2022-2023学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据任意角三角函数的定义直接求解即可.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，

故选：C

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由两角和的正弦公式和诱导公式，即可求出结果.

【详解】

，由两角和的正弦公式，可知

故答案为：C

3．如图，U为全集，，，是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合间的关系求解即可.

【详解】图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是.

故选：C

4．下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.

【详解】因为是奇函数又在上是增函数，所以A正确.

因为定义域为，所以在和是增函数，所以B错误.

因为是偶函数不是奇函数，所以C错误.

因为定义域为不具备奇偶性，所以D错误.

故选：A

5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计的大小，由此确定它们的大小关系.

【详解】∵是第二象限角，

∴，

∵ 指数函数在上为减函数，且，

∴，

∴ ，

∵为上的增函数，

∴，

∴

故选：B.

6．函数的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.

【详解】因为,.

所以为奇函数,故选项错;,故选项错;

故选:.

7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．

【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，

又是偶函数，因此不等式转化为，

，，解得．

故选：D．

8．一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（    ）

A．0 B．1 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据题意设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，写出函数解析式，计算f（t）+f （t+1）+f （t+2）的值．

【详解】根据题意，设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），则A＝2，k＝1，

因为T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，

又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，

又因为φ＜0，所以φ，

所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；

所以f （t）sint﹣cost+1，

f （t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，

f （t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，

所以f （t）+f （t+1）+f （t+2）＝3．

故选：C．

二、多选题

9．已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．若.则

【答案】ABD

【分析】可以使用基本不等式，对于任意实数 ，，当且仅当 时取等号，可以判断A；

可以使用基本不等式，对于任意正实数 ，，当且仅当 时取等号，可以判断B；

可以通过作差，再利用不等式的性质可以判断C；

利用不等式的性质可以判断D.

【详解】对于A：

等价于等价于，当且仅当 时取等号，对于任意实数 都成立，故A正确；

对于B：

由于 ，所以 ，当且仅当，即时取等号，对于任意实数 都成立，故B正确；

对于C：

由于 ，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故C错误；

对于D：

由于 ，则，又因为，所以，故D正确.

故选：ABD

10．先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．图像关于直线对称

C．在上单调递减

D．最小正周期为π，图像关于点对称

【答案】ABD

【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，整理函数解析式，根据整体代入的方法可得答案.

【详解】先将函数的图像向右平移个单位长度后，可得的图像，

再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，

则当时，，故单调递增，故A正确；

当时，，为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；

当时，，此时不单调，故C不正确；

由题意可得的最小正周期为π，当时，，故的图像关于点对称，故D正确，

故选：ABD.

11．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ）

A．函数的零点的个数为2

B．实数的取值范围为

C．函数无最值

D．函数在上单调递增

【答案】ABC

【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.

【详解】因为函数，可得函数图像如图：

由图知函数有2个零点，故A选项正确；

函数没有最值，故C选项正确；

函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；

由于方程有4个不同的实数根，

令则有4个不同的实数根，

因为恒成立，

设两个不等的实根为，

由韦达定理知：，

则异号，由图可知：，

所以，解得，故B选项正确；

故选：ABC

【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

12．已知函数满足对任意的都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，都有，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．的图象关于直线对称

C． D．

【答案】BCD

【分析】对于A选项：根据函数的图象关于点对称,则函数的图象关于点对称，即可判断；

对于B选项：由A选项可知函数为奇函数，可推得，即可判断图象关于直线对称；

对于C选项：由可推出函数是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得，，即可判断C；

对于D选项： 由可得，推出函数在区间上单调递增，结合函数性质求得，，即可得.

【详解】A选项：由函数的图象关于点对称，

可得函数的图象关于点对称，所以函数为奇函数，故A不正确.

B选项：由函数为奇函数可得，

故函数的图象关于直线对称，故B正确.

C选项：由函数满足对任意的都有，

可得，所以函数是周期为4的周期函数.

因为为奇函数，所以，由得，

故，则，

，

所以，故C正确.

