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2023-2024学年广东省广州市番禺区象贤中学高一上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区象贤中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.
【详解】由题意，集合，，∴.
故选：B.
2．已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】全称命题的否定定义可得.
【详解】根据全称命题的否定，：，.
故选：C.
3．下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简CD的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.
【详解】的最小正周期为,故A错误；
为非奇非偶函数，故B错误；
，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
为偶函数，故D错误.
故选:C.
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】以函数奇偶性排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决.
【详解】函数定义域为R，
，
则为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD；
又，
由可知，，排除C.
故选：A
5．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到.
【详解】由题意得，故，，
解得，，
又因为函数在区间单调递增，所以，解得，
因为，所以，
故，解得，
故，解得，
又，故，所以
故选：C
6．设，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.
【详解】在单调递增，
且，
根据零点存在性定理，
得存在唯一的零点在区间上.
故选：B
【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.
7．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出，在根据指数函数与对数函数的单调性得到，根据幂函数的单调性得到，再结合偶函数可得答案.
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，不合题意，
当时，，此时在上单调递减，
所以.
因为，
又，所以，
因为在上单调递减，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：C
8．若函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】零点的个数转化为两个函数的交点问题，求出交点和后，再分别计算和的解得个数即可.
【详解】根据题意，零点的个数等价于解的个数，
且的解等价于的解，
∴函数与有和两个公共点，
∵在，上为增函数，在上为减函数，
，∴有两个解，
，且，∴有三个解，
∴函数的零点共有5个.
故选：D
【点睛】本题主要考查零点问题的转化，一元二次函数和指数函数的图像性质，考查学生的转化和数形结合的思想，属于中档题.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．与735°终边相同的角是15°
B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm，则扇形面积为
C．设是锐角，则角为第一或第二象限角
D．设是第一象限，则为第一或第三象限角
【答案】ABC
【分析】令终边相同的角的关系可判断A，利用角的范围或特例可判断CD的正误，利用公式计算扇形的面积后可判断B.
【详解】对于A，，故与终边也相同，故A错误.
对于B，扇形面积为，故B错误.
对于C，如果，则，此时为轴线角，故C错误.
对于D，因为是第一象限，故，
故，故为第一或第三象限角，故D正确.
故选：ABC.
10．下列函数中，最小值为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式可直接判断B选项，根据函数的单调性可判断A，C，D选项.
【详解】A选项：由已知，由对勾函数的单调性可知，A选项错误；
B选项：由已知，由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号，所以B选项正确；
C选项：，当时，有最小值为，所以C选项正确；
D选项：由得，所以D选项错误；
故选：BC.
11．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答.
【详解】函数的周期，A不正确；
当时，，点不是图象的对称中心，B不正确；
当时，，直线不是图象的对称轴，C不正确；
当时，，因函数在上单调递增，
因此在上单调递增，D正确.
故选：ABC
12．设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.
【详解】对于A，当时，所以，
所以，故函数不是“函数”故A不正确；
对于B，当，时，，
，满足，故函数是“函数”，故 B正确；
对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；
对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】2
【分析】将齐次式弦化切即可求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：2.
14．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 .
【答案】
【分析】利用给定解集结合韦达定理用表示出，再代入解不等式即得.
【详解】由关于的不等式的解集为或，
得是方程的二根，且，
于是，解得，
不等式化为：，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
15．函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据已知化简可得.换元令，可得，.根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】，
令，
因为，所以，
所以.
根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，有最大值.
又，，
所以的最小值为，函数的值域为.
故答案为：.
16．函数在上所有零点之和为 .
【答案】4
【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，
利用函数的对称性，可求零点的和.
【详解】函数，即，函数和关于点对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.
故答案为：4
四、解答题
17．已知函数
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；
（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.
【详解】解：（1）
所以.
（2）由，平方可得，
即. 所以，
因为，
又，所以，，所以,
所以.
【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.
18．已知函数
(1)求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间；
(2)求在上的最值及对应的的值.
【答案】(1)对称轴：，对称中心：，减区间：
(2)当时，取最大值1；当时，取最小值
【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；
（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.
【详解】（1）
由，解得，所以对称轴方程为，
由解得，所以对称中心为，
由，解得，
所以函数的减区间为.
