2022-2023学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，下列式子错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合A，即可依次判断.

对A：利用元素与集合关系判断；

对B：“”表示元素与集合之间的关系；

对C：是任何集合的子集；

对D：判断与是否为包含关系.

【详解】，

.

与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故B错误.

故选：B

2．设全集，若集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算绝对值不等式求出集合，进而求出交集.

【详解】，解得：或，

所以集合或，

所以.

故选：C.

3．已知集合 ，，则（    ）

A．-1 B．-3或-1 C．3 D．-3

【答案】D

【分析】根据集合的定义即可求解.

【详解】由题意，   或   ，

由①得， ，或 ，由②  ；

当 时， ，不符合集合描述规则，舍去，

；

故选：D.

4．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A;若，时，则，故A错；

对于B;若取，则无意义，故B错；

对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；

对于D;若取，但,故D错；

故选：C

5．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.

【详解】由题意可得：

∴

故选：B.

6．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据函数定义域与函数解析式是否相同，可得答案.

【详解】对于A，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故A错误；

对于B，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故B错误；

对于C，由函数的定义域为，且的定义域为，则是同一函数，故C正确；

对于D，由函数的定义域为，且函数的定义域为，则不是同一函数，故D错误.

故选：C.

7．已知函数的定义域为，则函数的定义域（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，对于函数，

则有，解得或.

因此，函数的定义域为.

故选：A.

8．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】先得出为真命题，再分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】由题意得：为真命题，

当时，，满足要求，

当时，要满足，

解得：，

综上：实数的取值范围是

故选：C

二、多选题

9．下列各图中，可能是函数图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用函数的概念选出正确答案.

【详解】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．

故选：ACD．

10．若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】解出不等式，然后根据条件p成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果.

【详解】，解得或

又

则p成立的一个充分不必要条件是和

故选:CD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．命题，的否定为，

B．“且”是“”的充要条件

C．的最小值是2

D．已知，则的最大值为

【答案】AD

【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；根据基本不等式取等号的条件可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，命题，的否定为“，”，A对；

对于B选项，令，由可得，所以，，即，

而或，

故“且”是“”的充分不必要条件，B错；

对于C选项，，取等号的条件是，即，而此式不成立，所以取不到最小值2，故C错；

对于D选项，当时，，

则

，当且仅当时，等号成立，

故当时，的最大值为，D对.

故选：AD.

12．已知，且，，，则取值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】分别将各选项代入集合，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案.

【详解】选项A：当时，，，故，A错误；

选项B：当时，，，故，B正确；

选项C：当时，，，故，C正确；

选项D：当时，，，故，D正确.

故答案为：BCD.

三、填空题

13．已知函数，求函数的解析式为______．

【答案】

【分析】换元法求函数的解析式.

【详解】因为，

所以，

故答案为: .

14．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，，，则的值为______.

【答案】

【解析】先根据函数的图象可判断出的值，再根据表格中函数的取值得出.

【详解】由函数的图象可知，所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的表示方法，考查列表法与图像法的运用，属于基础题.

15．已知集合，，若，则实数a的值为___________.

【答案】或

【分析】讨论与时两种情况求解即可.

【详解】，

当时，为，满足；

当时，，若则，即，解得.

综上所述，或

故答案为：或

16．已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是___________．

【答案】

【分析】根据题意，分别求出，，时的，作出图象，直接可得到的值域.

【详解】当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上;

图象如图所示:

函数的值域是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知全集，集合．

(1)求；

(2)如图阴影部分所表示的集合可以是      （把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合；．

①  ②  ③  ④

【答案】(1)

(2)③;

【分析】（1）根据集合的并集运算求解；

（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为，再根据集合的交集与补集求解即可.

【详解】（1）因为，

所以

（2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为③：，

或，所以.

18．求解下列各题：

(1)求的最小值；

(2)已知且，求的最小值.

【答案】(1)；

(2)16.

【分析】（1）根据分式的运算性质，结合基本不等式进行求解即可；

（2）利用基本不等式进行求解即可.

【详解】（1）

当且仅当 即 时取等号， 此时取得最小值；

（2），

，

当且仅当，又，即时，上式取等号.

故当时，.

19．已知集合，，且，若，.

(1)求集合A、B；

(2)求p，q，r.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据集合交集的性质和并集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合（1）的结论进行求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以有且，或，

当且且时，此时，因为，所以；

当且且时，因为，所以，

因为，所以不存在，

综上所述：

（2）由（1）可知：，

所以有，，，

即.

20．已知函数的解析式．

(1)若，求的值；

(2)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）．

【答案】(1)或3

(2)

【分析】(1)根据分段函数的解析式分类讨论求解；

(2)根据图象求解值域.

【详解】（1）若解得，

若解得（舍），

若解得，

综上的值或3.

（2）作图如下，

由图可得，当时，函数有最大值为6，

所以值域为.

21．某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低成成，售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价．

（1）设该商店一天的营业额为，试求与之间的函数关系式，并写出定义域；

（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求的取值范围．

【答案】（1），定义域为；（2）.

【分析】（1）根据营业额售价售出商品数量，列出解析式，再利用售价不能低于成本价，列出不等式，求出的取值范围；

（2）根据题意，列出不等式，求解即可．

【详解】解：（1）依题意，；

又售价不能低于成本价，所以，解得．

所以，定义域为．

（2）由题意得，化简得：，

解得．

又因为

所以

的取值范围是．

【点睛】本题考查利用函数知识解决应用题及解不等式的有关知识．如何建模是解决这类问题的关键，属于基础题．

22．已知关于的不等式.

(1)若的解集为，求实数的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)，；

(2)答案见解析．

【分析】（1）由不等式的解集得相应方程的根，由韦达定理列方程组求解；

（2）先根据分类讨论，在时，再根据两根的大小分类讨论得结论．

【详解】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；

（2），

当a=0，不等式为，不等式的解集为；

当时，不等式化为，不等式的解集为

当时，方程的两个根分别为：.

当时，两根相等，故不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为或，.

综上：

当时，不等式的解集为

当a=0，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；