2022-2023学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，由交集的定义即可得出答案.

【详解】，，

则.

故选：A.

2．幂函数在上为减函数，则实数的值为（    ）

A．或 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.

【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或，

当时，，在上递减，符合题意.

当时，，在上递增，不符合题意.

综上所述，的值为.

故选：D

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】将特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是

“，”，

故选：A.

4．函数的增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.

【详解】由得，

解得，

的开口向下，对称轴为，

函数在上递减，

根据复合函数单调性同增异减可知，的增区间为.

故选：D

5．下列函数中图像关于轴对称的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出函数图像即可

【详解】对A选项：如图所示，A错误

对B选项：如图B错误

对C选项： 如图C错误

对D选项：如图D正确

故选：D.

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.

【详解】易知为增函数，又，

，故零点所在的区间是.

故选：B.

7．函数（且）的图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用排除法，取特殊点的函数值及当时，的图象的变化进行分析

【详解】因为，由图得，

所以，所以排除AB，

因为由图象可知当时，，

所以，所以排除C，

故选：D

8．当时，，，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质判断出大小关系.

【详解】依题意，所以，

，所以，

，

，，

所以.

故选：C

二、多选题

9．新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方法.某学校要求学生在开学的第一周连续七天内进行体温自测，已知小张在本周内每天自测一次腋下体温（单位：），依次为36.2，36.1，36：6，36.2，36.3，36：3，36.2，则该组数据的（    ）

A．极差为 B．众数为36.3

C．中位数为 D．第80百分位数为

【答案】ACD

【分析】根据题意结合统计中的相关概念逐项分析判断.

【详解】体温从低到高依次为36.1，36.2，36.2，36.2，36.3，36.3，36.6，

选项A：极差为，故正确；

选项B：众数为，故不正确；

选项C：中位数为，故正确；

选项D：因为，所以体温的第80百分位数为从小到大排列的第6个数，是，故正确.

故选：ACD.

10．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（    ）

A．应该采用分层抽样法抽取

B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人

C．乙被抽到的可能性比甲大

D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力

【答案】ABD

【分析】由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法，并且按照各年级的比例抽取样本个数，综合分析，即得解.

【详解】易知应采用分层抽样法抽取，A正确；

由题意可得高一年级的人数为，高二年级的人数为，则高一年级应抽取的人数为，高二年级应抽取的人数为，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；

乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误；

该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确．

故选：ABD.

11．已知函数，，则（    ）

A．函数为偶函数

B．函数为奇函数

C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0

D．设，则的解集为

【答案】BCD

【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案

【详解】对于A：，定义域为，，

则为奇函数，故A错误；

对于B：，定义域为，

，

则为奇函数，故B正确；

对于C：，，都为奇函数，

则为奇函数，

在区间上的最大值与最小值互为相反数，

必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；

对于D：，则在上为减函数，

，则在上为减函数，

则在上为减函数，

若即，

则必有，解得，

即的解集为，故D正确；

故选：BCD

12．若不等式在区间上恒成立，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先由与的性质得到，再由函数单调性的加减性质得到的单调性，从而求得，由此得到的取值范围，从而得解.

【详解】因为在区间上恒成立，而，

所以在上恒成立，故，即，则在上单调递减，

令，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，则，即，解得，

所以，

由此易得AD错误，BC正确.

故选：BC.

三、填空题

13．函数在区间上的平均变化率为_________.

【答案】

【解析】根据平均变化率的公式进行求解即可.

【详解】函数在区间上的平均变化率为：.

故答案为：

14．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．

【答案】

【分析】函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.

【详解】与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，

则的图像经过点，所以，

 即，解得.

故答案为：.

【点睛】函数与其反函数的图象关于直线对称.

15．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表甲第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为__________．

【答案】05

【分析】根据随机数表法，依次进行选择即可得到答案.

【详解】解：由题意，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字中小于34的编号为：21，32，05，16，

故第3个个体的编号为05．

故答案为：05.

