2022-2023学年江西省鹰潭市余江县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省鹰潭市余江县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省鹰潭市余江县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，是分式的是(    )
A. 12−a B. xπ−3 C. −y5 D. x2+y
2. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是(    )
A. 点G
B. 点H
C. 点I
D. 点J
3. 下列因式分解变形正确的是(    )
A. 2a2−4a=2(a2−2a) B. a2−2a+1=(a−1)2
C. −a2+4=(a+2)(a−2) D. a2−5a−6=(a−2)(a−3)
4. 若a>b，则下列不等式正确的是(    )
A. ab>1 B. ba<1 C. ac2>bc2 D. −b>−a
5. 某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元.设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是(    )
A. 700x=500x+10 B. 700x=500x−10 C. 700x−10=500x D. 700x=500x+10
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，BD的垂直平分线交BD于点E，交AD于点F，连接BF，则△ABF的周长是(    )

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 计算：3x2y⋅y22x= ______ ．
8. 如图，体重分别为A，B，C的三人去公园玩跷跷板，请你将三人的体重用“<”将它们连接起来：______ ．

9. 如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为______ ．


10. 如图，函数y=2x+b与函数y=kx−1的图象交于点P，关于x的不等式kx−1<2x+b的解集是______ ．


11. 如图，△ABC中，∠C=90°.将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′.若BC′=3，AC=4，则AA′=______．


12. 在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，点B(−3,2)，点C(0,2)，点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=______时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
13. 分解因式：
(1)3a2−6ab+3b2；
(2)x2(m−2)+y2(2−m)．
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题6.0分)
(1)如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C=55°，点E为BA延长线上一点，点F为BC边上一点，若∠E=30°，求∠CFE的度数．
(2)若分式|x|−52x−10的值为0，求x的值．

15. (本小题6.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=3，BD=10，求AC的长．

16. (本小题6.0分)
解不等式组：2x−85≤x−13(2+x)<15，并把它的解集在数轴上表示出来．

17. (本小题6.0分)
图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上.用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．

18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a2−1a−3−a−1)÷a+1a2−6a+9，其中a=3− 2．
19. (本小题8.0分)
如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和EF．
(1)求证：四边形DCFE是平行四边形；
(2)求EF的长．





20. (本小题8.0分)
列分式方程解应用题．
磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为30km，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的6.25倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少710小时．求该磁悬浮列车的平均速度．
21. (本小题9.0分)
在等边△ABC中，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连CE．

(1)如图1，若点D在线段BC上，求证：BD=CE；
(2)若AC=7，CE=3，直接写出CD的长度．
22. (本小题9.0分)
科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用A种机器人80台、B种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹，启用A、B两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
(1)求A、B两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹．
(2)为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A、B两种机器人共200台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进A种机器人多少台？
23. (本小题12.0分)
如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

(1)如图1，在旋转的过程中，求证：OE=OF；
(2)如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
(3)若AB=1，BC= 5，且BF=DF，求旋转角度α的大小．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、12−a是分式，故A符合题意；
B、xπ−3是单项式，故B不符合题意；
C、−y5是单项式，故C不符合题意；
D、x2+y是多项式，，故D不符合题意．
故选：A．
由分式的概念即可判断．
本题考查分式的概念，关键是掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．

2.【答案】C 
【解析】解：∵△ABC与△DEF关于某点成中心对称，
∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．
故选：C．
关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了多项式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘法是解决本题的关键．
A利用提公因式法分解因式，B、C利用公式法分解因式，D利用十字相乘法分解因式，再判断对错．
【解答】
解：A.2a2−4a=2a(a−2)，故A错误；
B.a2−2a+1=(a−1)2，故选项B正确；
C.−a2+4=−(a2−4)=−(a+2)(a−2)≠(a+2)(a−2)，故选项C错误；
D.a2−5a−6=(a−6)(a+1)≠(a−2)(a−3)，故选项D错误．
故选：B．  
4.【答案】D 
【解析】解：A、当b=0时，原变形错误，故该选项不符合题意；
B、当a=0时，原变形错误，故该选项不符合题意；
C、当c=0时，原变形错误，故该选项不符合题意；
D、由a>b，可得−a<−b，即−b>−a，原变形正确，故该选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

5.【答案】B 
【解析】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为(x−10)元，
由题意可得：700x=500x−10，
故选：B．
根据甲种水杯的单价为x元，可知乙种水杯的单价为(x−10)元，再根据700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，即可列出相应的分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．

6.【答案】B 
【解析】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴FD=FB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴△ABF的周长=AB+AF+FB
=AB+AF+FD
=AB+AD
=AB+BC
=3+5
=8，
故选：B．
根据垂直平分线的性质得出FD=FB，根据平行四边形的性质得出AD=BC，进而即可求解．
本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．

7.【答案】3xy2 
【解析】解：原式=3xy2．
故答案为：3xy2．
利用分式乘法法则即可求出答案．
此题主要考查了分式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

8.【答案】B 【解析】解：由图可知：A>B，C>A，则可得出B 本题由图可知A>B，C>A，直接刻得出B 此题考查了杠杆与不等式的相关知识，把物理知识与数学思想有机的结合起来，比较简单．

9.【答案】3 3 
【解析】解：∵等边△ABC的边长为6，
∴BC=6，AB=AC，
又∵AD⊥BC，
∴BD=DC=12BC=3，
∴AD= BC2−BD2= 62−32=3 3．
故答案为：3 3．
根据等边三角形的性质可得BC=6，AB=AC，根据三线合一求得BD的长，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，三线合一，勾股定理，掌握等边三角形的性质是解题的关键．

