2022-2023学年广东省广州市象贤中学高一上学期期末数学试题（解析版）

象贤中学2022--2023学年度第一学期

期末综合训练高一级数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，函数的定义域为B，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再根据交集的定义计算可得.

【详解】解：对于函数，则，解得，

所以函数的定义域为，

又，所以.

故选：C

2. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充要条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由解得，

所以由推不出，故充分性不成立，

由推得出，故必要性成立，

所以“”是“”必要不充分条件.

故选：A

3. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.

【详解】解：因为，，

又，即，

所以.

故选：B

4. 已知为第二象限角,且,则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据为第二象限角,可得三角函数值的正负,根据平方关系可得余弦值,根据商数关系即可得正切值.

【详解】解:由题知为第二象限角,

所以,

因为,

所以

.

故选:C

5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与且在同一坐标系中的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据参数对于指数函数与对数函数图象的影响，逐项检验，可得答案.

【详解】对于A，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故A错误；

对于B，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递增，故B错误；

对于C，由指数函数的图象，可得，则，即函数在其定义域上单调递减，故C正确；

对于D，由指数函数的图象，可得，则，即函数在上单调递减，故D错误；

故选：C.

6. 奇函数是定义域为上的增函数，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，还需注意函数的定义域，解得即可.

【详解】解：因为是定义域为上的增函数，且为奇函数，

则不等式，即，

等价于，解得，即，

即实数的取值范围是.

故选：B

7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（    ）

参考数据：

参考时间轴：

A. 宋 B. 唐 C. 汉 D. 战国

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.

【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，

则有，解得，于是得，

当时，，于是得：，解得，

由得，对应朝代为战国，

所以可推断该文物属于战国.

故选：D

8. 已知函数若方程有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】画出函数图象，将问题转化为与有两个交点，数形结合即可得解.

【详解】解：因为，所以的函数图象如下所示：

因为方程有且仅有两个不等实根，所以与有两个交点，

由图可知.

故选：B

二、多选题（本大题共4小题，共20．0分．在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列函数中，最小值为4的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据对勾函数的性质判断A；利用基本不等式判断B；根据二次函数的性质判断C；根据指数函数的性质判断D.

【详解】解：对于A：因为，函数在上单调递减，

所以，当且仅当时取等号，故A错误；

对于B：因为，所以，

当且仅当，即时取等号，故B正确；

对于C：，当且仅当时，故C正确；

对于D：因为，所以，故D错误；

故选：BC

10. 下列选项中,正确的是（    ）

A. 若,则

B. 若不等式的解集为,则

C. 函数（且）的图象恒过定点

D. 若,且,则的最小值为9

【答案】AD

【解析】

【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误.

【详解】解:由题知,“”的否定是“”,

故选项A正确;

若不等式的解集为,

则的两根为-1,3,

且,

根据韦达定理有:

,

解得,

所以,

故选项B错误;

因为恒过,

所以恒过,

故选项C错误;

因为,

所以

,

当且仅当,即时等式成立,

故的最小值为9,

故选项D正确.

故选:AD

11. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像所有点（    ）

A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度

B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

D. 向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平移变换和伸缩变换逐一判断即可.

【详解】对于A，函数的图像所有点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度得到函数的图像，故A正确；

对于B，函数的图像所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度得到函数的图像，故B错误；

对于C，函数的图像所有点向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，故C正确；

对于D，函数的图像所有点向右平移个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，故D错误；

故选：AC

12. 若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数；其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数的新定义依次代入函数计算得到方程，AC方程无解，得到答案.

【详解】，定义域为，则，方程无解，A错误；

，定义域为，则，解得，B正确；

，定义域为，则，化简得到，方程无解，C错误；

，定义域为，则，即，是方程的一个解，D正确.

故选：BD.

三、填空题：（本大题共4小题，共20．0分）

13. 已知函数，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.

【详解】∵，，

则

∴.

故答案：.

14. 已知，则的单调递增区间为__________．

【答案】

【解析】

【分析】令，则，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．

【详解】解：函数的定义域为：

令，则为增函数，

当时，为减函数，此时为减函数，

当时，为增函数，此时为增函数，

即的单调递增区间是，

故答案为：

15. 若，且，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】首先求出，再根据利用两角差的正弦公式计算可得.

【详解】解：因为，所以，又,故，

所以，

所以

.

故答案为：

16. 已知函数，若对任意，总存在，使得恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】首先求出的值域，再求出的最小值，依题意，即可得到不等式，解得即可.

【详解】解：因为，，

所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，

所以，

又，所以在上单调递减，

所以，

因为对任意的，总存在，使得恒成立，

所以，即，解得，

故实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题（共4道大题，每题10分，共40.0分）

17. 已知角的终边经过点,试求:

（1）的值;

（2）的值．

【答案】（1）-3    （2）

【解析】

【分析】(1)先对点坐标化简,再根据终边上点的坐标求出角的三角函数值,根据诱导公式化简后,将角的三角函数值代入即可;

(2)由(1)的三角函数值,直接代入即可求出结果.

【小问1详解】

解:由题知,角的终边经过点,

即,

所以

,

所以

综上:;

【小问2详解】

由(1)得,,

所以原式

.

18. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期及对称轴；

（2）当时，求函数的值域．

【答案】（1）最小正周期，对称轴为，.   

（2）

【解析】

【分析】（1）二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【小问1详解】

解：

，

即，

所以函数的最小正周期，

令，，解得，，

所以函数的对称轴为，.

【小问2详解】

解：因为，所以，

所以，所以，

即在上的值域为.

19. 某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和．

（1）写出关于的函数表达式；

（2）求为多少时，有最小值，并求出的最小值．

【答案】（1）   

（2）当时，有最小值为

【解析】

【分析】（1）根据为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和，即可建立函数模型．

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【小问1详解】

解：由题意可得，关于的函数表达式为．

【小问2详解】

解：，

当且仅当，即时，等号成立，

当时，有最小值为．

20. 已知函数．

（1）若函数是奇函数，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，证明：函数是增函数；

（3）若函数在上有零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由结合奇偶性的定义得出的值；

（2）由定义证明即可；

（3）由方程有实数根，即有实数根，结合的单调性得出的范围.

【小问1详解】

定义域为R，由，解得；

此时，，即函数是奇函数.

故.

【小问2详解】

，任取，.

因为，所以，即.

故函数是增函数；

【小问3详解】

因为函数在上有零点，所以有实数根，即有实数根，

令，易知在上单调递减，

又，所以，即.