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2022-2023学年广东省广州市第七中学高一上学期期末数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省广州市第七中学高一上学期期末数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
高一年级数学科综合练习一、单选题(共8小题,每题4分,满分32分)1. 已知,,若,则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合交集、并集、补集的运算,可得答案.【详解】,,则.故选:C.2. 命题“,”的否定为()A. , B. ,C. , D. ,【答案】B【解析】【分析】由含存在量词的命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】命题的否定在否定结论的同时,量词作相应改变,所以命题“,”的否定为,,故选:B.3. =()A. B. C. D. 【答案】A【解析】详解】试题分析:由诱导公式,故选A.考点:诱导公式.4. 2021年4月,四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物,考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定,检测出碳14的残留量约为初始量的66%,已知碳14的半衰期是5730年(即每经过5730年,遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约()(参考数据:lg)A. 3200年 B. 3262年 C. 3386年 D. 3438年【答案】D【解析】【分析】设时间经过了年,则,结合参考数据计算得到答案.【详解】设时间经过了年,则,即,.故选:D.5. “”是“”成立的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】因为当时,,但由,得或.故选:A.6. 已知,,且,则的最小值为()A. 64 B. 81 C. 100 D. 121【答案】B【解析】【分析】由已知得,,展开后再利用基本不等式可得答案.【详解】由题意得,所以,当且仅当,即时,等号成立.故选:B.7. 已知,则的值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以为整体,利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】∵,故选:D.8. 已知函数(且),则的所有零点之和为()A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】将的零点问题转化为函数和的图象的交点问题,因此可作出二者的图象,则问题可解.【详解】因为,所以由,得,因为函数与的图象都关于直线对称,且与的图象在和时,各有2个交点,如图示:所以(且)的所有零点之和为,故选:C.二、多选题(共4小题,每题全对4分,漏选2分,满分16分)9. 已知,则下列不等式正确的是()A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质,幂函数,指数函数和对数函数的性质判断.【详解】当时,,A错;由函数是增函数得成立,B正确;当时,,从而,C正确;当时,与的大小不确定,比如,,因此D错;故选:BC.10. 下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递增的是()A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】函数在区间上单调递减,不符合要求,故A错;函数的最小正周期为,不符合要求,故B错;符合题中要求,故C正确;最小正周期为,在区间上单调递增,故D正确.【详解】对于A,最小正周期为,在区间上单调递减,所以A错误;对于B,最小正周期为,在区间上单调递减,所以B错误;对于C,最小正周期为,在区间上单调递增,所以C正确;对于D,最小正周期为,在区间上单调递增,所以D正确,故选:CD.11. 已知函数,则下列结论正确的是()A. 是奇函数B. 的定义域是C. 在上单调递增D. 的图象的对称中心是,【答案】ACD【解析】【分析】利用奇函数的定义及诱导公式判断A;利用正切函数的性质判断BCD.详解】对于B,令,得,可知的定义域为,故B错误;对于A,定义域关于原点对称,且,故奇函数,故A正确;对于C,令,解得,当时,在上单调递增,故C正确;对于D,,得,即的图象的对称中心是,故D正确;故选:ACD12. 已知函数和函数,下列说法中正确的有()A. 函数与函数图象关于直线对称B. 函数与函数图象只有一个公共点C. 记,则函数为减函数D. 若函数有两个不同零点,,则【答案】ABD【解析】【分析】选项A,可通过在上取点,验证点是否在函数图像上,即可做出判断;选项B,可通过画出函数与函数图象,即可做出判断;选项C,可在上赋值验证是否满足减函数的条件,即可做出判断;选项D,可由题意,得到的等量关系,通过化简,即可做出判断.