2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期月考数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二下学期月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知在等差数列中，，则（    ）

A．2 B．4 C．5 D．7

【答案】C

【分析】由等差数列下标和的性质计算.

【详解】由等差数列下标和的性质可得，

所以.

故选：C

2．已知向量，若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，则，解得.

故选：D.

3．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率公式计算可得；

【详解】解：依题意；

故选：B

4．在中，点D是的中点，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算可求出结果.

【详解】.

故选：A

5．曲线在点处的切线斜率是（    ）

A．9 B．6 C． D．

【答案】A

【分析】依题意求出，即可得到，从而得解；

【详解】解：∵，

∴，

∴，

由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是；

故选：A

6．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了位老年人，结果如下表，经计算得到，且，则下列结论正确的是（　　）

A．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关

B．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关

C．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关

D．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关

【答案】D

【分析】由独立性检验基本思想可直接得到结论.

【详解】由独立性检验基本思想可知：在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；AB错误；

即有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，C错误，D正确.

故选：D.

7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由全概率公式求解

【详解】由题意得运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为

故选：C

8．在平面四边形中，，若点为边上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系求解作答.

【详解】因，则以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，

过点C作于G，作于F，因，则，

即，于是有，，则，

而，则有，设，

，，当时，，

所以的最小值为.

故选：A

二、多选题

9．已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．若，则 D．

【答案】AB

【分析】A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.

【详解】A. 因为，所以，则，故正确；

B. 若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；

C.若，则，则，故错误；

D. 与共线，与共线，故错误；

故选：AB

10．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用正态分布的图象和性质求解.

【详解】解：由题得，所以选项A正确，B错误；

，所以选项C正确；

由题得，故选项D正确.

故选：ACD

11．下列有关回归分析的结论中，正确的有（    ）

A．若回归方程为，则变量与负相关

B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心

C．若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好

D．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数

【答案】AB

【分析】A选项，根据得到变量与负相关；B选项，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心；C选项，的值越接近于1，拟合效果越好；D选项，若散点图中所有点都在直线，说明此时相关系数.

【详解】因为，所以变量与负相关，A正确；

运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，B正确；

若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越差，

越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，C错误；

若散点图中所有点都在直线，结合可得：相关系数为1，D错误；

故选：AB

12．的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．展开式共6项

B．常数项为160

C．所有项的系数之和为729

D．所有项的二项式系数之和为64

【答案】BCD

【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.

【详解】展开式的总项数是7，A不正确；

展开式的通项公式为，

令得，常数项为，B正确；

取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；

由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．在等比数列中，若，，则__________．

【答案】

【分析】设公比为，根据题意求得，再求即可.

【详解】设等比数列的公比为，由题可知，故.

故答案为：.

14．已知平面向量，满足，且的夹角为，则_____．

【答案】

【分析】利用向量的运算性质求解.

【详解】

故答案为：

15．的展开式中的系数为______．

【答案】

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的次数等于2，求出，从而可求出的系数

【详解】的展开式的通项公式为，

令，得，

所以的展开式中的系数，

故答案为：

16．某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，不邻而坐”制度（每两个同学不能相邻）．若该学校的教室一排有10个座位，安排4名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答）

【答案】840

【分析】六个空位可产生七个空,采用插空法即可

【详解】因为六个空位可产生七个空，则这四个同学可用插空法就坐，因此共有种不同的安排方法．

故答案为：840

四、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角C的大小

(2)若，的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C的正切，进而可求角C；

(2)由三角形面积公式及角C可得，进而由余弦定理整体得的值解决问题.

【详解】（1）由正弦定理可得：,

,  ,    ,

,    .

（2）由三角形面积可知：,

，

由余弦定理可知：

,

解得：，

所以三角形的周长为：.

18．已知等差数列满足：，．的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．

【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得

解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可

试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，

解得，所以，.

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

即数列的前项和.

【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和

19．高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.

(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；

(2)设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）先随机变量可能的取值为0，1，2，3，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】（1）解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件,

由于事 件、相互独立，且，

所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为.

（2）解：由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，

可得，，

，，

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的数学期望 .

20．如图，四棱锥中，底面，，，，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）要证明线面垂直，根据判断定理，需证明线线垂直，根据条件，即可证明，，即可证明；（2）以为原点，如图建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】本题考查线面垂直的证明、空间向量法求二面角．

（1）因为，，，，，

所以由勾股定理得，

．

所以，

由勾股定理的逆定理得．

因为，所以．

因为底面，所以．

又，所以平面．

（2）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由（1）得，，则，，，，，

则，，．

设平面的法向量为，

则得

令，得．

易知平面的一个法向量为．

所以．

由图易知二面角是锐二面角，

故二面角的余弦值为．

【点睛】思路点睛：（1）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

（2）利用空间向量计算二面角大小的常用方法：

①找法向量：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角余弦值的正负．

②找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

21．已知椭圆的右焦点为F(，0)，且点M(－，)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若，求λ的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得，的值即可确定椭圆方程；

（2）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定为定值．

【详解】（1）由题意知：．

根据椭圆的定义得：，即．

，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，的方程是．

此时，所以．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，

由可得．

显然△，则，

因为，

所以．

所以，

此时．

综上所述，为定值．

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调递增区间；

(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.

【答案】(1)减区间为，增区间为.

(2)

【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）求得，设，得到，求得的单调性，结合，根据题意，列出不等式组或，即可求解.

【详解】（1）解：当时，函数，其定义域为 ，

可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）解：由，

可得，

设，则，

令，即，解得，

当时，；当时，，

所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，

且，

显然，

若在上存在极值，则满足或，解得，

综上可得，当时，在上存在极值，

所以实数的取值范围为.