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    这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高一下学期4月月考数学试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学高一下学期4月月考数学试题

     

    一、单选题

    1    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据诱导公式即可求解.

    【详解】.

    故选:B.

    2.已知向量,则    .

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】根据给定条件,利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标,再利用坐标求出模作答.

    【详解】向量,则

    所以.

    故选:B

    3.在ABC中,,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】利用正弦定理求得,进而求得.

    【详解】由正弦定理得

    所以

    由于,所以为锐角,所以.

    故选:B

    4.在中,若边上的中线,点上,且,则     

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.

    【详解】如图所示,在中,

    因为边上的中线,

    所以的中点,

    所以由平行四边形法则有:

    又点上,且

    所以

    所以

    故选:A.

    5.为了得到函数的图象,可以将函数的图象(    

    A.沿轴向左平移个单位 B.沿轴向右平移个单位

    C.沿轴向左平移个单位 D.沿轴向右平移个单位

    【答案】C

    【解析】利用函数yAsinωx)的图象变换规律,得出结论.

    【详解】

    将函数的图象沿轴向左平移个单位,

    即可得到函数的图象,

    故选:C

    【点睛】本题主要考查函数yAsinωx)的图象变换规律,属于基础题.

    6.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为m,在它们之间的地面上的点MBMD三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则小明估算索菲亚教堂的高度为(    

    A20 m B30 m C20 m D30 m

    【答案】D

    【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.

    【详解】

    由题意知:CAM45°AMC105°,所以ACM30°

    Rt△ABM中,AM

    ACM中,由正弦定理得

    所以CM

    Rt△DCM中,CDCM·sin∠AMD30.

    故选:D.

    7.已知向量满足,则向量在向量上的投影向量的坐标为(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据及相关公式求出,再根据投影向量的计算公式即可求解.

    【详解】,得,则

    ,则

    所以向量在向量上的投影向量的坐标为.

    故选:.

    8的内角的对边分别为,已知的面积,设边的中点,若,则等于(    .

    A2 B4 C D

    【答案】A

    【分析】由面积公式及余弦定理求出,即可得到的夹角为,再由面积公式求出,最后由数量积的定义计算可得.

    【详解】,又

    所以,所以,又,所以

    所以的夹角为

    由面积公式

    解得,即

    因为边的中点,所以

    所以

    故选:A

     

    二、多选题

    9.边长为2的等边中,的中点.下列正确的是(    

    A

    B

    C

    D

    【答案】ACD

    【分析】由向量加减法法则,可以判断选项ABD,再由向量数量积公式可判断C.

    【详解】根据向量加法法则可知,,故A正确;

    根据向量减法法则可得,故B错误;

    由向量数量积公式得,故C正确;

    根据向量加法法则可知,,所以D正确.

    故选:ACD.

    10的内角ABC的对边分别为abc,则下列说法正确的是(    .

    A的充要条件

    B.若,则有两解

    C.若为钝角三角形(C为钝角),则

    D.若为斜三角形(若一个三角形不包含直角,则称此三角形是斜三角形),则

    【答案】ABD

    【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析,从而确定正确答案.

    【详解】对于A选项,若,则,由正弦定理可得

    ,则,所以

    所以的充要条件,故A选项正确;

    对于B选项,,则,如图:

    所以有两解,B选项正确;

    对于C选项,若为钝角三角形且为钝角,则

    可得C选项错误;

    对于D,因为

    所以

    因为

    所以

    所以,所以D正确.

    故选:ABD.

    11.设点所在平面内一点,则下列说法正确的是(    

    A.若,则点在线段

    B.若,则点的重心

    C.若,则点的轨迹必过的内心

    D.若,且,则的面积是面积的

    【答案】BCD

    【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项;利用平面向量的线性运算以及三角形重心的定义可判断B选项;利用三角形内心的性质以及平面向量的线性运算可判断C选项;利用平面向量的线性运算以及三角形面积的关系可判断D选项.

