辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

大连市2021~2022学年度第一学期期末考试

高一数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的定义直接求解

【详解】因为，，

所以，

故选：A

2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（    ）

A. 86 B. 87 C. 88 D. 89

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的定义直接得出.

【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.

故选：C.

3. 已知函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间内有零点”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解.

【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立；

反之，若函数在上满足，但其有零点，故必要性不成立；

所以“”是“函数在区间内有零点”的充分不必要条件

故选：A

4. 在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解.

【详解】如图所示：

.

故选：A.

5. 我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数､羊价各是多少.”由此可推算，羊价为（    ）

A. 24钱 B. 165钱 C. 21钱 D. 150钱

【答案】D

【解析】

【分析】设合伙人的人数为n，由题意列方程即可解得.

【详解】设合伙人的人数为n，由题意列方程得：，解得：n=21，

羊价为：.

故选：D

6. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式直接计算.

【详解】由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，

事件即为向上一面的点数为2或4或6，

事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，

事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，

所以，

故选：D.

7. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（    ）（参考数据）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】由指数、对数的运算性质求解即可

【详解】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，

则，即，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以的最小值为14，则至少要过滤14次．

故选：C.

8. 已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.

【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因，所以，因为，可得.

故选：B

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若，则下列不等式中恒成立的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式进行逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以恒成立，

B：当时，显然成立，但不成立，

C：因为，所以

（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；

D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项符合题意，

故选：ACD

10. 下列说法不正确的是（    ）

A. 若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件

B. 若A，B为两个事件，则

C. 若事件A，B，C两两互斥，则

D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立

【答案】BCD

【解析】

【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；

B. ,所以该选项错误；

C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；

D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.

【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；

B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；

C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；

D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.

故选：BCD

11. 如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ）

A. (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B. 对于平面α内任一向量，使的实数对(λ，μ)有无穷多个

C. 若向量与共线，则有且只有一个实数λ，使得

D. 若实数λ，μ使得，则λ=μ=0

【答案】BC

【解析】

【分析】

结合平面向量基本定理可选出正确答案.

【详解】由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，

若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，

或当为非零向量，而为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.

故选:BC.

12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，，则下列说法中正确的是（    ）

A. 是偶函数 B. 在R上是增函数 C. 是偶函数 D. 的值域是

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：利用函数奇偶性定义直接判断；

对于B：利用单调性的四则运算即可判断；

对于C：取特殊值，即可判断；

对于D：直接求出的值域即可判断.

【详解】对于A：因为函数，所以函数，

所以，所以是奇函数.故A错误；

对于B：因，而为增函数，为减函数，为增函数，所以为增函数.故B正确；

对于C：因为，而.

所以，所以不是偶函数.故C错误；

对于D：因为，所以，所以的值域为.

故D正确.

故选：BD

【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；

（2）判断函数的单调性的方法：①定义法；②图像法；③四则运算法；④导数法.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应的位置上.

13. 某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么=____．

【答案】45

【解析】

【详解】利用分层抽样的特点，得，解得.

14. 已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图象所过的点代入列式求解.

【详解】函数（且）的图像过点，反函数的图像过点，可得原函数的图像过，所以，所以的值为.

故答案为：

15. 如图，在正方形中，为边上的动点，设向量,则的最大值为__________．

【答案】3

【解析】

【详解】以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，

则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈[0，2]

∴=（2，2），=（2，﹣2），=（x，2），

∴，

∴

∴λ+μ= ，

令f（x）=，（0≤x≤2）

∵f（x）在[0，2]上单调递减，

∴f（x）max=f（0）=3．

故答案为3

16. 已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得，

将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，

因为方程有四个根，，，且，则

由图象可知，，，

又，可得，则

则，

由对勾函数的性质知在上单调递增，

，即

即的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知不等式的解集为，当时，关于的不等式的解集为.

（1）求、；

（2）当时，求证：是的充分条件.

【答案】（1），.   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用绝对值不等式的解法可求得集合，利用二次不等式的解法可求得集合；

（2）分析可知当时，，即可证得结论成立.

【小问1详解】

解：由得，解得，即，

当时，，

由得，解得，即.

【小问2详解】

解：当时，，，则，此时，是的充分条件.

18. （1）已知，，三点共线，求的值；

（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由三点共线可得，写出与，然后列方程组求解；（2）先计算出，设线段的两个三等分点为，计算出向量和，即可得的坐标.

【详解】（1）因为，，三点共线，所以可得，又，，所以，所以的值为.

（2）由（1）得，，设线段的两个三等分点为，则，，所以，所以线段的两个三等分点的坐标为.

19. 从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示.

（1）求频率分布直方图中x的值；

（2）估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；

（3）估计该校学生身高的75%分位数.

【答案】（1）0.06   

（2）172.25    （3）176.25

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x；

（2）直接利用平均数公式求出平均数；

（3）可设该校100名生学身高的75%分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得

【小问1详解】

由频率分布直方图可知5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02+0.01)=1,解得x=0.06,

【小问2详解】

根据频率分布直方图，由平均数公式可得：

【小问3详解】

的人数占比为5×0.02=10%.

的人数占比为5×00.4=20%.

所以该校100名生学身高的75%分位数落在.

设该校100名生学身高的75%分位数为x，则,解得x=176.25.

故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.

20. 已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.

（1）求证：函数在上单调递增；

（2）解不等式

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）求函数的定点坐标，从而得函数解析式，然后利用函数单调性的定义证明，任取，作差并化简，并判断的正负，从而根据定义说明单调性；

（2）先证明得函数为奇函数，将不等式变形为，然后根据函数的单调性即可得解.

【小问1详解】

因为的图像过定点，所以，所以定点坐标为，则，所以函数解析式为.任取，则

，

因为，所以，，，

所以，即，

所以函数在上单调递增.

【小问2详解】

因为函数的定义域为，且，

所以函数为奇函数，所以变形为

，

当时，，所以不等式转化为，

解集为，不符合题意；

当时，，在上单调递减，在上单调递增，

所以不等式转化为，解得，

所以不等式的解集为.

【点睛】利用函数单调性的定义的证明题，一般需要先在区间上取值，然后作差，并且因式分解，从而判断的正负号，即可判断出函数的单调性.

21. 甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

（1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；

（2）求甲最终获胜的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，根据题意列出的所有可能，再根据独立事件公式即可求出结果.

（2）设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，再根据独立事件公式即可求出结果.

【小问1详解】

解：设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,比赛四场结束且丙获胜的事件为，

则；

【小问2详解】

解：设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，

则

.

22. 已知函数（且）．

（1）当时，解不等式；

（2），，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）不存在满足题意的实数，，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）把代入，然后结合对数函数的单调性即可求解不等式；

（2）由已知不等式恒成立转化为最值成立，结合复合函数的单调性即可求解；

（3）结合对数函数单调性代入后，结合已知等式特点构造函数，结合二次函数性质可求．

【详解】（1）时，，

所以，解得

即函数定义域为，因为，即，所以，

即，解得或，又，所以不等式的解集为．

（2），，即成立，又

函数在上为增函数，

①若，则，所以，即，

则，解得或．又，所以．

②若，则，所以，即，

则，解得，又，所以．

综上的取值范围为．

（3）假设存在，满足题意，由（2）知，所以在上是减函数，则，

所以，即，是方程的大于的两个不等实根，

设，其对称轴为，由题意得

所以或，又，所以．

综上，不存在满足题意的实数，．