2023年江西省赣州市信丰县中考数学一模试卷（含解析）

2023年江西省赣州市信丰县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，负数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的是陕西宝鸡北坡公园标志性的建筑“西府大老碗”，若把它近似地看成一个几何体，则其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式组的解集，在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  因式分解：          ．

8.  国家速滑馆是年北京冬奥会北京主赛区标志性场馆，是唯一新建的冰上竞赛场馆国家速滑馆拥有亚洲最大的全冰面设计，冰面面积达平方米将用科学记数法表示应为______ ．

9.  已知、为方程的两根，则 ______ ．

10.  如图，折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，图中的长为______结果保留．
 

11.  如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，若点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，则点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

13.  有一只拉杆式旅行箱图，其侧面示意图如图所示，已知箱体长，拉杆的伸长距离最大时可达，点、、在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚轮，与水平地面切于点，在拉杆伸长至最大的情况下，当点距离水平地面时，点到水平面的距离为，设．
求的半径长；
当某人的手自然下垂在端拉旅行箱时，为，，求此时拉杆的伸长距离参考数据：，，，结果精确到

四、解答题（本大题共10小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：；
如图，正方形中，点，，分别在，，上，且求证：∽．

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
学考前，为了解各市九年级学生复习备考情况，江西省教育厅准备对各市进行一次实地调研活动，调研的对象初步确定从南昌、九江、景德镇、赣州、上饶中随机抽签选取．
若这次调研准备选取一个市，则恰好抽到赣州市的概率是______ ；
若这次调研准备选取两个市，请用列表或画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取的两个市恰好是南昌和赣州的概率．

17.  本小题分
如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．

如图，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺在上取点，使于；
如图，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺在上取点，使于．

18.  本小题分
在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和消毒液．如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元．
每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是多少元？
若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买瓶免洗手消毒液送瓶消毒液，学校打算购进免洗手消毒液瓶，消毒液瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？

19.  本小题分
某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试测试满分分，得分均为不小于的整数，并将测试成绩分为四个等级：基本合格，合格，良好，优秀，制作了如图统计图部分信息未给出．

由图中给出的信息解答下列问题：
求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图．
求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
这次测试成绩的中位数是什么等级？
如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

20.  本小题分
如图，在矩形中，，相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，求四边形的面积．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．
则 ______ ， ______ ；
若点为射线上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点若，求的值．

22.  本小题分
如图，已知是的切线，为的直径，与交于点，点为的中点，交于点，交于点
求证：是的切线；
求证：∽；
如果，，，求到的距离．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其对称轴为过点的直线与抛物线交于另一点．
该抛物线的解析式为        ．
点是轴上的一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标；
点是第四象限内抛物线上的一个点，过点作于若取得最大值时，求这个最大值；
是抛物线对称轴上一点，过点作轴于点当最短时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是负数，，是正数，既不是正数也不是负数，
故选：．
根据负数的定义即可得出答案．
本题考查了实数，掌握在正数前面添加“”得到负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据几何体的形状和俯视图的概念可知，
从上面看到的是两个同心圆，外面的圆画成实线，里面的圆画成虚线．
故选：．
根据俯视图的概念：从物体的上面看所得的图形进行判断即可．
本题考查的是三视图的概念，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象的的值随值的增大而增大，
，
A、把点代入得到：，不符合题意；
B、把点代入得到：，不符合题意；
C、把点代入得到：，符合题意；
D、把点代入得到：，不符合题意；
故选：．

考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，
令，解得或，
令，求得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
的横坐标为，
设，则，
点落在抛物线上，
，解得，
，，
设直线的表达式为，
，
解得
直线的表达式为，
故选：．
求得、的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出，则，把代入抛物线解析式求得，即可求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的表达式．
本题考查了抛物线与轴的交点，坐标和图形变换平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出、的坐标是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故答案为．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】 

【解析】解：折扇的骨柄长为，折扇张开的角度为，
的长，
故答案为：．
根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】证明≌得，进而根据三角形内角和定理得结果．
解：平分，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
故答案为：．
本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，
点、、的坐标分别为，，．
，
点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，
，
则点的坐标为或或；
故答案为：或或．
由勾股定理求出，由点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，得出，即可得出点的坐标．
本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
 

