2022-2023学年广东省广州市增城中学高一上学期期末数学试题（解析版）

增城中学高中部2022-2023上学期期末检测卷

高一数学

考试时间：2022年1月     试卷满分：150分

一、单选题（本大题共8小题，共40．0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求得集合，根据集合的交集运算即可.

【详解】解：，又，所以.

故选：A.

2. 已知，则下列结论不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质可得答案.

【详解】因为，且在内单调递增，所以，故A正确；

因为，所以，故B正确；

因为，所以当时，；当时，，故C不正确；

因为，且在内单调递增，所以，故D正确.

故选：C

3. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据同角三角函数的关系即可求解.

【详解】由于 ，所以因此，

故选：A

4. “”是“”的（    ）

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】先解一元二次不等式，再结合充分条件，必要条件定义即可求解.

【详解】因为，解得,

又因为和无包含关系，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D．

5. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】逐个判断各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出答案.

【详解】对于A选项，函数为周期函数，在上不是减函数，

故A错误；

对于B选项，函数是偶函数，故B错误；

对于C选项，函数是奇函数，且在上单调递减，故C正确；

对于D选项，函数是奇函数，且在上单调递增，故D错误，

故选：C

6. 函数的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案.

【详解】函数的定义域为，关于原点对称

，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项；

又，故排除D选项；

，当时，，即在上单调递增，故排除C选项.

故选：B.

7. 若函数在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依据题给条件列出关于实数a的不等式组，解之即可求得实数a的取值范围.

【详解】由函数，在R上为严格增函数，

可得，解之得

则实数a的取值范围为

故选：C

8. 设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得.

【详解】因为有三个不同的实数根，等价于与有3个不同的交点，

画出与的图象，

所以，

即实数的取值范围是.

故选：B.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列选项中，与的值相等的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】求得的值，利用诱导公式，两角和差公式及二倍角公式对选项逐一化简求值，即可得出答案.

【详解】，

A选项，，符合题意；

B选项，，不符合题意；

C选项，，符合题意；

D选项，，不符合题意

故选：AC.

10. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A. 的最小正周期为

B. 图象的一个对称中心为

C. 的单调递减区间为

D. 的图象与函数的图象重合

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据三角函数平移变换可得，由周期公式求出周期即可判断A；利用代入检验法即可判断B；根据余弦型函数单调区间的求法即可判断C；利用诱导公式化简，即可判断D．

【详解】，

由题意知：；

对于A，的最小正周期，故A正确；

对于B，当时，，此时，则是图象的一个对称中心，故B正确；

对于C，令，解得：，的单调递减区间为，故C正确；

对于D，，则的图象与的图象不重合，故D错误.

故选：ABC.

11. 已知正数x，y满足，则下列选项正确的是（    ）

A. 最小值是2 B. 最小值为

C. 的最小值是4 D. 的最大值是

【答案】AD

【解析】

【分析】求得的最小值判断选项A；求得的范围判断选项B；求得的最小值判断选项C；求得的最大值判断选项D.

【详解】选项A：由正数x，y满足，

可得

（当且仅当时等号成立）

则的最小值是2，判断正确；

选项B：由正数x，y满足，可得

则

当且仅当时等号成立，这与x为正数矛盾，

则最小值不为.判断错误；

选项C：由正数x，y满足，可得

（当且仅当时等号成立）

则

则的最小值是2.判断错误；

选项D：由正数x，y满足，可得，

则，

（当且仅当时等号成立）

则的最大值是.判断正确.

故选：AD

12. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】已知两条性质反映的函数性质，①为奇函数，②为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可．

【详解】依题意，性质①反映函数为定义域上的奇函数，性质②反映函数为定义域上的单调减函数，

对于A，，，所以为定义域上的奇函数，由于为定义域上的递增函数，故是定义域上的单调减函数，故A满足，

对于B,为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为，，故B不满足；

对于C，，定义域为，由于在上为增函数，故函数为上的增函数，故C错误，

对于D，的定义域为，，，所以，所以 是奇函数，由于，由于为 上的单调递增函数，所以在 上的单调递减函数，因此在单调递减，根据奇函数的性质可知在单调递减，且，因此为定义域内的单调递减函数，故D正确，

故选：AD

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 命题“”的否定为___________．

【答案】

【解析】

【分析】利用全称命题的否定规则即可得到命题“”的否定.

