2023年江西省鹰潭市余江县中考数学一模试卷（含解析）

2023年江西省鹰潭市余江县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示，该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人次选拔测试的相关数据：

根据表中数据，应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.  甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是(    )
 

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  计算： ______ ．

8.  已知的半径，则其内接正六边形的边长为______．

9.  如图所示，数轴上表示，的点分别为，，且在的左侧，则点所表示的数是______．

10.  若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______ ．

11.  如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为______．

12.  在平面直角坐标系中，已知点，，轴，点在直线上，，点是轴上一动点，若，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

14.  本小题分
如图，，，点在上，且求证：．

15.  本小题分
化简：．

16.  本小题分
某中学进行九年级理化生实验操作考查，有、、三个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，王力、李坤都要参加本次考查．
用列表或画树状图的方法求王力、李坤都参加实验考查的概率；
他们两人都不参加实验考查的概率______ 直接写出结果
 

17.  本小题分
如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为测得在点的仰角，测得在点的仰角求银幕的高度参考数据：，，，，，

 

18.  本小题分
如图，是两个全等的矩形和矩形拼成的图案，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
在图中作出一个等腰直角三角形．
在图中的矩形内作出一条直线和平行．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象和菱形，且点的坐标为．
求点的坐标；
若将菱形向右平移，菱形的两个顶点恰好同时落在该反比例函数的图象上，猜想是哪两个点，并求出平移的距离和反比例函数的解析式．

20.  本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，为上一点，过点作的切线，分别交，的延长线于点，连接，交于点．
求证：；
连接，若，，，求半径．

21.  本小题分
某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

22.  本小题分
某校计划更换校服款式，为调研学生对，两款校服的满意度，随机抽取了名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分满分均为分，并按照：：的比计算综合评分将数据评分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
，两款校服各项评分的平均数精确到如下：

不同评分对应的满意度如下表：

，两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图；
校服时尚性评分在这一组的是：，，，，；
根据以上信息，回答下列问题：
在此次调研中：
校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：______ 填“是”或“否”；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为______ ；
在此次调研中，校服时尚性评分的中位数为______ ；
在此次调研中，记校服时尚性评分高于其平均数的人数为，校服时尚性评分高于其平均数的人数为比较，的大小，并说明理由．

 

23.  本小题分
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
如图，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证≌．
【类比探究】
如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】
如图，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值．

 

24.  本小题分
已知抛物线：
当时，
抛物线的顶点坐标为______．
将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______．
无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段点在点左侧的长度都不变，求的值和的长；
在的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，，是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
正数大于一切负数，
，
在上列四个数，，，，中，最小的数是，
故选：．
直接利用数的性质比较异号两数及的大小，利用绝对值比较两个负数的大小，进而得出答案．
本题考查了有理数大小比较，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为：

故选：．
根据简单几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确判断的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的同学参加即可．
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分钟甲比乙步行的路程多，分钟丁比丙步行的路程多，
甲的平均速度乙的平均速度，丁的平均速度丙的平均速度，
步行千米时，甲比丁用的时间少，
甲的平均速度丁的平均速度，
走的最快的是甲，
故选：．
当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是千米的时候，比较甲、丁的平均速度即可得出答案．
本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、根据合并同类项的法则计算；
B、根据幂的乘方法则计算；
C、根据单项式乘单项式法则计算；
D、根据完全平方公式计算．
本题考查了完全平方公式、单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方，掌握有关的运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的左侧，函数图象交于轴的负半轴
，，，
反比例函数的图象必在二、四象限；
一次函数一定经过一三四象限，
故选：．
先根据二次函数的图象开口向上可知，对称轴在轴的左侧可知，再由函数图象交轴的负半轴可知，然后根据一次函数的性质和反比例函数的性质即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据有理数的加法计算即可．
本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
六边形是的内接正六边形，证明是等边三角形即可解决问题．
【解答】
解：如图，是的内接正六边形，
，
，
是等边三角形，
．

故答案为．  

9.【答案】 

【解析】解：设点所表示的数为，
点、所表示的数分别是、，且由图知在的右侧，
，
点、所表示的数分别是、，且由图知在的左侧，
，
，
，解得，
点所表示的数是，
故答案为：．
根据数轴上两点之间的距离公式，由列式即可求出点所表示的数．
本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的思想是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，求出，再代入求出即可．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点，能求出和是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值即为的长度，
四边形为矩形，
，，
在中，，，
，
，
由对称的性质可知，，，
，，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是直角三角形，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点使得有最小值．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：点的坐标为，轴，
点的纵坐标为，
点在直线上，，
，，
设点，则，
如图，