（2）因为，所以，
所以，
所以当，即时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为.
19．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)解不等式．
【答案】(1)f（x）为奇函数，证明见解析；
(2)当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出f（﹣x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；
（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围．
【详解】（1）对于函数，
由，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），
再根据
可得f（x）为奇函数．
（2）不等式f（x）＞0，即lga（x+1）＞lga（1﹣x），
当a＞1时，可得x+1＞1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得0＜x＜1．
当0＜a＜1时，可得x+1＜1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得﹣1＜x＜0，
综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．
20．已知奇函数的定义域为
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)a=1，b=3；
(2)详见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.
【详解】（1）解：因为函数是奇函数，
所以，即，
即，即，
整理得，
所以，即，则，
因为定义域为关于原点对称，所以b=3；
（2）在上递增.
证明：任取，且，
则，
因为，
所以，又，
所以，即，
所以在上递增；
（3）因为，
所以，
又当时，恒成立，
所以，时恒成立，
令，则，时恒成立，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
21．中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，建立函数，利用基本不等式，可得答案；
（2）由题意，等价转化为不等式恒成立问题，利用分离参数，建立新函数，结合基本不等式，可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的报价为元，
，
由，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低.
（2）由题意可知：不等式在上恒成立，
化简不等式可得：，
设，
由时，则，
所以.
22．设函数．
(1)若，求的值．
(2)求函数在R上的最小值；
(3)若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用求得，由此求得.
（2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.
（3）利用换元法，结合二次函数零点分布等知识来求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以即．
此时，
由．
（2）令，，则，对称轴为
①，即，．
②，即，．
③，即，．
综上可知，.
（3）令，．
由题意可知，当时，有两个不等实数解，
所以原题可转化为在内有两个不等实数根．
所以有．
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.
【详解】由题意，集合，，∴.
故选：B.
2．已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】全称命题的否定定义可得.
【详解】根据全称命题的否定，：，.
故选：C.
3．下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB，根据诱导公式化简CD的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.
【详解】的最小正周期为,故A错误；
为非奇非偶函数，故B错误；
，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
为偶函数，故D错误.
故选:C.
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】以函数奇偶性排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决.
【详解】函数定义域为R，
，
则为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD；
又，
由可知，，排除C.
故选：A
5．若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到.
【详解】由题意得，故，，
解得，，
又因为函数在区间单调递增，所以，解得，
因为，所以，
故，解得，
故，解得，
又，故，所以
故选：C
6．设，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.
【详解】在单调递增，
且，
根据零点存在性定理，
得存在唯一的零点在区间上.
故选：B
【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.
7．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出，在根据指数函数与对数函数的单调性得到，根据幂函数的单调性得到，再结合偶函数可得答案.
【详解】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，不合题意，
当时，，此时在上单调递减，
所以.
因为，
又，所以，
因为在上单调递减，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：C
8．若函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】零点的个数转化为两个函数的交点问题，求出交点和后，再分别计算和的解得个数即可.
【详解】根据题意，零点的个数等价于解的个数，
且的解等价于的解，
∴函数与有和两个公共点，
∵在，上为增函数，在上为减函数，
，∴有两个解，
，且，∴有三个解，
∴函数的零点共有5个.
故选：D
【点睛】本题主要考查零点问题的转化，一元二次函数和指数函数的图像性质，考查学生的转化和数形结合的思想，属于中档题.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．与735°终边相同的角是15°
B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm，则扇形面积为
C．设是锐角，则角为第一或第二象限角
D．设是第一象限，则为第一或第三象限角
【答案】ABC
【分析】令终边相同的角的关系可判断A，利用角的范围或特例可判断CD的正误，利用公式计算扇形的面积后可判断B.
【详解】对于A，，故与终边也相同，故A错误.
对于B，扇形面积为，故B错误.
对于C，如果，则，此时为轴线角，故C错误.
对于D，因为是第一象限，故，
故，故为第一或第三象限角，故D正确.
故选：ABC.
10．下列函数中，最小值为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式可直接判断B选项，根据函数的单调性可判断A，C，D选项.
【详解】A选项：由已知，由对勾函数的单调性可知，A选项错误；
B选项：由已知，由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号，所以B选项正确；
C选项：，当时，有最小值为，所以C选项正确；
D选项：由得，所以D选项错误；
故选：BC.
