2023年江西省赣州市南康区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江西省赣州市南康区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在水平的桌面上放置着如图所示的实物，则它的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，点，，在上，且，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：

根据以上信息，可以得到与之间的关系式为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，已知，正方形的面积为，则图中阴影部分的面积之和为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  因式分解：______．

8.  康熙字典是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字余个．将数据用科学记数法表示为______．

9.  如图，已知，请再添加一个条件，使∽，你添加的条件是______ 写出一个即可．

10.  已知一组数据、、、的平均数为，则中位数是______ ．

11.  如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为，，与的面积之和为，则的值为______．

12.  在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接若是直角三角形，点的横坐标为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
如图，在中，，若，求的长．

15.  本小题分
把下列解题过程补充完整．

解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
解：由得：______ ，
把去分母得：______ ，
解得：______ ，
在数轴上表示如图：
所以不等式组的解集为：______ ．

16.  本小题分
“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程依次记为，，，若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程．
小慧选择科普活动课程的概率是______；
用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率．

17.  本小题分
如图，在中，，点是边的中点，交于点，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图．
在图中，过点作的垂线；
在图中，过点作的平行线．

 

18.  本小题分
如图，在中，，，已知，，点在第四象限．
用含的代数式表示点的坐标______ ；
若，两点恰好同时落在反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求实数的取值范围；
是否存在实数，使该方程的两个实数根、满足，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

20.  本小题分
【课本再现】我们知道，要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上如图，是的直径，为上的点作交于点，垂足为请在图中补全图形，并证明：；
【知识应用】如图，是的直径，弦，垂足为，连接，，若，，求的度数和的半径．


 

21.  本小题分
图是某电动沙发的实物图，图是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图所示沙发通过开关控制，靠背和脚托可分别绕点，旋转调整角度，坐深与地面水平线平行图中的度数指的是的度数，如“看电视”模式时已知，，，，初始状态时．

直接写出“阅读”模式下的度数为______ ，该沙发从初始位置调至该模式时点运动的路径长为______ ．
调至“睡觉”模式时，该沙发占地长度最大，请计算此时，之间的水平距离结果精确到参考数据：，

22.  本小题分
某小学为了解本校六年级学生的语文和数学期末成绩，从该校名六年级学生中随机抽取了名学生的成绩，并绘制成如下统计图表．
名学生的语文和数学成绩统计表

请你根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
这组抽样数据中，两个学科成绩都低于分的学生有______ 人；
在小学高年级阶段，“双优两个学科成绩都大于或等于分的学生人数”“双及两个学科成绩都大于或等于分的学生人数”是评价综合成绩是一项重要的指标请对照统计图，通过计算估计本次期末成绩中，该校六年级学生语文和数学“双优”“双及”的人数分别是多少人？

23.  本小题分
综合与实践
老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动如图，和都是等腰直角三角形，，点，分别在边，上，连接，点，，分别为，，的中点试判断线段与的数量关系和位置关系．
甲小组发现：，并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程片段前后证明过程已省略：

【片段】点，分别是，的中点，
理由
【片段】，理由
反思交流
填空：理由：______ ；理由：______ ；
图中，与的位置关系是______ ．
乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明；
丙小组的同学继续探究：把绕点在平面内自由旋转，当，时，直接写出线段长度的最大值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”．
小清认为所有的“相反点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：______ ．
小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”请你帮她求出，的值．
在的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，其中，且
求的值；
当时，直接写出中的最大值与最小值的差．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：从左边看可得左视图为：

故选：．
找到从左边向右边看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左边向右看得到的视图．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：．
根据完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，合并同类项的法则即可解答．
本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，合并同类项的法则，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

根据圆周角定理可知．
，
，故A正确，不符合题意；
，
，故B错误，符合题意；
根据圆周角定理可知，故C正确，不符合题意；
，
，故D正确，不符合题意．
故选：．
连接，根据圆周角定理即可直接判断选项A和选项C；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可判选项断和选项D．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据表中的对应关系，可知，
，
故选：．
根据表格可知每增加，增加，当时，，即可确定与的函数关系式．
本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：






．
故选：．
根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

9.【答案】或 

【解析】解：添加，
，
∽；
添加，
，，
∽；
故答案为：或．
根据相似三角形的判定定理即可进行解答．
本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握：三边分别成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；有两个角相等的两个三角形相似．
 

10.【答案】 

【解析】解：数据、、、的平均数为，
，
解得，
数据为：，，，，
中位数为：．
故答案为：．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，根据平均数的定义先求出，再求得中位数即可．
本题考查了算术平均数与中位数，正确理解算术平均数的意义，掌握中位数的计算方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为，，
点的坐标为，点的坐标为，
轴，
点，的横坐标分别为，，
点，在反比例函数的图象上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
与的面积之和为，
，
解得：．
故答案为：．
先求出点和点的坐标，再根据轴，确定点和点的坐标，求出，，最后根据与的面积之和为，即可解答．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是求出与的底边，的长．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：，，
，，
设点，
当时，点在直线上且不与点重合，
点不能为直角顶点，
如图，当点在轴的正半轴上，且时，