D选项：由对任意，，都有，

即对任意的，，都有，

可得函数在区间上单调递增.

因为，

，且，所以，即,故D正确，

故选：.

【点睛】方法点睛：对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论：

（1）对于函数，若其图象关于直线对称（当时，为偶函数），则①；②；③.

（2）对于函数，若其图象关于点对称（当时，为奇函数），则①；②；③.

（3）对于函数，若其图象关于点对称，则①；②；③.

三、填空题

13．已知集合，，则__________.（用区间作答）

【答案】

【分析】先解绝对值与指数不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可求得.

【详解】因为，所以，则，

所以，

因为，所以，故，

所以.

故答案为：.

14．若，则_________.

【答案】

【分析】根据诱导公式即可化简求解.

【详解】,

故答案为：

15．设是定义域为的奇函数，且.若，则______.

【答案】

【分析】先由的奇偶性与题设条件推得，从而证得是周期函数，进而利用的周期性与奇偶性求得.

【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，

又因为，所以，

所以，则是周期为的周期函数，

所以.

故答案为：.

16．函数的值域是__________.

【答案】

【分析】首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于的二次函数，再求值域.

【详解】设，因为，所以，

则，

，

当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，

所以函数的值域是

故答案为：

四、解答题

17．已知为第三象限角，且.

(1)化简；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可化简；

(2)根据求出sinα，＝－cosα＝即可求得﹒

【详解】（1）．

（2）∵，∴，

又为第三象限角，∴，

∴．

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期与单调增区间；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

【答案】(1)，单调增区间

(2)，

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；

（2）利用整体法求函数的最值.

【详解】（1）解：

，

函数的最小正周期，

令，

解得，

所以单调递增区间为

（2），

，

，

即，

所以，.

19．2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.

（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：，.

【答案】（1）；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【解析】（1）代入公式中直接计算即可

（2）由题意得，，则，求出的范围即可

【详解】（1），

（2），.

因为要使火箭的最大速度至少增加，

所以，

即：，

所以，

即，所以，

因为，所以.

所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.

【点睛】此题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______，

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A；（2）对集合B中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.

【详解】（1）若选①：

，

，

所以，

，

，

故.

若选②：

，

所以，

，

，

故.

若选③：

，

，

所以，

，

，

故.

（2）由（1）知，

，

因为“”是“”的充分不必要条件，

（i）若，即，

此时，

所以

等号不同时取得，

解得.

故.

（ii）若，则，不合题意舍去；

（iii）若，即，

此时，

等号不同时取得，

解得.

综上所述，a的取值范围是.

21．设函数（），将该函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，函数的图像关于y轴对称.

(1)求的值；

(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数在一个周期内的图像；

(3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)图像见解析

(3)

【分析】（1）先对 作恒等变换，再求出 解析式，根据条件求出 ；

（2）用整体代入法取5点作图；

（3）将原方程转化为一元二次方程求解.

【详解】（1）

，

，是偶函数，并且 ；

（2）由（1）的结论得 ，

取5点得下表：

作下图：

（3）由（1）得 ，原方程为： ，

， …①，

令 ， ，则t关于x的函数图像如下图：

由图可知：当 时，任意一个t对于2个x，当 时 ，任意一个t对应1个x，并且 ；

变为： ，即  ，

即不论m为何值， 总是原方程的一个解，∴欲使得原方程有2个解，必须是 ，

；

综上， ， .

22．已知函数，其中.

(1)若对任意实数，恒有，求的取值范围；

(2)是否存在实数，使得且？若存在，则求的取值范围；若不存在，则加以证明.

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】(1)首先求出在上的最大值，问题转化为对任意成立，然后化简不等式，参变分离构造即可.

(2)分a＞0和a＜0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.

【详解】（1），，，∴，

∴原问题对任意成立，

即对任意成立，

即对任意成立，∴.

故a的范围是：.

（2）①

，

，

∵，∴，

∴不等式变为，∴；

(2)，

，

∵，∴此时无解.

综上所述，存在满足题意.