11．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答.
【详解】函数的周期，A不正确；
当时，，点不是图象的对称中心，B不正确；
当时，，直线不是图象的对称轴，C不正确；
当时，，因函数在上单调递增，
因此在上单调递增，D正确.
故选：ABC
12．设函数定义域为，若存在，且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，根据基本不等式可知A不正确；对于B，当，时，计算可知B正确；对于C，根据基本不等式可知C不正确；对于D，当，时，计算可知D正确.
【详解】对于A，当时，所以，
所以，故函数不是“函数”故A不正确；
对于B，当，时，，
，满足，故函数是“函数”，故 B正确；
对于C，当正数时，所以，故函数不是“函数”，故C不正确；
对于D，当，时，，，满足，故函数是“函数”，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：理解新函数的定义是解题关键.
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】2
【分析】将齐次式弦化切即可求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：2.
14．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为 .
【答案】
【分析】利用给定解集结合韦达定理用表示出，再代入解不等式即得.
【详解】由关于的不等式的解集为或，
得是方程的二根，且，
于是，解得，
不等式化为：，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
15．函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据已知化简可得.换元令，可得，.根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】，
令，
因为，所以，
所以.
根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，有最大值.
又，，
所以的最小值为，函数的值域为.
故答案为：.
16．函数在上所有零点之和为 .
【答案】4
【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，
利用函数的对称性，可求零点的和.
【详解】函数，即，函数和关于点对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.
故答案为：4
四、解答题
17．已知函数
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；
（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.
【详解】解：（1）
所以.
（2）由，平方可得，
即. 所以，
因为，
又，所以，，所以,
所以.
【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.
18．已知函数
(1)求函数的对称轴，对称中心以及单调减区间；
(2)求在上的最值及对应的的值.
【答案】(1)对称轴：，对称中心：，减区间：
(2)当时，取最大值1；当时，取最小值
【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；
（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.
【详解】（1）
由，解得，所以对称轴方程为，
由解得，所以对称中心为，
由，解得，
所以函数的减区间为.
（2）因为，所以，
所以，
所以当，即时，函数有最小值为，
当，即时，函数有最大值为.
19．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(2)解不等式．
【答案】(1)f（x）为奇函数，证明见解析；
(2)当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出f（﹣x）与f（x）的关系，利用函数的奇偶性的定义，得出结论；
（2）分类讨论底数的范围，再利用函数的定义域和单调性，求得x的范围．
【详解】（1）对于函数，
由，求得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），
再根据
可得f（x）为奇函数．
（2）不等式f（x）＞0，即lga（x+1）＞lga（1﹣x），
当a＞1时，可得x+1＞1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得0＜x＜1．
当0＜a＜1时，可得x+1＜1﹣x，且x∈（﹣1，1），求得﹣1＜x＜0，
综上，当a＞1时，不等式的解集为（0，1）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣1，0）．
20．已知奇函数的定义域为
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)a=1，b=3；
(2)详见解析；
(3)
【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.
【详解】（1）解：因为函数是奇函数，
所以，即，
即，即，
整理得，
所以，即，则，
因为定义域为关于原点对称，所以b=3；
（2）在上递增.
证明：任取，且，
则，
因为，
所以，又，
所以，即，
所以在上递增；
（3）因为，
所以，
又当时，恒成立，
所以，时恒成立，
令，则，时恒成立，
而，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
21．中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，建立函数，利用基本不等式，可得答案；
（2）由题意，等价转化为不等式恒成立问题，利用分离参数，建立新函数，结合基本不等式，可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的报价为元，
，
由，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低.
（2）由题意可知：不等式在上恒成立，
化简不等式可得：，
设，
由时，则，
所以.
22．设函数．
(1)若，求的值．
(2)求函数在R上的最小值；
(3)若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用求得，由此求得.
（2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.
（3）利用换元法，结合二次函数零点分布等知识来求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以即．
此时，
由．
（2）令，，则，对称轴为
①，即，．
②，即，．
③，即，．
综上可知，.
（3）令，．
由题意可知，当时，有两个不等实数解，
所以原题可转化为在内有两个不等实数根．
所以有．
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