江苏省苏州苏科版七年级数学（下）期末数学培优专题试卷答案详解（E）

江苏省苏州苏科版七年级数学（下）期末数学培优专题试卷答案详解（E）

一、选择题

1．如果一个三角形的两边分别为2和4，则第三边长可能是（　　）

　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2

2．下列运算不正确的是（　　）

　 A． x3+x3=x6 B． x6÷x3=x3 C． x2•x3=x5 D． （﹣x3）4=x12

3．不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　）

　 A．  B．  C．    D．

4．把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（）

 A． m（x+3）2 B． m（x+3）（x﹣3） C． m（x﹣4）2 D． m（x﹣3）2

5．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

　 A． B．

C． D．

6．如果a＜b，下列各式中不一定正确的是（）

 A． a﹣1＜b﹣1 B． ＜ C． ﹣3a＞﹣3b D． ＜

7．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

　 A． ac＞bc B． ab＞cb C． a+c＞b+c D． a+b＞c+b

8．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）

 A．  B． 

 C．  D． 

9．如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）

 A． 180° B． 270° C． 360° D． 无法确定

二、填空题

1．计算：（3x﹣1）（x﹣2）=　       　．

2．地球最深的海沟是位于太平洋的马里亚纳大海沟，其最深处海拔﹣11034m，该数用科学记数法可表示为　      　m．

3．写出“对顶角相等”的逆命题　   　．

4．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是　        　．

5．如果a2b3与﹣ax+1bx+y是同类项，那么xy=　 　．

6．已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　      ．

7．如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1=15°，那么∠2的度数是　  　．

8．若4a2+kab+9b2是一个完全平方式，则k=　  　．

9．若一个三角形的3边长分别是xcm、（x+4）cm、（12﹣2x）cm，则x的取值范围是　     　．

10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

三、解答题

1．计算

（1）（）﹣2﹣32+（2x﹣5）0；

（2）（2x2）3﹣2x2y3•3xy3．

2．把下列各式分解因式：

（1）（x+1）2﹣； 

（2）3ax2+6axy+3ay2．

3．解不等式组，并写出它的所有整数解．

4．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy的值；         

（2）求x2+3xy+y2的值．

5．如图，已知：DE⊥AC于E，BC⊥AC，CD⊥AB于D，∠1=∠2，说明：GF⊥AB．

6．已知与都是方程y=kx+b的解，

（1）求k，b的值；

（2）若y的值不大于0，求x的取值范围；

（3）若﹣1≤x＜2，求y的取值范围．

7．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程（ 组） 求解）

8．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．

（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；

（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．

（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．

答案详解：

一、选择题

1．如果一个三角形的两边分别为2和4，则第三边长可能是（　　）

　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2

考点： 三角形三边关系．

分析： 已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．

解答： 解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．

因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．

2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．

故选C．

点评： 本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

2．下列运算不正确的是（　　）

　 A． x3+x3=x6 B． x6÷x3=x3 C． x2•x3=x5 D． （﹣x3）4=x12

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析： 结合选项分别进行同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，然后选择正确选项．

解答： 解：A、x3+x3=2x3，本选项错误；

B、x6÷x3=x3，本选项正确；

C、x2•x3=x5，本选项正确；

D、（﹣x3）4=x12，本选项正确；

故选：A．

点评： 本题主要考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算，解题的关键是熟记同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算法则．

3．不等式组的解集在数轴上可以表示为（　　）

　 A．  B．  C．  D．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

分析： 首先求出各个不等式的解集，再利用数轴表示出来即可．

解答： 解：由①得

x＞﹣2，

由②得

x≤4，

所以﹣2＜x≤4，

故选D．

点评： 本题考查不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，需要注意：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于的点要用实心圆点．

4．把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（）

 A． m（x+3）2 B． m（x+3）（x﹣3） C． m（x﹣4）2 D． m（x﹣3）2

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式m，再对余下的多项式继续分解．

解答： 解：mx2﹣6mx+9m，

=m（x2﹣6x+9），

=m（x﹣3）2．

故选D．

点评： 本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

5．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 三角形的角平分线、中线和高．

分析： 根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．

解答： 解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．

故选D．

点评： 本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．[来源:学科网]

