黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

哈工大附中2022-2023学年度第一学期期末考试试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.

【详解】∵

∴，则，

故选：C.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据中满足，中求解函数的定义域.

【详解】要求函数的定义域，则满足

所以的定义域为

故选：B

3．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线， 则下列命题不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】B

【分析】根据线面位置关系逐一判断即可.

【详解】若，，则一定有，A正确；

若，，，则，可能平行，也可能相交，B错误；

若，，则一定有，C正确；

若，，，则，显然成立，D正确．

故选：B

4．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为.甲乙是否命中目标互相无影响.现在两人同时射击目标一次，则目标至少被击中一次的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由目标至少被击中一次对立事件为一次也没击中计算即可.

【详解】甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，

目标至少被击中一次的概率是.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了独立事件概率的计算及利用对立事件求概率，属于基础题.

5．已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答.

【详解】因，则，

所以.

故选：C

6．已知函数，则它的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决问题.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

而，且，

所以函数为非奇非偶函数，故C，D错误，排除；

当时，，故B错误，

故选：A.

7．已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为（   ）

A． B． C． D．8

【答案】B

【分析】求得圆心和半径，结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得正确答案.

【详解】圆，即，

所以圆心，半径，

圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为.

故选：B

8．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第3个数应为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可．

【详解】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为，公比为，

则，所以，即，

所以新插入的第3个数为．

故选：A

二、多选题

9．下列叙述不正确的是（    ）

A．若，则

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题：，，则命题的否定：，

D．函数的最小值是4

【答案】BD

【分析】对于A．由不等式的性质验证；

对于B．解对数不等式，再判断；

对于C．由全称命题的否定验证；

对于D．举反例．

【详解】对于A．由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，故A正确；

对于B．由得，则，即“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；

对于C．由全称命题的否定知，命题：，，的否定为，，故C正确；

对于D．当时，，故函数的最小值不为4，故D错误．

综上所述，选项BD不正确，

故选：BD.

10．某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了2019年1月至2021年12月期间月销售商品（单位：万件）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法正确的是（    ）

A．月销售商品数量逐月增加

B．各年的月销售商品数量高峰期大致在8月

C．2020年1月至12月月销售数量的众数为30

D．各年1月至6月的月销售数量相对于7月至12月，波动性大，平移性低

【答案】BC

【分析】由折线图，结合数字特征及曲线的分布特征可以看出AD选项错误；BC选项正确.

【详解】月销售商品数量从8月到9月，是减少的，故A错误；

各年的月销售商品数量高峰期大致在8月，B正确；

2020年1月至12月月销售数量为30的有1月,3月,6月,9月，有4个，其他均低于4个，故众数为30，C正确；

各年1月至6月的月销售数量相对平稳，波动性小，D错误；

故选：BC

11．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据奇偶性的定义及常见基本初等函数的单调性即可求解.

【详解】解：对A：因为时，在上单调递增，故选项A错误；

对B：因为在上单调递增，故选项B错误；

对C：因为，定义域为，所以为偶函数，又为增函数，时，为减函数，所以由复合函数单调性的判断法则有函数在区间上单调递减，故选项C正确；

对D：为偶函数，又在区间上单调递减，故选项D正确.

故选：CD.

12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若.则

C．若，则是等腰三角形

D．若为锐角三角形，则

【答案】ABD

【分析】由正弦定理边化角可判断A；用正弦定理边化角，然后使用正弦的两角差公式化简可判断B；根据角的范围直接判断A、B的关系可判断C；根据角的范围和诱导公式可判断D.

【详解】A选项：由正弦定理可知，A正确；

B选项：因为，所以，即，

易知，所以，即，所以，B正确；

C选项：因为，，且，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

D选项：因为为锐角三角形，所以，即，所以，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．复数，则________．

【答案】

【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用模长公式计算模长即可求解.

【详解】，

所以，

故答案为：.

14．已知，，则________．

【答案】

【分析】利用题意可得到，再利用模的坐标公式即可求解

【详解】因为，，

所以，

所以

故答案为：

15．设为等差数列，若，则的值为_________

【答案】

【分析】先用等差数列的性质求出，在求的值即可.

【详解】在等差数列中，

因为，

所以，

所以，

故答案为：.

16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.

【答案】

【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.

【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义.

在中，由正弦定理得.

因为，所以，所以.

因为点在双曲线右支上，所以，

所以，得.

由双曲线的性质可得，

所以，化简得，

所以，解得.

因为，

所以.

即双曲线离心率的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）利用辅角公式，可得，再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．

（2）根据正弦函数的性质，可求得函数在上的最值．

【详解】（1）解：∵，

∴，即函数的最小正周期为．

（2）解：在区间上，，

∴，

∴，

∴的最大值为，的最小值为．

18．在中，角、、的对边分别为、、，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理即可求解；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

因为，所以，即，

因为，所以.

（2），所以，

由余弦定理得，

所以的周长为．

19．已知是等差数列的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．

【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.

【分析】（1）利用公式，进行求解；

（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.

【详解】（1）由题意可知：，当时，，

当时，，

当时，显然成立，∴数列的通项公式；

（2），

由，则时，取得最大值28，

∴当为4时，取得最大值，最大值28．

【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.

20．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示：

(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；

(3)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图直接平均数求法解决即可；（2）根据频率分布直方图中位数求法解决即可；（3）根据分层抽样得在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，有古典概型概率求法解决即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数

（2）因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，

所以中位数为

（3）在和两组中的人数分别为

和人，

所以在分组中抽取的人数为人，记为，

在分组中抽取的人数为2人，记为，

所以这5人中随机抽取2人的情况有共10种，

其中两人得分都在的情况有1种，

所以两人得分都在的概率为.

21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，左端点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆所截的弦的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由抛物线的焦点可求得的值，由椭圆左端点可得的值，根据可得的值；

（2）由点斜式易得直线的方程，把的方程代入椭圆方程消掉可得关于的二次方程，设，根据韦达定理及弦长公式即可得弦的长

【详解】解：因为抛物线的焦点为（2，0），所以 又椭圆的左端点为 ，

，则，

故所求椭圆的方程为，

（2）因为椭圆的又焦点 ，

的方程为，

代入椭圆C的方程，

化简得，

设，由韦达定理可知

所以，

，

由弦长公式得，

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点.

(1)求证AE平面PCD；

(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.

【分析】（1）根据平面得到，根据为等边三角形，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；

（3）设，得到，然后利用空间向量和∥平面列方程，解得即可.

【详解】（1）∵平面，平面，

∴，

∵为等边三角形，为中点，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面.

（2）

取中点，连接，，

∵平面，平面，平面，

∴平面平面，，

∵为中点，为等边三角形，

∴，，

∵平面平面，平面，

∴平面，

∵，，

∴四边形为平行四边形，，

如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，,

∵平面，

∴可以作为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则

，令，则，，，

所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

（3），，，，

设，则，

∵∥平面，

∴，解得，

所以在棱上存在点使∥平面，此时.