【详解】命题“”的否定为

故答案为：

14. 若一个扇形的圆心角是，面积为，则这个扇形的半径为___________．

【答案】

【解析】

【分析】直接根据扇形的面积公式即可得结果.

【详解】因为一个扇形圆心角是，即圆心角，面积为，

所以，解得半径，

故答案为：.

15. 函数的单调递增区间为___________．

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性的性质，求得答案.

【详解】由，解得或，

则的定义域为.

令，其中或，

当时，单调递减；当时，单调递增，

又在单调递增，

所以的单调递增区间为，

故答案为：.

16. 已知关于x的方程的两根为和，则m的值为___________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据韦达定理得到，，然后根据求即可.

【详解】根据题意可得①，，

①式平方可得，

所以，经检验满足题意，

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；

（2）根据对数的运算性质可求出结果.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.

18. 已知命题，．

（1）当时，是的什么条件？

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．

【答案】（1）必要不充分条件   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式可分别求得命题中不等式的解集，由包含关系可确定结果；

（2）根据必要不充分条件定义可得，分别在和的情况下，根据包含关系确定参数的范围.

【小问1详解】

设的解集为，的解集为；

由得：，即；

当时，，解得：，即；

，，，即是的必要不充分条件.

【小问2详解】

由得：；

由（1）知：；若是的必要不充分条件，则；

当时，，此时，不合题意；

当时，，若A，则；

综上所述：实数的取值范围为.

19. 已知函数的最大值为1，且图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求：

（1）和a值；

（2）当时，求函数的值域．

【答案】（1），   

（2）函数的值域

【解析】

【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出和的值；

（2）根据以及函数的解析式即可求出值域.

小问1详解】

由得

所以，函数的最大值为，得；

即函数；

又因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，

所以，，即.

【小问2详解】

对于函数，且，

则，得,

所以，及,

函数的值域为.

20. 2022年，某厂计划生产25吨至60吨的某种产品，已知生产该产品的总成本（万元）与总产量（吨）之间的关系可表示为.

（1）当总产量为10吨时，总成本为多少万元?

（2）若该产品的出厂价为每吨8万元，求该厂2022获得利润的最大值.

（3）求该产品每吨的最低生产成本；

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）代入数据计算即可.

（2）设利润为，计算最值得到答案.

（3），利用均值不等式计算得到答案.

【小问1详解】

当时，

【小问2详解】

设利润为

当时，有最大利润为万元.

【小问3详解】

该产品每吨的生产成本为，

当，即时等号成立，

故当时，每吨的最低生产成本为万元.

21. 已知．

（1）当且时，求函数的取值范围；

（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）令，，可得，利用二次函数的性质可得的取值范围；

（2）令，，则问题等价于对任意的，恒成立，分离参变量得，设，结合函数的单调性即可得到答案．

【小问1详解】

当时，

令，由，得，

，

当时，；当时，．

所以函数的取值范围．

【小问2详解】

令，由，得，

对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，

则对任意的，恒成立，

设，，

设且，

则，

因为，则，

则函数在上单调递减，故，

所以．

22. 已知函数的图象经过点.

（1）若的最小正周期为，求的解析式；

（2）若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；

（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.

【小问1详解】

因为的最小正周期为，所以.

因为，所以.

因为的图象经过点，所以，，

即，.因为，所以.

故.

【小问2详解】

因为，，所以直线为图象的对称轴，

又的图象经过点.

所以①，②，.

②-①得，所以

因为，，所以，即为正奇数.

因为在上单调，所以，即，解得.

当时，，.

因为，所以，此时.

令，.

在上单调递增，在上单调递减，

故在上不单调，不符合题意；

当时，，.

因为，所以，此时.

令，.

在上单调递减，

故在上单调，符合题意；

当时，，.

因为，所以，此时.

令，.

在上单调递减，

故在上单调，符合题意，

综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为