5．如果a＜b，下列各式中不一定正确的是（）

 A． a﹣1＜b﹣1 B． ＜ C． ﹣3a＞﹣3b D． ＜

考点： 不等式的性质．

分析： 利用不等式的基本性质进行判断．

解答： 解：A、如果a＜b，根据不等式两边同时减去一个数，不等号的方向不改变，则有a﹣1＜b﹣1．故A选项不符合题意；

B、如果a＜b，令a=﹣2，b=﹣1，则有 即，所以不成立，故B符合题意；

C、如果a＜b，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，则有﹣3a＞﹣3b．故B选项不符合题意；

D、如果a＜b，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号的方向不改变，则有．故D不符合题意．

故选：B．

点评： 此题考查的是不等式的性质，解题的关键在于熟练掌握不等式的基本性质．

6．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

　 A． ac＞bc B． ab＞cb C． a+c＞b+c D． a+b＞c+b

考点： 实数与数轴．

分析： 根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．

解答： 解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，

A、ac＜bc，故本选项错误；

B、ab＞cb，故本选项正确；

C、a+c＜b+c，故本选项错误；

D、a+b＜c+b，故本选项错误．

故选B．

点评： 本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．

7．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）

 A．  B． 

 C．  D． 

考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析： 设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．

解答： 解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，

由题意得．

故选A．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

8．如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）

 A． 180° B． 270° C． 360° D． 无法确定

考点： 翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．

分析： 由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和．

解答： 解：由题意知，

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，

∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°，

故选C．

点评： 本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识．

二、填空题

1．计算：（3x﹣1）（x﹣2）=　3x2﹣7x+2　．

考点： 多项式乘多项式．

专题： 计算题．

分析： 原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．

解答： 解：原式=3x2﹣6x﹣x+2=3x2﹣7x+2，

故答案为：3x2﹣7x+2

点评： 此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．地球最深的海沟是位于太平洋的马里亚纳大海沟，其最深处海拔﹣11034m，该数用科学记数法可表示为　﹣1.1034×104　m．

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将﹣11034用科学记数法表示为：﹣1.1034×104．

故答案为：﹣1.1034×104．

点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．写出“对顶角相等”的逆命题　相等的角是对顶角　．

考点： 命题与定理．

分析： 将原命题的条件及结论进行交换即可得到其逆命题．

解答： 解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；

∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．

点评： 此题主要考查学生对命题及逆命题的理解及运用能力．

4．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是　a＜3　．

【考点】不等式的解集．

【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．

【解答】解：∵（a﹣3）x＞1的解集为x＜，

∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，

∴a﹣3＜0，

∴a＜3．

故答案为：a＜3．

5．如果a2b3与﹣ax+1bx+y是同类项，那么xy=　2　．

【考点】同类项．

【分析】依据同类项的相同字母的指数相同列方程组求解即可．

【解答】解：∵a2b3与﹣ax+1bx+y是同类项，

∴x+1=2，x+y=3．

解得：x=1，y=2．

∴xy=2．

故答案为：2．

6．已知2m+5n+3=0，则4m×32n的值为　　．

【考点】同底数幂的乘法．

【分析】都化成以2为底数的幂的运算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后求出2m+5n=﹣3，再根据负整数指数次幂等于正整数指数幂的倒数进行计算即可得解．

【解答】解：4m×32n，

=22m×25n，

=22m+5n，

∵2m+5n+3=0，

∴2m+5n=﹣3，

∴4m×32n=2﹣3=．

故答案为：．

7．如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1=15°，那么∠2的度数是　15°　．

8．若4a2+kab+9b2是一个完全平方式，则k=　±12　．

考点： 完全平方式．

分析： 先根据两平方项求出这两个数是2a和3b，再根据完全平方公式的乘积二倍项列式求解即可．

解答： 解：∵4a2+kab+9b2是一个完全平方式，

∴这两个数是2a和3b，

∴kab=±2×2a•3b，

解得k=±12．

点评： 本题考查完全平方式的结构特点，根据平方项确定出这两个数是求解的关键，要注意有两种情况．

9．若一个三角形的3边长分别是xcm、（x+4）cm、（12﹣2x）cm，则x的取值范围是　2＜x＜4　．

10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 角平分线的性质；垂线段最短． 

分析： 由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA=PQ，可求得PQ=2．

解答： 解：

∵垂线段最短，

∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，

又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，

∴PQ=PA=2，

故选B．

点评： 本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

三、解答题

1．计算

（1）（）﹣2﹣32+（2x﹣5）0；

（2）（2x2）3﹣2x2y3•3xy3．

考点： 整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．

专题： 计算题．

分析： （1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果．

解答： 解：（1）原式=9﹣9+1

=1；

（2）原式=8x6﹣6x3y6．

点评： 此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．把下列各式分解因式：

（1）（x+1）2﹣； 

（2）3ax2+6axy+3ay2．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： （1）直接利用平方差公式分解因式得出即可；

