2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设全集，，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，，所以，故选C.

【解析】集合的运算.

2．命题“，都有”的否定为（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，都有 D．，使得

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定表示方法选出答案即可.

【详解】命题“ 都有”的否定为：

“ 使得”，所以选项A正确.

故选：A.

3．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不等于列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】由题意可得：，解得：

故函数的定义域为：，

故选：C.

4．已知，且，则的最大值是

A． B．4 C． D．8

【答案】C

【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值．

【详解】由题意得，，当且仅当时等号成立，

所以的最大值是．

故选C．

【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．

5．已知，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】作差法比较大小，即得解

【详解】由题意，

因此

故选：A

【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题

6．若，满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由不等式的性质求解即可

【详解】,

，

，

，

，

又可得，

所以，

所以的取值范围是

故选：A

7．设，，若，则的最小值是（    ）

A． B．2 C．4 D．10

【答案】A

【分析】利用“1”的代换，利用基本不等式即可得出答案．

【详解】，，，

则，

当且仅当时取等号，

的最小值是，

故选：A．

8．设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】函数f（x）=|x|sgnx==x，

故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，

故答案为C．

二、多选题

9．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BD

【解析】两个函数要是同一个函数，只要定义域相同，对应关系相同即可

【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于B，，的定义域都为，而，与的对应关系相同，所以，是同一个函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于D，，的定义域都为，而，，所以，是同一个函数，

故选：BD

10．已知，则下列推证中不正确的是   

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．

【详解】解：A．时不成立．

B．时不成立．

C．，两边同除以，可得，正确．

D．由，，取，可得，不成立．

故选ABD．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

11．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“，”是真命题，则

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，“，”是真命题可知，时不成立，当时，只需满足，解得，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由等价于且，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

12．已知，，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】,有则且,分和去掉绝对值号 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

【详解】由，得，则且.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.当且仅当即 时取等号.

综上，.

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的定义域是，则函数的定义域是______．

【答案】.

【分析】根据函数定义域的概念以及一元二次不等式进行求解.

【详解】因为函数的定义域是，所以，

解得或，则函数的定义域是.

故答案为：.

14．已知，则______．

【答案】.

【分析】根据已知把换成，建立方程组求解.

【详解】因为  ①，

把换成有：

   ②，

联立①②式有：，

解得.

故答案为：.

15．函数的值域为__________．

【答案】

【详解】函数

令，则.

得.

当时，函数有最大值.

所以值域为.

故答案为.

点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择

16．已知不等式，恒成立，则实数m的取值范围是______________．

【答案】

【分析】变换得到，计算得到答案.

【详解】不等式，恒成立，即

当即时等号成立，故

故答案为：

【点睛】本题考查了均值不等式的应用，变换得到是解题的关键.

四、解答题

17．解不等式：

（1）；

（2）

【答案】(1)或  (2) 或

【分析】（1）分式不等式化为，通分化为，再有一元二次不等式解法即可求解．

（2）由高次不等式采用“穿针引线”法即可求解．

【详解】（1）由，则，所以，

，解得或

不等式的解集为或

（2）由，

所以

由“穿针引线”法

或

故不等式的解集为或

故答案为或

【点睛】本题考查了分式不等式解法、高次不等式解法，属于基础题．

18．已知集合，.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2),

【分析】（1）由可得，分， 两种情况分类讨论，求出实数的取值范围；

（2）由题意知，分， 讨论，建立不等式或不等式组求解即可.

【详解】(1)集合，，，

，

当时，，解得，

当时，，

解得，

综上，实数的取值范围是，；

(2)当时，没有元素使与同时成立，

，

当时，，解得，

当时，或，

解得，

综上，实数的取值范围是，．

19．已知，，.

(1)求证：；

(2)求证：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据重要不等式得到进而得到结果；

（2）根据均值不等式得到结果.

【详解】解：（1）因为，所以根 据 重 要 不 等 式 得 到：，当且仅当时取等号，

所以；

（2）因为，所以，等号成立的条件为：，即，

故.

【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用等.

20．前一阶段，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产．为此，该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供（万元）的专项补贴．企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本

(1)求企业十一期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；

(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业十一期间加班追产所获收益最大?

【答案】(1)，；

(2)万元.

【分析】（1）依题意得到的函数解析式；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.

【详解】(1)依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；

所以收益，

(2)由（1）可知，

其中，                                    

当且仅当，即时取等号，                                        

所以，

所以当时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

即当政府的专项补贴为万元时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元

21．集合，；

(1)若，为的最小值，求集合；

(2)若，，求a，b的取值范围．

【答案】(1)；

(2)a∈，.

【分析】（1）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；

（2）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围.

【详解】(1)由，有，解得或，

，                                         

，，

当且仅当t＝5时取等号，故，                                    

故由可化为：且，

∴，解得，

故B＝{x| }.

(2)b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而

可得：

a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去            

a＞0时，解得：或，但不满足A⊆B，舍去            

a＜0时，解得或

∵A⊆B

∴，解得，

∴a、b 的取值范围是，.

22．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合的生成集．

(1)当时，写出集合的生成集；

(2)若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由．

【答案】(1)

(2)7

(3)不存在，理由见解析.

【分析】(1)根据直接写出集合中元素；

(2)设，且，利用生成集的定义分析中元素大小关系，不相等的元素至少有7个，再举例即可求解；

(3)不存在，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾即可.

【详解】(1)，所以.

(2)设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于7个，

又，，此时中元素个数等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

(3)不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集

则必有，其4个正实数的乘积；

也有，其4个正实数的乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集