【详解】选项A,在函数上去一点,此时满足,而此时,因此,点在函数上,因为点与点是关于直线对称的,故两个函数图象关于直线对称,故该选项正确;选项B,函数与函数在定义域内都是单调递减的,由它们的函数图像可知,两个函数图象只有一个公共点,故该选项正确;选项C,,则有,,所以函数不是减函数,故选项错误;选项D,,有两个根,设,则有,所以,化简得,即,故该选项正确;故选:ABD.三、填空题(共4小题,每题4分,满分16分)13. 已知幂函数的图象过点,则当时,___________.【答案】3【解析】【分析】代入点的坐标,确定幂函数即可.【详解】由题可知,则,故当时,.故答案为:.14. 用二分法研究函数的零点时,第一次经计算可知,说明该函数在区间(8,12)存在零点,那么经过下一次计算可知___________(填区间).【答案】【解析】【分析】分别计算出的值,并判断正负,再计算中点处的函数值,即可得答案.【详解】,而,则,故答案为:.15. 已知函数是周期为4的奇函数,,则___________.【答案】【解析】【分析】由对数运算计算取值区间,再根据函数的周期性和奇函数,可以求出.【详解】因为,所以,由题意知,故答案为:16. 已知函数,且关于x的方程在区间[0,]上有唯—解,则t的取值范围是___________.【答案】或【解析】【分析】根据正弦函数的性质求出函数的值域,画出函数图象,依题意与有一个交点,结合函数图象即可求解.【详解】因为,所以,所以,且当,.所以其函数图象如下所示:所以与只有一个交点,即关于x的方程在区间[0,]上有唯—解,结合函数图象可知或.故答案为:或.四、解答题(共4个小题,满分36分)17. 已知函数.(1)求函数单调递增区间;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1),(2),【解析】【分析】(1)利用余弦函数的增减性列不等式可得答案;(2)先讨论函数的增减区间,再结合所给角的范围,可得最值.【小问1详解】令,,可得,故的单调递增区间为,.【小问2详解】 由(1)知当时,在单调递增,可得在单调递减,而,从而在单调递减,在单调递增,故,.18. 若,均为锐角,且.(1)求的值;(2)若,求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的关系计算出,再利用二倍角公式即可求解;(2)利用题意得到,可得到,接着利用即可求解【小问1详解】∵为锐角,且,∴,∴,∴;【小问2详解】∵,均为锐角,∴,∴,∴19. 某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x(单位:克)的函数,且性能指标值越大,该产品的性能越好.当时,y和x的关系为以下三种函数模型中的一个:①;②(且);③(且);其中k,a,b,c均为常数.当时,,其中m为常数.研究过程中部分数据如下表:x(单位:克)02610……y88…… (1)指出模型①②③中最能反映y和x()关系的一个,并说明理由;(2)求出y与x的函数关系式;(3)求该新合金材料的含量x为多少时,产品的性能达到最佳.【答案】(1)模型①;(2);(3)当克时产品的性能达到最佳.【解析】【分析】(1)根据题中数据结合条件即得;(2)结合待定系数法,代入数据运算即得;(3)按,分类,结合指数函数、二次函数的性质分别求最值,进而即得.【小问1详解】模型①最能反映y和x()的关系,由题可知时,,显然模型③不合题意,若为模型②,则,不合题意,故模型①最能反映y和x()的关系;【小问2详解】当时,,由可得,由得,由得,解得,所以;当时,y=,由,可得,解得,即有y=. 综上,可得;【小问3详解】当时,,即有时,性能指标值取得最大值12;当时,单调递减,所以当x=7时,性能指标值取得最大值3;综上可得,当x=4克时产品的性能达到最佳.20. 已知图像关于轴对称.(1)求的值;(2)若方程有且只有一个实根,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)或.【解析】【分析】(1)根据为偶函数,将等式化简整理即可得到的值;(2)首先将方程化简为:,进而可得,令,则关于的方程只有一个正实数根,先考虑的情形是否符合,然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解,并保证即可,最后根据各种情况讨论的结果写出的取值范围的并集即可.【详解】(1)因为为偶函数,所以即,∴∴,∴ (2)依题意知: ∴由得令,则①变为,只需关于的方程只有一个正根即可满足题意(1),不合题意(2)①式有一正一负根,则经验证满足,(3)若①式有两相等正根,则,此时若,则,此时方程无正根故舍去若,则,且因此符合要求综上得:或.【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据对数的运算性质得到有一个根,通过换元得到的方程只有一个正实数根,进而可根据分类讨论思想,结合二次方程根分布的知识求解即可.
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