    【详解】对于A选项,因为,则,可得

    所以, 点在射线上,且点为线段的中点,A错;

    对于B选项,设点为线段的中点,

    因为

    此时点重心,B对;

    对于C选项,因为

    因为分别是与方向相同的单位向量,

    记住,以为邻边作平行四边形

    则四边形为菱形,则平分,且

    此时,点的轨迹必过的内心,C对;

    对于D选项,因为,且

    所以,且

    ,则

    ,即,所以,三点共线,

    又因为,所以的中点,如图所示:

    所以,故D正确.

    故选:BCD.

    12.在中,记角所对的边分别为,若,则(    

    A

    B

    C.内角的最大值为

    D面积的最小值为

    【答案】BC

    【分析】先由向量的数量积公式计算判断A选项,再结合余弦定理公式计算判断B选项,再结合基本不等式和余弦函数的单调性判断C选项,最后利用面积公式结合bc的范围判断D选项.

    【详解】,故A选项错误;

    因为,所以,故B选项正确;

    因为,所以,所以,故C选项正确;

    因为,所以,故D选项错误.

    故选:BC.

     

    三、填空题

    13.已知向量,若,则实数的取值范围是_____

    【答案】

    【分析】已知,则它们数量积小于0且两向量不为相反向量,根据向量数量积的坐标运算,共线向量的坐标表示,即可求出实数的取值范围.

    【详解】解:已知,则它们数量积小于0且两向量不为相反向量,

    所以

    若为相反向量, 则两向量共线,有

    所以实数的取值范围是.

    故答案为:.

    14.一艘轮船航行到A处时看灯塔BA的北偏东,距离海里,灯塔CA的北偏西,距离为海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向,则__________

    【答案】/

    【分析】中,利用正弦定理求出,在中,先利用余弦定理求出,再利用余弦定理即可得解.

    【详解】如图,在中,

    因为,所以

    中,

    ,所以

    .

    故答案为:.

    15.已知是两个不共线的向量,,若共线,则______.

    【答案】/

    【分析】利用向量共线求出,再利用二倍角的正弦公式结合齐次式法求值作答.

    【详解】依题意,由共线,得,而

    于是,即,又不共线,

    因此,解得

    所以.

    故答案为:

    16.在锐角三角形中,内角所对的边满足,若存在最大值,则实数的取值范围是__________

    【答案】

    【分析】先利用余弦定理结合可得,再利用正弦定理化边为角,再结合三角形内角和定理,求出的关系,从而可将都用表示,再根据三角形为锐角三角形求出的范围,再根据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解.

    【详解】由余弦定理可得,则

    由正弦定理可得

    因为为锐角三角形,则,所以

    又因为函数内单调递增,所以,可得

    由于为锐角三角形,则,即,解得

    因为,所以,则

    因为存在最大值,则,解得

    故答案为:

    【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得.

     

    四、解答题

    17.已知向量满足,且的夹角为45°

    (1),求实数k的值;

    (2)的夹角的余弦值.

    【答案】(1)k

    (2).

     

    【分析】1)根据给定条件,利用垂直关系的向量表示,列式计算作答.

    2)根据给定条件,利用向量夹角的计算公式计算作答.

    【详解】1的夹角为45°,则,又

    ,解得

    所以实数k的值是.

    2)由(1)知,

    ,因此,

    所以的夹角的余弦值.

    18.在条件:,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中:

    中,内角所对边长分别是.______.

    (1)

    (2)的面积.

    注意:选择多个条件时,按你第一个选择结果给分.

    【答案】(1)条件选择见解析,

    (2)

     

    【分析】1)选择条件:由正弦定理结合三角恒等变换化简得出,求出的取值范围,即可得出的值;

    选择条件:利用余弦定理求出的值,结合角的取值范围可求得角的值;

    选择条件:利用平面向量共线的坐标表示可求得的值,结合角的取值范围可求得角的值;

    2)利用三角形的面积公式可求得的面积.

    【详解】1)解:选择条件:由正弦定理知,

    化简得

    ,则

    ,则,则,即

    选择条件

    由余弦定理知

    选择条件,且

    由正弦定理知,,则

    ,则,则,故.

    2)解:由三角形的面积公式可得.

    的面积为.

