2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省渤海大学附属高级中学高一上学期

期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先解指数不等式即可求出集合A，即可判断；

【详解】解：因为，即，所以，

所以，，∴，；

故选：D

2．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据使式子有意义得到不等式组，解得即可；

【详解】解：由题意知，∴或，所以函数的定义域为.

故选：B

3．下列运算正确的个数是（       ）

①；②；

③．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.

【详解】①，由数乘运算知正确；

②，由向量的运算律知正确；

③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.

故选：C

4．函数，若，则实数a的值为（       ）

A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.

【详解】当时，令 ，与矛盾，不合题意；

当时，令 ，取 ，符合题意，

故选：C

5．已知幂函数在上是减函数，则的值为（       ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.

【详解】由函数为幂函数知，

，解得或.

∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，

当时，，符合题意，

∴，，

∴.

故选：C.

6．化简下列各式：

①；②；③；④.

其中结果为的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】分别利用向量的加法法则,减法法则,运算律求解即可

【详解】①；

②；

③；

④；

以上各式化简后结果均为,

故选:D

【点睛】本题考查向量的加法,考查向量的减法

7．若函数在上有最大值，则实数a的值为（       ）

A．1 B． C．1或 D．1或

【答案】A

【分析】由题可得，，即求.

【详解】∵函数在上有最大值，

∴，，

∴，解得或（舍去）.

故选：A.

8．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出的图象，根据方程有个相异的实根列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】画出函数的图象如图所示，

由题意知，当时，；当时，.

令，则原方程化为.

∵方程有8个相异实根，

∴关于t的方程在上有两个不等实根.

令，，

∴，解得.

故选：B

二、多选题

9．一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的（       ）

A．众数为8 B．极差为6 C．中位数为8 D．方差为

【答案】BD

【分析】利用平均数公式可求，然后逐项分析即得.

【详解】由题可得，

∴，

∴此组数据众数为7，极差为，中位数为7，

方差为.

故选：BD.

10．已知、为两个单位向量，下列四个命题中错误的是（       ）

A．与相等 B．如果与平行，那么与相等

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据单位向量、相等向量及平行向量的概念逐项分析即得.

【详解】∵、为两个单位向量，

∴，但方向不确定，故A错误，D正确；

如果与平行，则方向相同或相反，故B错误；

根据向量的运算法则可得不成立，故C错误.

故选：ABC.

11．设，，且，那么（       ）

A．有最小值 B．有最大值

C．ab有最大值 D．ab有最小值

【答案】AD

【解析】利用基本不等式和，将条件等式转化为不等式，根据不等式的结果判断选项.

【详解】，，，当时取等号

，

解得，

ab有最小值；

，当时取等号，

，

，

，解得，

即，有最小值.

故选：AD

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．已知函数，,都有成立，且任取，，以下结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．若则

【答案】AB

【分析】由函数，,都有成立，且任取，，则函数的图像关于直线对称，在为增函数，在为减函数，再逐一判断各选项即可得解.

【详解】解：由函数满足，则函数的图像关于直线对称，又，，则函数在为减函数，

对于选项A，因为，所以，即A正确；

对于选项B，由已知有在为增函数，在为减函数，即，即B正确；

对于选项C，，又在为减函数，所以，即C错误；

对于选项D，当则，则或，即D错误，

即结论正确的是AB，

故选AB.

【点睛】本题考查了函数的对称性及增减性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.

三、填空题

13．命题“，”的否定是______.

【答案】，

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.

【详解】解：根据全称命题的否定为特称命题，可得命题“，”的否定是，.

故答案为：，.

14．已知函数，且，则________．

【答案】11

【分析】由题，即，根据正弦函数的奇偶性代值求解.

【详解】由题知，所以，

从而.

故答案为：11

15．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在2200名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测这2200名学生在该次数学考试中成绩不小于80分的学生有______人.

【答案】616

【分析】计算成绩不低于80的两个小矩形的面积之和，即成绩不低于80的学生的频率，再乘以2200即可．

【详解】.

故答案为：616.