由旋转可知，，，
，，
，
≌，
，，
，
，即点的横坐标为；
如图，当点在轴的正半轴上，且时，
过点作于点，则，

由旋转可知，，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，，，
，
，
，即，
解得：或不合题意，舍去，
点的横坐标为；
如图，当点在轴的负半轴上，且时，
过点作于点，则，

同理可得≌，
，，
，，
同理可得，
，
，即，
解得：或不合题意，舍去，
点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或或，
故答案为：或或．
分情况讨论：当点在轴的正半轴上，且时，当点在轴的正半轴上，且时，当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．
考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

13.【答案】解：

． 

【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

14.【答案】解：，
，
，，
，
． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．
 

15.【答案】      ， 

【解析】解：，
解：由得：，
把去分母得：，
解得：，
在数轴上表示如下：
：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；；．
解一元一次不等式组，按要求进行作答即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的运算．
 

16.【答案】 

【解析】解：小慧选科普活动课程的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有种，
小丽和小慧选同一个板块课程的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求；
延长交的延长线于点，连接，延长交于点，作直线即可，直线即为所求．
本题考查作图复杂作图，三角形的高，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，可知，，，
．
，，
．
在与中，
，
≌，
，，
，
点．
故答案为：；
把，两点代入解析式得，
解得：，
，
，
．
作轴，作轴，再分别表示出，，然后证明≌，进而得出，，即可得出答案；
将点，的坐标代入关系式，求出答案即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
且，
解得且；
存在，理由如下：
根据根与系数的关系可知：，．
．
，
解得．
经检验是分式方程的解，
． 

【解析】根据方程有两个不相等的实数根可知，且，即可求得的取值范围；
根据根与系数的关系可知：，，代入，列出方程即可求得的值，然后再检验即可．
此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，由根与系数的关系列出关于的方程是一种经常使用的解题方法．
 

20.【答案】解：补全图形如图所示，

证明：连接，，在中，
，
是等腰三角形．
又，
．

，
，
在中，，
，
是直径，
，
，
则，，
连接，在中，
根据勾股定理得：，


，
解得：．
所以，的度数为，的半径为． 

【解析】根据题意做出图形即可，证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求证；
根据，得出，再求出，，即可得出，分别去除，，根据，列出方程求解即可．
本题主要考查了垂径定理的证明和应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形那个的性质，勾股定理，以及含的直角三角形角所对的边是斜边的一半．
 

21.【答案】   

【解析】解：由阅读”模式知，，
，
，
的长，
故答案为：，；
由“睡觉”模式知，，
，
，
如图，过作于，

由题意知，，
，之间的水平距离为，
点，之间的水平距离为：．
由阅读”模式知，，则，根据弧长公式求解即可；
由“睡觉”模式知，，则，如图，过作于，由题意知，，则根据，之间的水平距离为，计算求解即可．
本题考查了旋转的性质，弧长，解直角三角形的应用解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

22.【答案】       

【解析】解：由统计图可得：语文成绩在之间的有人，
；
数学成绩在之间的有人，
；
数学成绩在之间的有人，
；
故答案为：；；；

根据名学生的语文和数学成绩统计表可得：两个学科成绩都低于分的学生有人；
故答案为：；

“双优”：人，
“双及”：人，
答：该校六年级学生语文和数学“双优”“双及”的人数分别是人、人．
根据统计图即可得到答案；
根据语文和数学成绩统计表即可得到答案；
根据样本估计总体的方法求解即可．
本题考查了统计图，正确分析题中所给信息是解题关键．
 

23.【答案】三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半  直角三角形的两锐角互余  或垂直平分 

【解析】解：片段：点，分别是，的中点，
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
片段：，
直角三角形的两锐角互余．
故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；直角三角形的两锐角互余；
，，
，
，
，
由可知是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：或垂直平分；
是等腰直角三角形．
如图中，连接，，由旋转知，

，，
≌，
，．
点，，分别是，，的中点，
，，
．
又，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形．
由知，是等腰直角三角形，，，
点在的延长线上时，有最大值，
，
，
．
利用三角形中位线定理，直角三角形的性质解决问题即可；
结论：或垂直平分利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质证明即可；
根据证明≌推出，，再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可；
由知，是等腰直角三角形，，，推出点在的延长线上时，有最大值．此时，由此即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

24.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
结合题意，将点，代入，
可得，
解得，
直线的解析式为．
故答案为：；

点在抛物线上，
，
，即，
抛物线的图象上有且只有一个“相反点”，
有两个相等的实数根，
，
解得，
；

依题意知，两点在二四象限的角平分线上，且，
，
又平移后的解析式为，
，是方程的两个实数根，
，，
，
即，解得；
，
的解析式为，
当时，可有，
整理可得，解得，，
，，
，
，
当时，有最大值为，
中的最大值为，
当时，有最小值为，
中的最大值与最小值的差为：．
设直线的解析式为，结合题意将点，代入，利用待定系数法求解即可；
由点在抛物线上，可得，可知，即由，根据抛物线的图象上有且只有一个“相反点”，结合一元二次方程的根的判别式求解即可；
由，易得，根据题意可知平移后的解析式为，易得，是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求得的值；首先求得，，可得平移后的抛物线的解析式为，结合二次函数的图象与性质即可获得答案．
本题主要考查了相反数、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数平移问题、二次函数与一元二次方程综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．