z为纯虚数,求a的值;

(3)若z=9-3i,求a的值.

解:(1)若z为实数,则a-1=0,解得a=1.

(2)若z为纯虚数,则解得a=-.

(3)若z=9-3i,则解得a=-2.

B级　能力提升

6.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:因为a,b∈R,当a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数,如当b=0时,a+bi=0∈R.而当复数a+bi是纯虚数时,a=0一定成立.所以当a,b∈R时,“a=0”是“复数 a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.

答案:B

7.已知z1=(-4a+1)+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R.若z1>z2,则a的取值集合为　　　　. 

解析:因为z1>z2,所以

所以a=0,故所求a的取值集合为{0}.

答案:{0}

8.定义运算=ad-bc,已知(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.

解:由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

因为x,y为实数,所以有

得解得

9.已知关于x的方程x2+(2-3i)x+5mi+i=0有实数根,求纯虚数m.

解:由于m是纯虚数,设m=bi(b∈R,且b≠0).

设方程的实数根为a,代入原方程,整理得(a2+2a-5b)+(1-3a)i=0.

因为a,b∈R,所以由复数相等的充要条件,得 解得

所以纯虚数m=i.

C级　挑战创新

10.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足M∩N⊆M,且M∩N≠⌀,求整数a,b的值.

解:由题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,①

或8=(a2-1)+(b+2)i,②

或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③

由①,解得a=-3,b=±2;

由②,解得a=±3,b=-2;

③中a,b无整数解,不符合题意.

综上,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.