16．已知函数，若，则x的范围是_______．

【答案】

【分析】分类讨论，化简，结合范围解不等式即可得答案.

【详解】①当时，=.因时，，

则.

②当时，=.

⑴当时，.则.

⑵当时，.则

综上所述，.

故答案为：

四、解答题

17．计算下列各式

（1）

（2）

【答案】（1）（2）10

【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质及对数运算性质化简得答案；

（2）直接由对数的运算法则及性质计算得答案．

【详解】（1）==2+1+=.

（2）=lg5(lg2+lg5)= lg5+=lg100+8=10.

【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．农业技术人员发现指标及可以显示出棉花纤维的质量水平.已知某棉花种植基地今年产量为2000吨，技术人员随机抽取了1吨棉花，得到指标与棉花质量的如下分布表：

(1)求a的值，并补全频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图，估计样本指标的众数及中位数；

(3)根据指标可将棉花分为A､B､C三个等级，不同等级的棉花价格如下表所示：

用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值.

【答案】(1)，频率分布直方图答案见解析；

(2)众数为，中位数为3.875；

(3)（万元）.

【分析】（1）由频率分布直方图和统计表可计算求得，由此可补全频率分布直方图；

（2）由频率分布直方图估计众数和中位数的方法直接求解即可；

（3）计算求得1吨样本的产值，进而可得今年的总产值.

【详解】（1）由分布表知，，解得.

在频率分布直方图中对应的为，补全频率分布直方图如下：

（2）由频率分布直方图知，指标落在区间上的频率最大，

故众数为.

因为，且，

所以中位数在区间上，

设中位数为x，则，

解得，即中位数为3.875.

（3）由题可得1吨样本的产值为（万元），

估算棉花种植基地今年的总产值为：（万元）.

19．已知定义在上的奇函数．在时，．

(1)试求的表达式；

(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；

（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；

【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，，

因为在时，，

设，则，

则，

故 .

（2）解：由题意，可化为

化简可得，

令，，

因为在定义域上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，

，

故．

20．已知函数．

(1)若函数，且为偶函数，求实数的值；

(2)若，，且的值域为，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意得解析式，根据偶函数的定义，代入求解，即可得答案.

（2）当时，可得解析式，根据值域为R，分别求和两种情况，结合一次、二次函数的性质，即可得答案.

【详解】（1）由题可知．

∵是偶函数，∴，

∴，

即，，

∴对一切恒成立，

∴，即．

（2）当时，，

当时，，其值域为，满足题意；

当时，要使的值域为，则，

所以，解得．

综上所述，的取值范围为．

21．随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；

(2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差；

(3)在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．

（参考数据：，，）

【答案】(1)该地区所有用户评分的，分位数分别约为，

(2)，

(3)

【分析】（1）这个用户评分按从小到大排列，该地区所有用户评分的第，百分位数分别为第项和第项数据的平均数，第项和第项数据的平均数, 即可求解.（2）根据已知条件, 直接利用平均数和方差公式, 即可求解.（3）评分在即内满意度等级为 “ A 级”, 样本中评分在 内的有人, 求出符合评分的人数占比, 即可求解.

【详解】（1）这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，95，97，

得到，，可知这40个用户评分的，分位数分别为第10项和第11项数据的平均数，第38项和第39项数据的平均数，分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为，．

（2），

．

（3）由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”，样本中评分在内的有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．

22．对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就．

(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；

(2)因为，所以的位数为（一个自然数数位的个数，叫作位数），试判断的位数；（注：）

(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为，甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是．现有一种定义：若实数、满足，则称比接近，试判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．（注：，）

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)甲同学的近似值更接近，理由见解析

【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立；

（2）利用对数运算性质计算出的近似值，即可得出的位数；

（3）由题意可得出，比较与的大小关系，即可得出结论.

【详解】（1）解：若，且，，，则，

化为对数式得．

（2）解：令，所以，

因为，所以，

所以，所以的位数为．

（3）解：根据题意，得，

所以，

所以，

因为，

所以，所以，

所以，所以甲同学的近似值更接近．