13.【答案】解：如图，过点作于点，交于点，

，
，
∽，
设的半径长为，则，，
，
，
解得，
的半径长为；
在中，，
，
，
，
此时拉杆的伸长距离约为． 

【解析】过点作于点，交于点，证明∽，设的半径长为，则，，对应边成比例列式计算即可得结果；
利用锐角三角函数即可求出结果．
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

14.【答案】解：原式；
证明：四边形为正方形，
，
在中，，
，
，
，
，
∽． 

【解析】根据乘方的运算法则，零指数幂的法则计算即可；
先根据正方形的性质得，再利用等角的余角相等得，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定∽．
本题考查了相似三角形的判定，掌握有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：调研的对象共有个城市，分别是南昌、九江、景德镇、赣州、上饶，
恰好抽到赣州市的概率是．
用，，，，代表南昌、九江、景德镇、赣州、上饶，列表如下：

一共有种等可能的结果，正好是南昌和赣州的结果有种，
则所选取的两个市恰好是南昌和赣州的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和所选取的两个市恰好是南昌和赣州的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

17.【答案】解：如图，延长交于点，连接交于点，点即为所求；
延长交于，作直径，连接交于点，点即为所求．
 

【解析】如图中，延长交于点，连接交于点，因为是直径，所以，利用平行线的性质，可知．
如图中，延长交于，作直径，连接交于点，所以，利用平行线的性质，可知．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是元、元，
，
解得，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是元、元；
方案一的花费为：元，
方案二的花费为：元，
元，，
答：学校选用方案二更节约钱，节约元． 

【解析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程组的知识解答．
根据购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是多少元；
根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
 

19.【答案】解：人，
人，
直方图如图所示：


“良好”所对应的扇形圆心角的度数．

这次测试成绩的中位数是这次测试成绩的中位数的等级是良好．

人，
答：估计该校获得优秀的学生有人． 

【解析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据基本合格人数和已知百分比求出总人数即可解决问题．
根据圆心角“良好”所占的百分比计算即可．
根据中位数的定义判断即可．
利用样本估计总体的思想解决问题即可．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
四边形是菱形，，
，
≌，
的面积的面积，
四边形的面积是． 

【解析】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．
根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，，，求出，再根据菱形的判定得出即可；
根据矩形的性质得出，，，，求出，求出，根据勾股定理求出，再求出的面积，求出的面积即可．
 

21.【答案】   

【解析】解：作轴于，如图所示：

，，
∽，
直线经过点，
，
解得，
直线解析式为：，
，
，
，，
点坐标为，
将点坐标代入，
得．
故答案为：，；
轴，
点的纵坐标为，代入，
得，
点坐标为，
将点横坐标代入，
得，
，
点纵坐标为，
代入，
得，
点坐标为，
，
，
当时，
解方程得或，
当时，
解方程得，
点为射线上一点，
或．
将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
 

22.【答案】证明：连接．
为直径，
为直角三角形．
在中，为中点，
，
．
又，，
，．
是的切线．
证明：，
直角三角形的两个锐角互余．
直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，
等量代换．
又是公共角，
∽．
解：过点作于点，
∽，
相似三角形的对应边成比例．
，，
．
可知，
，即，
直径，
，
，
，
到的距离为． 

【解析】连接，证即可．易证，又点为的中点，得根据等腰三角形性质可证，得证；
可证，所以要求需先求结合已知条件，证明与相似．
根据∽，得出的长度，进而求出到的距离即可．
此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，根据相似三角形的性质得出的长度是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，令得，
，
抛物线对称轴为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
故答案为：；
由得或，
，
设，则，，，
当时，，
解得或，
的坐标为或；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得与重合，舍去或，
；
综上所述，的坐标为或或或；
过点作轴交于点．

直线解析式为，
，
轴，
，
，
设，则，，
，
，
当时，取最大值，的最大值为，此时，
最大值为；
由得或，
，
将点向左平移个单位到，连接交轴于点，过点作垂于对称轴于点，此时最短，如图：

由，得直线解析式为，
令得，
，
点坐标为
在中，得，由抛物线对称轴为，列方程组可得抛物线的解析式为；
求出，设，则，，，分三种情况分别列方程，可解得的坐标为或或或；
过点作轴交于点，由直线解析式为，可得，及知，设，可得，由二次函数性质可得最大值为；
将点向左平移个单位到，连接交轴于点，过点作垂于对称轴于点，此时最短，由，得直线解析式为，令得，故点坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．