（2）首先提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．

解答： 解：（1）（x+1）2﹣

=（x+1﹣）（x+1+）

=（x+）（x+）；

（2）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2．

点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．

3．解不等式组，并写出它的所有整数解．

4．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy的值；         

（2）求x2+3xy+y2的值．

考点： 完全平方公式．

分析： （1）先去括号，再整体代入即可求出答案；

（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．

解答： 解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，

∴xy+2x+2y+4=12，

∴xy+2（x+y）=8，

∴xy+2×3=8，

∴xy=2；

（2）∵x+y=3，xy=2，

∴x2+3xy+y2

=（x+y）2+xy

=32+2

=11．

点评： 本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．

5．如图，已知：DE⊥AC于E，BC⊥AC，CD⊥AB于D，∠1=∠2，说明：GF⊥AB．

考点： 平行线的判定与性质；垂线．

专题： 证明题．

分析： 先证明DE∥BC，结合平行线的性质可得到∠1=∠3，可证明CD∥FG，可证得结论．

解答： 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴FG∥DC，

∴∠BFG=∠BDC，

∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

∴∠BFG=90°，

∴GF⊥AB．

点评： 本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角相等⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

6．已知与都是方程y=kx+b的解，

（1）求k，b的值；

（2）若y的值不大于0，求x的取值范围；

（3）若﹣1≤x＜2，求y的取值范围．

考点： 解一元一次不等式组；二元一次方程的解；解二元一次方程组．

分析： （1）把与代入y=kx+b即可求得．

（2）根据k、b的值求得方程，由y的值不大于0，得出2x﹣4≤0，解得x≤2；

（3）根据不等式的性质即可求得．

解答： 解：（1）与代入y=kx+b，得：

，解得；

（2）由（1）得y=2x﹣4，

∵y≤0，

∴2x﹣4≤0，解得x≤2；

（3）∵﹣1≤x＜2，

∴﹣2≤2x＜4，

∴﹣6≤2x﹣4＜0，

即﹣6≤y＜0．

点评： 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），依据不等式的性质把不等式进行变形是解题的关键．

7．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程（ 组） 求解）

考点： 二元一次方程组的应用． 

专题： 行程问题．

分析： 设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程=环形周长建立方程求出其解即可．

解答： 解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得

，

即

解得：，

乙的速度为：150米/分，

甲的速度为：2.5×150=375米/分；

答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．

点评： 本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．

8．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．

（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；

（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．

（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

专题： 证明题．

分析： （1）如图①，先利用等角的余角相等得到∠ACF=∠BAE，则可根据“AAS”判定△ACF≌△BAE，得到AF=BE，CF=AE，由于AE=AF+EF，所以CF=BE+EF；

（2）如图②，与（1）一样可证明△ACF≌△BAE得到AF=BE，CF=AE而AE=AF﹣EF，易得CF=BE﹣EF；

（3）先判断△ABC为等腰直角三角形，由于点D是BC的中点，则AD⊥BC，再利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则可根据“ASA”判判断△AEM≌△CFP，于是得到AE=CP．

解答： （1）证明：如图①，

∵AF⊥AP，BE⊥AP，

∴∠AFC=90°，∠AEB=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°，

而∠CAF+∠BAE=90°，

∴∠ACF=∠BAE，

在△ACF和△BAE中，

，

∴△ACF≌△BAE（AAS），

∴AF=BE，CF=AE，

而AE=AF+EF，

∴CF=BE+EF；

（2）解：CF=BE+EF不成立．

如图②，

与（1）一样可证明△ACF≌△BAE，

∴AF=BE，CF=AE，

而AE=AF﹣EF，

∴CF=BE﹣EF；

（3）CP=AM．理由如下：

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∵点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△AEM和△CFP中，

，

∴△AEM≌△CFP（ASA），

∴AE=CP．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．