2022-2023学年广东省广州市第八十九中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市第八十九中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“”，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.

【详解】的否定为：，

故选：A.

2．函数的零点所在区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.

【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,

又，，

由零点存在定理可知,零点所在区间为.

故选:.

3．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，

所以，

故选：C.

4．已知，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】进行弦化切，代入求解.

【详解】因为，所以.

所以.

故选：A

5．二次不等式的解集为，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．6

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.

【详解】不等式的解集为，

，

原不等式等价于，

由韦达定理知，，

，，

．

故选：D．

6．（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】利用两角差的余弦和诱导公式可求三角函数式的值.

【详解】,

故选：C.

7．已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a的范围.

【详解】因为在上单调递减，且最小值为-1.

所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，

只需，解得：.

故选：C

8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案

【详解】解：∵当时，恒成立，

∴当时，，即，

∴函数在上为单调增函数，

∵函数是偶函数，即，

∴函数的图象关于直线对称，∴，

又函数在上为单调增函数，∴，

即，∴，

故选：B．

二、多选题

9．下列各组函数表示相同函数的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】CD

【分析】从定义域和解析式两个方面判断，一一验证.

【详解】对于A：.两个函数的定义域相同，但是解析式不同，不是同一个函数.故A错误；

对于B：.两个函数的定义域不同，解析式不同，不是同一个函数.故B错误；

对于C：.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故C正确；

对于D：.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故D正确.

故选：CD

10．下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递增

B．最小正周期是

C．图象关于点中心对称

D．图象关于直线轴对称

【答案】AD

【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，，此时函数为增函数，所以函数在区间上单调递增，故A选项正确；

对于B选项，由函数周期公式，故B选项错误；

对于C选项，当时，，由于是的对称轴，故不是函数的中心对称，故错误；

对于D选项，当时，，由于是的对称轴，故直线是函数的对称轴，故D选项正确.

故选：AD

11．下列命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“”的否定是“”

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的必要而不充分条件

【答案】ABD

【分析】对于ACD，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误.

【详解】对于A，即为或，

因为可得推出或，或推不出，

故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.

对于B，命题“”的否定是“”，故B正确.

对于C，当且时，有，

取，满足，但且不成立，

故“且”是“”的充分而不必要条件，故C错误.

对于D，取，，此时，故不成立，

当时，必有，

故“”是“”的必要而不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

12．已知函数，，且，则（    ）

A． B．

C． D．在上单调递增

【答案】AC

【分析】化简函数解析式，由条件可得在处取得最大值，根据正弦函数的性质可得，与条件可求，由同角关系求，由此判断A，B，再结合正弦函数的性质判断C，D.

【详解】，，，因为在处取得最大值，所以，，即，，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，，故A正确，B错误；所以，，解得，，又，所以，故C正确；当时，因为，所以，所以在上不单调，故D错误，

故选：AC.

三、填空题

13．若集合与满足，则实数__________.

【答案】0或

【分析】结合集合中元素的互异性求解即可.

【详解】∵，

∴或

解得，或

故答案为：0或

14．函数的定义域为__________.

【答案】

【分析】直接列不等式，求出定义域.

【详解】要使函数有意义，

只需解得：且.

所以函数的定义域为.

故答案为：

15．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.

【答案】

【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，

所以函数在上单调递增，

又因为定义域和值域均为，

所以，即，解得（舍去）或，

所以.

故答案为：

16．已知的值域为，则实数__________.

【答案】1

【分析】根据值域为可得，且， ，因此为的实数解，从而可求.

【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取.

若，则，

若，则，

故为的实数解，

故，整理得到：，

故即，解得.

当时，，

当时，，

对于任意给定的正数，当，

有，故，

而当时，，

综上，时，的值域为.

故答案为：1.

四、解答题

17．集合.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据并集的定义可求.

（2）根据补集和交集的定义可求.

【详解】（1），故.

（2），故.

18．已知.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用倍角公式可求三角函数式的值；

（2）利用两角和的正弦可求的值.

【详解】（1），

因为，故，所以.

（2）因为，所以，而，

所以，故，

所以

.

19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.

(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.

【答案】(1)长为18m,宽为9m；

(2).

【分析】（1）利用基本不等式即可求得；

（2）利用“1”的妙用即可求得.

【详解】（1）由已知可得,而篱笆总长为.

又,当且仅当,即时等号成立

所以菜园的长为18m,宽为9m时,可使所用篱笆总长最小.

（2）由已知.

因为

（当且仅当时等号成立）.

所以（当且仅当时等号成立）

所以的最小值为.

20．已知函数.

(1)求的最小正周期及对称中心；

(2)求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.

【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为

(2)，此时对应的的值为；，此时对应的为.

【分析】（1）利用三角变换公式可得，利用公式和正弦函数的性质可求最小正周期和对称中心；

（2）利用整体法可求函数的最值及对应的自变量的值.

【详解】（1）

，

故的最小正周期为，

令，故，

故对称中心为：.

（2）当时，，故，

所以，

故，此时对应的的值为；

，此时对应的的满足即；

21．已知函数是奇函数，且.

(1)求a，b的值；

(2)证明函数在上是增函数.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由奇函数的性质可知，可求出b的值，再利用可求出a的值.

（2）利用定义法证明函数的单调性即可.

【详解】（1）∵函数是奇函数，∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，∴，

∴.

（2）由（1）得，

任取，，且，

∴，

∵，∴，，，

∴，即，

∴函数在上是增函数.

22．已知函数且经过定点，函数且的图像经过点.

(1)求函数的定义域与值域；

(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)定义域为，值域为.

(2).

【分析】（1）先由函数且经过定点，求出，即可求出，直接求出函数的定义域与值域；

（2）设,把题意转化为函数在上有两个零点，分类讨论：①,②③列不等式组，求出的取值范围.

【详解】（1）由函数且经过定点，令，解得：，所以当时，.

故

因为函数且的图像经过点，所以，解得：.

所以.

要使函数有意义，只需，解得：.所以的定义域为.

因为，所以，所以的值域为.

（2）由（1）可知, .

设,则,因为为关于的单调递增函数,所以在上有两个零点,等价于函数在上有两个零点

当时,由,得.有一个零点,则不合题意.

当时, 解得：.

当时, 不等式组无解.

综上所述, 的取值范围是.