2023年江西省新余市中考数学一模试卷（含解析）

2023年江西省新余市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”如图甲找到了计算球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是“牟合方盖”可以形成的一种模型，它的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为积极响应国家“双减”政策，鼓励老师积极参加课后服务工作，我市推出“名师公益”大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，学生成绩稳中有进，下表是某班小组名同学的测试成绩：

那么该组同学成绩的中位数和众数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如为实数的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为(    )

A. 平行四边形菱形平行四边形矩形
B. 平行四边形正方形平行四边形矩形
C. 平行四边形正方形菱形矩形
D. 平行四边形菱形正方形矩形

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  有意义，的取值范围是______．

8.  十四届全国人大一次会议于年月日时在北京人民大会堂举行，月日时举行闭幕会在百度搜索框输入“十四届全国人大一次会议闭幕”，“百度一下”，综合热度榜显示：“热度”，数据“”用科学记数法表示为______ ．

9.  已知一元二次方程的两个根为，，则的值是______ ．

10.  如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留．

11.  如图所示，是一个运算程序示意图若第一次输入的值为，则第次输出的结果是        ．

 

12.  在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形求证：．

14.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

15.  本小题分
某中学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放发放的食品价格一样，食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
按约定，“小肖同学在该天早餐得到两个油饼”是______ 事件请选填“可能”，“必然”，“不可能”；
请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到鸡蛋和猪肉包的概率．

16.  本小题分
如图，在边长为的正方形网格中有一段圆弧，弧经过格点、、，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留作图痕迹．
在图中，画出弧所在圆的圆心；
在图中，画出弧所在的圆的一条切线，使这条切线经过格点．

 

17.  本小题分
为厚植学生“为人民服务”的精神，月份我区共青团委举办了“弘扬雷锋精神争做美德少年”主题演讲比赛比赛前购买了，两种装饰品对比赛场地进行了美化已知用元购买种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，且每个种装饰品的价格比种多元．
，两种装饰品的单价各为多少元？
计划购买，两种装饰品共个，其中种装饰品的数量不低于种装饰品的，且不超过种装饰品数量的，请求出共有几种购买方案？

18.  本小题分
习近平总书记在党的二十大报告中指出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力”科技兴则民族兴，人才强则国家强为了培养同学们的科技与创新意识，我校科技月组织学生参加“好奇心”科普节的以“好奇点亮未米，理想融入科学”为主题的科技知识答题活动校园小记者调查了本校部分同学，并统计他们的答题得分单位：分情况，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表．
答题得分频数分布表

根据图表，解答下列问题：
校园小记者“调查了本校部分同学”采取的调查方式是：______ 调查请选填“全面”、“随机抽样”；
这次被调查的同学共有______ 人， ______ ， ______ ；
求扇形统计图中扇形的圆心角的度数；
若该校有名学生，请估计全校有多少学生答题得分不少于分？

19.  本小题分
小李使用握力器如实物图所示锻炼手部肌肉如图，点是弹簧的上端点，调节处的螺旋调节器，弹簧的下端点可在上的一段凹槽内移动，从而调节握力器的握力大小小李开始锻炼时将弹簧的下端点调到点处，此时弹簧的弹力是，经过一段时间的锻炼后，小李想增加锻炼强度，将弹簧下端点调至处，此时弹簧的弹力是，已知点到的距离是．
求的长结果保留一位小数
在弹性限度内，弹簧的弹力变化量与弹簧长度的变化量成正比，即其中为弹簧的弹力的变化量，为弹簧的劲度系数，单位为，为弹簧长度的变化量求该弹簧的劲度系数．
参考数据：，，

20.  本小题分
如图，点、是一次函数与反比例函数图象的交点，点在轴上运动请结合图象解决下列问题：
求点、的坐标及的面积；
根据图象直接写出当取什么值时，？
点在轴上运动的过程中，
直接写出的最小值：______ ．
的面积是否发生变化，如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出的面积．

21.  本小题分
是的外接圆，，延长至点．
如图，若，且为弧的中点，求证：是的切线；
如图，若是的切线，且，，求圆的半径及弦的长．

22.  本小题分
在中，，，，点，分别是，线段上的点，且满足，连接，将绕着点逆时针旋转，记旋转角为．

当，时 ______ ；
当时， ______ ．
如图，当时，过点作于点，过作于点，求出的值；
当时，若为的中点，求在旋转过程中，线段长的最大值和最小值．

23.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
在的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
当时，求点的坐标．
若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在，，，四个实数中，最大的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，合并同类项，单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得选项A的图形．
故选：．
根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
众数为，
故选：．
将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，得可表示为．
故选：．
根据题中的新定义解答即可．
本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：画图如下，
，
由图可知最后会与原有矩形重合，
四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形，
故选：．
通过作图观察即可得出答案．
本题考查了图形的变换，解题关键在于又空间想象能力．
 

7.【答案】 

【解析】解：有意义，
．
解得：．
故答案为：．
依据二次根式被开方数大于等于零求解即可．
本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的实数根，
，
．
一元二次方程的两个根为，，
，，
．
故答案为：．
利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作于点，

由题意可知：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为：．
故答案为：
连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，

由此可知，从第次输出开始，输出结果是按“、”的顺序循环出现的，
，即输出的结果是．
故答案为：．
根据题中已知条件进行计算，找到输出数据的变化规律即可得到第次输出的结果了．
本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：，，，
，，
分三种情况讨论：
如图所示，当点与点重合时，，