    19中,分别为角的对边,,且.

    1)求

    2)若,求的面积.

    【答案】1;(2.

    【解析】1)本题首先可根据得出,然后通过三角恒等变换得出,最后根据得出

    2)本题首先可根据余弦定理得出,然后与联立求出的值,最后根据解三角形面积公式即可得出结果.

    【详解】1)因为,所以

    因为

    所以

    因为,所以

    ,解得.

    2)因为

    所以

    联立,解得

    时,的面积

    时,的面积

    的面积为.

    【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解,考查通过三角恒等变换求角的大小,考查二倍角公式和两角和的正弦公式,考查余弦公式以及解三角形面积公式的应用,若两个向量互相垂直,则这两个向量的数量积为,考查计算能力,考查转化与化归思想,是中档题.

    20的内角的对边分别为

    (1)

    (2),求

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)由题知,再根据正弦定理边角互化并整理得,进而得答案;

    2)根据正弦定理边角互化,结合三角恒等变换得,进而结合已知条件得,再求解正弦值即可.

    【详解】1)解:因为

    所以,即

    所以,正弦定理可得

    因为

    所以

    因为

    所以

    因为

    所以

    2)解:因为

    所以,由正弦定理得

    又因为

    所以

    整理可得,即

    所以

    因为

    所以,即

    因为

    所以

    21.在近年,中国采用吹沙填海的方式,成功将部分小岛礁连成一片,可以进而形成一个大岛礁.已知南海上存在四个小岛礁,它们在一条直线上且满足,若通过吹沙填海的方式建成了如图所示一个矩形区域的大岛礁,其中米.

    (1)为线段上一点,求最小值;

    (2)为线段上一点,求的最小值;

    (3)因特殊原因,划定以圆心,为半径的圆的区域为隔离区,拟建造一条道路,使与该隔离区的边界相切,求四边形面积的最大值.

    【答案】(1)8000

    (2)

    (3)

     

    【分析】(1)中点,将原问题转化为向量求模即可;

    (2)根据余弦定理及第一问的结果可以求解;

    (3)由于MNMB都是圆A的切线,连接AM,利用 以及切线之间的几何关系,再利用面积公式求解即可.

    【详解】1))取中点

    当且仅当点位于中点时等号成立,最小值为8000

    2)由余弦定理得,

    当且仅当,即点立位于中点时等号成立,的最小值为

    3

    圆切于点,连接,设

    的面积

    当且仅当时等号成立时等号成立,

    四边形CDNM的最大值为:

    综上,最小值为8000的最小值为,四边形CDNM的最大值为:.

    22.已知向量,函数

    (1)求函数的解析式和对称轴方程;

    (2)abc分别为三个内角ABC的对边,,试判断这个三角形解的个数,并说明理由;

    (3)时,关于x的方程恰有三个不同的实根,求实数的取值范围及的值.

    【答案】(1),对称轴方程为

    (2)见解析;

    (3)

     

    【分析】1)利用三角恒等变换得到,求出对称轴方程;

    2)先求出,再根据b的大小关系判断这个三角形解的个数;

    3)将方程化为,进而转化为要有两个不同于的根,数形结合得到数的取值范围及的值.

    【详解】1

    ,解得:

    故对称轴方程为:

    2

    因为,所以

    解得:

    时,此时,故此时三角形解的个数为0,即不存在这样的三角形;

    时,此时,此时三角形解的个数为1,且B为直角;

    时,此时,三角形解的个数为2

    时,此时,这个三角形解得个数为1

    综上:当时,这个三角形解的个数为0

    时,这个三角形解的个数为1

    时,这个三角形解的个数为2

    3

    ,变形为

    所以

    有一个解,不妨设解为

    有两个不同于的两个解,

    因为,故

    且在上单调递增,在上单调递减,

    要想有两个不同于的解,需要

    解得:

    此时的两根关于对称,即

    所以

    【点睛】对于判断三角形的个数问题,再已知得情况下,利用b的大小关系进行判断,当时,不存在这样的三角形,当时,这样的三角形有1个,当时,这样的三角形有2.

     

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