当点在处时，，，
，
，
，即，
解得：或，
或；
如图，当点在处时，，，
，
，
，
即，
解得：，
；
综上所述：点的坐标为或或，
故答案为：或或．
先由已知得出，，然后由点的位置分类讨论，再设点，从而根据勾股定理列出方程，求出每种情况下点的坐标．
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，勾股定理，利用直径所对的圆周角为直角画出图形，找到对应的点个数是解题的关键．
 

13.【答案】解：去分母，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得．
在数轴上表示不等式的解集为：
． 

【解析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集，难度适中．
 

14.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

15.【答案】解：



． 

【解析】根据混合运算法则先算括号里面的，再把除法转化成乘法，然后约分即可．
此题主要考查了分式的混合运算，掌握混合运算的法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：画树状图如图所示：
，
两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人均参加实验考查有种，
小孟、小柯都参加实验考查的概率为．
两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人不参加实验考查有种，
两人都不参加实验考查的概率为．
故答案为：．
列表得出所有等可能的情况数，找出王力、李坤都参加实验考查的情况数，即可求出所求概率；
找出两人都不参加实验考查的情况数，即可求出所求概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：延长、交于、，
由题意知，，
在中，，
，
即，
在中，，
，
即，
，，
，
，
，

解得：，
．
答：银幕的高度约为． 

【解析】延长、交于、，在中，由三角函数的定义用表示出即，在中，由三角函数的定义用表示出即，根据得到关于的方程，解方程求出即可求出．
本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，以及三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：如图：

如图：等腰直角三角形即为所求；
直线即为所求． 

【解析】根据全等矩形的性质作图；
根据矩形的对角线互相平分及三角形中位线的性质作图．
本题考查了复杂作图，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：延长交轴于点，

四边形是菱形，，
，轴，
，
，，
，
点的坐标是；
猜想是点和点，
设向右平移的距离为，则平移后点的坐标为，平移后点的坐标为，
平移后点和点在反比例函数图象上，
，
解得，
，
平移的距离为，反比例函数的解析式为． 

【解析】延长交轴于点，根据菱形的性质及三角函数求出及的长即可得出点的坐标；
猜想是点和点，设平移距离为，根据平移后点在反比例函数上得出值和值即可．
本题主要考查反比例函数的图象和性质及菱形的性质和三角函数的知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质及菱形的性质和三角函数等知识是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
设的半径为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：，即的半径为． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质、等角的余角相等得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
连接，根据余弦的定义求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、余弦的定义，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

21.【答案】解：设售价定为元，
，
整理，得，
解得：，舍去．
个．
答：台灯的定价定为元，这时应进台灯个． 

【解析】设售价定为，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是看到定价和销售量的关系，根据利润列方程求解．
 

22.【答案】是  人   

【解析】解：校服综合评分平均数为：，
“非常满意”是，
达到“非常满意”，
故答案为：是；
校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：人，
故答案为：人；
由题意得，校服时尚性评分中，不满意人数：人，基本满意人数：人，满意人数：人，非常满意人数：人，
中位数是和位的中位数，是中的前两位，即，
故答案为：；
，
理由如下：校服时尚性评分的平均数为，达到满意水平，
由扇形图可知，人中对校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是人，
，
校服时尚性评分时尚性评分平均数为，小于中位数，
，
．
求出校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
根据扇形图计算；
根据中位数的概念解答即可；
根据校服时尚性评分的平均数为，校服时尚性评分时尚性评分平均数为，分别求出、，证明结论．
本题考查的是中位数、平均数，扇形图，掌握中位数的概念、正确获取扇形图的信息是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，设与的交点为，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
；
解：如图，过点作，延长交于点，

在中，，，，
，
，
，
，
∽，，
，
，
，，
，
又，
，
∽，
，
． 

【解析】根据同角的余角相等，利用证明≌即可；
根据同角的余角的相等，得，证明∽，则；
过点作，延长交于点，首先根据∽，可得，则，再由同理得∽，得，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：，
，
抛物线的顶点为，
故答案为：；
设抛物线上任意一点，
则点关于轴对称的点为，
，
抛物线的解析式为，
故答案为：；
，
抛物线经过定点，
当时，的长度不变，
当时，，
解得或，
，，
；
存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设抛物线抛物线上任意一点，
点关于的对称点为，
，
抛物线的解析式为，
，
，
，
，
与为正方形的对角线，
、关于对称，
，
，
，
．
由题意可得抛物线解析式为，即可求解；
设抛物线上任意一点，则点关于轴对称的点为，将点代入即可求解；
由抛物线经过定点，可得当时，的长度不变；
设抛物线抛物线上任意一点，点关于的对称点为，将点代入，可求抛物线的解析式为，分别求出，，再由，，可得，求出的值即可．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形翻折的性质，正方形的性质是解题的关键．