10.【答案】x>1 
【解析】解：∵函数y=2x+b与函数y=kx−1的图象交于点P(1,−2)，
∴当x>1时，kx−1<2x+b，
∴关于x的不等式kx−1<2x+b的解集是x>1．
故答案为：x>1．
观察函数图象，当x>1时，函数y=2x+b的图象在函数y=kx−1的图象的上方，从而得到关于x的不等式kx−1<2x+b的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确理解函数值的大小与不等式的关系．

11.【答案】5 
【解析】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴AB=A′B，∠ABA′=60°，BC=BC′=3，
∴△ABA′是等边三角形，
∴AB=AA′，
∵∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2= 9+16=5，
∴AA′=AB=5，
故答案为：5．
由旋转的性质可得AB=A′B，∠ABA′=60°，BC=BC′=3，可证△ABA′是等边三角形，可得AB=AA′，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．

12.【答案】1或3或13 
【解析】解：∵A(4,0)，B(−3,2)，C(0,2)，
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ，
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若0 若32 若4 若t>163时，BP=2t，PC=2t−3，OQ=3(t−4)，AQ=3(t−4)−4，此时2t−3=3(t−4)−4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13．
利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0163时，2t−3=3(t−4)−4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值．
本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键

13.【答案】解：(1)3a2−6ab+3b2
=3(a2−2ab+b2)
=3(a−b)2；
(2)x2(m−2)+y2(2−m)
=x2(m−2)−y2(m−2)
=(m−2)(x2−y2)
=(m−2)(x+y)(x−y)． 
【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
(2)先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．

14.【答案】解：(1)∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∵∠C=55°，
∴∠B=35°，
∵∠E=30°，
∴∠CFE=∠E+∠B=30°+35°=65°；
(2)根据题意得：|x|−52x−10=0，
即|x|−5=0且2x−10≠0，
解得：x=−5，
经检验x=−5是分式方程的解，
所以x=−5． 
【解析】(1)根据垂直求出∠BAC=90°，根据三角形内角和定理得出∠C+∠B=90°，求出∠B，再根据三角形外角性质得出∠CFE=∠B+∠E，再求出答案即可；
(2)根据题意得出|x|−52x−10=0，求出|x|−5=0且2x−10≠0，再求出x即可．
本题考查了三角形的内角和定理，解分式方程等知识点，能求出∠B的度数是解(1)的关键，能得出分式|x|−52x−10=0是解此题的关键．

15.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，
∴OB=5，
∵AB⊥AC，AB=3，
∴OA= OB2−AB2= 52−32=4，
∴AC=2OA=8． 
【解析】根据平行四边形的性质得出OB=5，利用勾股定理得出OA，进而利用平行四边形的性质得出AC即可．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．

16.【答案】解：解不等式2x−85≤x−1，得：x≥−1，
解不等式3(2+x)<15，得：x<3，
所以，原不等式组的解集是−1≤x<3，
在数轴上表示为：
． 
【解析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

17.【答案】解：(1)如图①，平行四边形ABCD即为所求．
(2)如图②，平行四边形EFGH即为所求． 
【解析】(1)根据平行四边形的判定与性质作图即可．
(2)根据平行四边形的判定与性质作图即可．
本题考查作图−应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．

18.【答案】解：原式=(a2−1a−3−a2−2a−3a−3)⋅(a−3)2a+1
=a(a+1)a−3⋅(a−3)2a+1
=a(a−3)，
当a=3− 2时，原式=(3− 2)(3− 2−3)=2−3 2． 
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC
∵延长BC至点F，使CF=12BC，
∴DE=FC，
∵DE//FC，
∴四边形DCFE是平行四边形．
(2)解：∵DE//FC，DE=FC
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF= 22−12= 3
∴EF= 3． 
【解析】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理、勾股定理等知识，得出DE//BC，DE=12BC是解题关键．
(1)直接利用三角形中位线定理得出DE//BC，DE=12BC，进而得出DE=FC；
(2)利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．

20.【答案】解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为6.25x千米/时．
由题意，得30x−306.25x=710，
解得：x=36，
经检验，x=36是原方程的解，且符合题意，
则6.25x=6.25×36=225．
答：磁悬浮列车的平均速度为225千米/时． 
【解析】设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为6.25x千米/时，由题意：A，B两站之间的距离为30km，乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少710小时．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：如图1中，∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：①D在边BC上，如图：

∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC=7，
由(1)知BD=CE=3，
∴CD=BC−BD=7−3=4，
②D在B左侧时，如图：

同理可证△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE=3，
∴CD=BC+BD=7+3=10，
综上所述，CD的长为4或10． 
【解析】(1)证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得结论；
(2)分两种情况画出图形，结合(1)的结论可得答案．
本题考查等边三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是证明△ABD≌△ACE．

22.【答案】解：(1)设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得80x+100y=8 200,50x+50y=4 500.
解得x=40,y=50.，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
(2)设购进A种机器人m台，则购进B种机器人(200−m)台．
根据题意，得40m+50(200−m)≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台． 
【解析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
(1)设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解方程组即可；
(2)设购进A种机器人m台，则购进B种机器人(200−m)台，根据题意列不等式40m+50(200−m)≥9000，求最大整数解即可．

23.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，AD//BC，
∴∠OAF=∠OCE，
∵OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF；

(2)解：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠AOF=90°，
∴∠BAC=∠AOF，
∴AB//EF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

(3)解：在Rt△ABC中，AB=1，BC= 5，
∴AC= BC2−AB2=2，
∴OA=1=AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵BF=DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OF⊥BD(等腰三角形底边上的中线是底边上的高)，
∴∠BOF=90°，
∴∠α=∠AOF=∠BOF−∠AOB=45°． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得出∠OAF=∠AOF，OA=OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
(2)先判断出∠BAC=∠AOF，得出AB//EF，即可得出结论；
(3)先求出AC=2，进而得出OA=1=AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF=90°，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．