，
，
，
，即是等腰三角形，
此时，；
如图所示，当时，是等腰三角形，

，
由折叠可得，，
，
又，
是等腰直角三角形，
设，则，
中，，
解得，舍去，
；
如图所示，当点与点重合时，，

，
，即是等腰三角形，
此时，
综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．
故答案为：或或．
分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．
本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．
 

13.【答案】解：原式

．
证明：四边形是平行四边形，
．
四边形是正方形，
．
．
．
即． 

【解析】依据题意，根据实数的性质进行化简计算即可得解．
依据题意，由平行四边形的性质可得，再由正方形的性质可得，最后由等式的性质可以得解．
本题考查了实数的运算、平行四边形的性质及正方形的性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
 

14.【答案】解：原式

．
．
当时，原式． 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

15.【答案】不可能 

【解析】解：小肖同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件．
故答案为：不可能；
树状图法：

即小张同学得到鸡蛋和猪肉包的概率为．
根据随机事件的概念可知是不可能事件；
求概率要画出树状图分析后得出．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】解：如图中，点即为所求．
如图中，直线即为所求．
 

【解析】如图中，线段，的垂直平分线的交点即为圆心；
作直线即可．
不退款检查作图应用与设计作图，垂径定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的判定和性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：设种装饰品的单价为元，则种装饰品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种装饰品的单价为元，种装饰品的单价为元；
设购买种装饰品个，则购买种装饰品个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
，，，
共有种购买方案． 

【解析】设种装饰品的单价为元，则种装饰品的单价为元，根据用元购买种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
设购买种装饰品个，则购买种装饰品个，根据种装饰品的数量不低于种装饰品的，且不超过种装饰品数量的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

18.【答案】随机抽样       

【解析】解：根据题意可知，校园小记者“调查了本校部分同学”采取的调查方式是随机抽样，
故答案为：随机抽样；
这次被调查的同学共有人，
，
，
．
故答案为：，，；
扇形统计图中扇形的圆心角的度数为：；
人，
答：估计全校有人答题得分不少于分．
根据题意，学校采用的调查方式是随机的抽样调查；
根据组的频数和所占的百分比，可以求得这次被调查的同学总数，用被调查的同学总数乘以组所占百分比得到的值，用组人数除以被调查的同学总数，即可得到；
用乘以组所占百分比得到组圆心角的度数；
利用样本估计总体，用该校学生数乘以样本中平均每天在线阅读时间不少于分钟的人数所占的百分比即可．
本题考查了频数分布表，扇形统计图，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了利用样本估计总体．
 

19.【答案】解：作于点，

，，，
，
，
，
答：的长为；
由题意可知：，
，
，，
由题可知，，
．
答：该弹簧的劲度系数约为． 

【解析】作于点，根据三角函数可得答案；
由题意可知：，，代入计算可得答案．
此题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：当时，由解得，
；
当时，由，解得，
，
轴，，
的面积为：；
由图象可知，当或时，；
关于轴的对称点，则的最小值为，
，
的最小值为；
故答案为：；
轴，
的面积不发生变化，的面积的面积．
解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积；
根据图象即可求得；
根据两点之间线段最短，连接和关于轴的对称点，两点之间的长度是的最小值；
根据平行线间的距离相等，即可求得的面积的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了交点的求法，轴对称最短路线问题，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

为弧的中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作于，过点作于，连接，如图，

设的半径为，则，，
是的切线，
，
，
在中，，
解得，
，，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】连接，根据垂径定理逆定理得出，，，根据平行线的性质及等腰三角形的判定得出，结合，即可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质及切线的判定定理即可得解；
过点作于，过点作于，连接，如图，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解方程得到，，再利用面积法求出，则，接着利用勾股定理计算出，然后根据垂径定理可得到的长度．
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，熟记切线的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】解：，，，
，
又，
，，
，，
，
故答案为：；
如图，
当时，
，，
，，
．
故答案为：；
如图，连接、，
，
，
又，
∽，
，，
，，
∽，
；
如图，连接、，
，，
，
点是的中点，
，
，
当时，在旋转过程中，当点在线段上时，线段的长为最小值；
当点在线段延长线上时，线段的长为最大值．
当时，在中，根据勾股定理求出的值，然后根据已知条件分别求出、的值，即可求出结果；
当时，根据旋转的性质可得与的长，然后根据勾股定理求出与的值，即可求解；
通过证明∽，可得，以及对应边成比例，再判定∽，即可求出结果；
在图中找出点的位置，求出的长，根据旋转的性质可以知道长度不变，当点分别在和延长线上时的长就是最小值和最大值．
本题主要考查相似三角形的综合运用，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的判定与性质解决问题的关键．
 

23.【答案】和 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为．
故答案为：和．
抛物线经过点，
，
．


，
对称轴为直线，
点的坐标为
设与对称轴交于点，若，则．

，
或．
当时，，点的坐标为；
当时，，点的坐标为
点的坐标为或
存在，的值为或或．
如图，设与对称轴的交点为．

由知，，，
，
抛物线的极限分割线：，
直线垂直平分，
直线：．
点到直线的距离为
直线与直线关于极限分割线对称，
直线：．
，
点到直线的距离为，
点到直线的距离与点到直线的距离相等，
，
或或．
由抛物线与轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标．
由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用表示出，将函数解析式中的用表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点的坐标．
设与对称轴交于点，若，则，由此可得关于的绝对值方程，解得的值，再求得相应的值即可得出答案．设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可．
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键．