16．设函数f（x）＝，x∈（﹣1，3），定义在R上的偶函数g（x）满足g（1+x）＝g（1﹣x），当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x+1，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为__．

【答案】4

【分析】根据题意，由f（x）的解析式可得f（x）的图象关于直线x＝1对称，进而分析g（x）的图象的对称性，作出f（x）与g（x）的大致图象，据此分析可得答案．

【详解】解：根据题意，函数f（x）＝，其图象关于直线x＝1对称，

函数g（x）为偶函数，且满足g（1+x）＝g（1﹣x），则g（x）的图象也关于直线x＝1对称，

当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x+1，

则函数f（x）与g（x）的大致图象如图，

在区间（﹣1，3）上，两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝1对称，

则两个图象所有交点的横坐标之和为4，

故答案为：4．

四、解答题

17．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．

【答案】

【分析】分别求出中的范围，由是的充分不必要条件列不等式组求解．

【详解】解：：，

：，

∵是的充分不必要条件，

∴，

∴

即

【点睛】本题主要考查了充分不必要条件概念，考查计算能力，属于基础题．

18．已知二次函数的最大值为2，且.

(1)求的解析式；

(2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由题可设二次函数的顶点式方程，根据即可求出所设解析式的参数；

(2)求出二次函数的对称轴，根据题意可得不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围.

【详解】(1)∵二次函数的最大值为2，且，

∴对称轴方程为，

设，

∵，

∴，

∴.

(2)要使在区间上不单调，

则，解得，

故实数m的取值范围为.

19．如图，设矩形的周长为8，将△沿AC向△折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值.

【答案】时，最大值为.

【分析】根据题意，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果.

【详解】由题意，矩形的周长为8，且，

∴，则，∴，

又由，

在中，，

解得，

∴

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴面积的最大值为，此时.

20．设函数．

(1)证明：在区间上单调递增；

(2)若，使得，求实数m的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据单调性的定义可以利用定义证明单调性即可；（2）对不等式等价变形为，求的最大值即可，结合（1），利用换元法即可求解.

【详解】(1)证明：设任取，且，则，

，

，

，

，

在区间上单调递增

(2)设，若，使得等价于，

即，

设，则，

由（1）可知，在上单调递增，

当，即时，y取得最大值为，

，

实数m的取值范围为．

21．近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年5月份的某一天，某市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价（单位：元/公斤）x的频数分布表如下：

(1)请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元/公斤的超市比例；

(2)用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间和（单位：元/公斤）的超市中抽取5家超市，再从这5家超市中任选2家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的2家超市的均价都在区间内的概率？

【答案】(1)6％，33％

(2)

【分析】（1）根据频数分布表，结合频率公式得出均价不低于54元/公斤和均价小于50元/公斤的频率，进而估计该市的情况；

（2）由分层抽样的性质结合列举法得出所求概率.

【详解】(1)根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表，得所调查的100家超市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市频率为；零售均价小于50元/公斤的超市频率为；

用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例为6％，零售均价小于50元/公斤的超市比例为33％.

(2)由题知，抽取的5家超市中，有三家均价在区间，即为a，b，c，有两家均价在区间，即为A，B，则从中任取两家，共有ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB共有10种，其中均价都在区间内有ab，ac，bc共3种，故所求的概率为.

22．已知函数，.

(1)若函数只有一个零点，求实数a的值；

(2)若，对任意实数，函数在上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）由题可知有一解，通过分类讨论结合二次函数的性质即得；

（2）由题可得，可得函数在上单调递减，进而可得对任意恒成立，再利用二次函数的性质即得.

【详解】(1)由，得，整理得.

当时，可得，满足函数只有一个零点；

当时，函数的对称轴，，

则，解得，满足函数只有一个零点；

当时，函数的对称轴，，

则函数在上只有一个零点，

综上所述，a的值为或.

(2)由题知函数.

任取，则.

∵，，∴，

∴，

∴，即，

∴函数在上单调递减，

∴函数在区间上的最大值与最小值分别为，.

∴，

整理得对任意恒成立，

令，

∵，∴函数在区间上单调递增，

∴，即，解得，

故实数a的取值范围为.