2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校 高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：C.

2．计算：（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由复数的减法法则直接计算可得.

【详解】.

故选：B.

3．已知向量，，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两向量平行，利用坐标公式法即可求解.

【详解】∵向量，，且，

故，解得.

故选：B.

4．下列图形中，不能折成三棱柱的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接把展开图折叠，即可得到答案.

【详解】C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．

A、B、D均可折成三棱柱如图所示：

故选：C

5．若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据基本不等式求最值.

【详解】

当且仅当时取等号，

即xy的最大值为

故选：B

【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据投影向量的坐标运算，求解即可.

【详解】根据题意可得：，，

向量在向量上的投影向量为.

故选：D.

7．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；

【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，

故个漏斗的容积为，

故选：A

8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.若，，则面积S的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得c=a，代入“三斜求积”公式即可计算得解．

【详解】∵，则sinC＝（sinBcosC+cosBsinC）＝sin（B+C）＝sinA，由正弦定理得c＝a，∵b＝2，

△ABC的面积

＝ ，∴当即a＝2时，△ABC的面积S有最大值为．

故选C．

【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中档题．

二、多选题

9．已知复数满足，则（    ）

A．的虚部是 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据复数的运算法则，求解，逐项判断正误.

【详解】∵，∴，

故，据此可判断

A项，的虚部为-1，故A项错误；

B项，，故，故B项正确；

C项，，故C项正确；

D项，，故D项正确；

故选：BCD.

10．以下四种说法中正确说法的为（    ）

A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件

B．“”是“”的充要条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】AC

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可.

【详解】对于A，当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当是有理数时，一定是实数，

所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，所以A正确，

对于B，当时，成立，而当时，有可能，

所以“”是“”的充分不必要条件，所以B错误，

对于C，当时，成立，而当时，或，

所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确，

对于D，当时，与不一定相等，如，，而当时，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，所以D错误，

故选：AC.

11．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（    ）

A．若且，则

B．

C．若，且，则

D．

【答案】ACD

【分析】根据平面向量共线，平面向量数量积的运算律，依次判断各项正误.

【详解】解：且，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误；

由向量数量积的分配律得，即B正确；

因为，则，又，则或，即C错误；

取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误．

故选：ACD．

12．在中，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则定为等腰三角形

C．若，则定为直角三角形

D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角

【答案】ACD

【解析】选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.

【详解】在中，若，则，因此，A正确；

若，则或，

即或，

所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；

若，

则，

所以，即，，

所以定为直角三角形，C正确；

三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，

则，因为，

所以，D正确.

故选:ACD.

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.

三、填空题

13．命题“，使”的否定是__________.

【答案】“，有”

【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】“，使”的否定是“，有”.

故答案为：“，有”.

14．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.

【答案】

【分析】根据球的面积求出球的半径，根据正方体的对角线是球的直径可求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式可求得结果.

【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，所以，所以球的半径，

因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为，

设正方体的棱长为，则，所以.

所以正方体的体积为.

故答案为：

15．△ABC中，点M是边BC的中点，，，则_____.

【答案】

【分析】由点M是边BC的中点，得到（），又，再用数量积公式求解.

【详解】因为点M是边BC的中点，

所以（），

又因为，

所以（）（）（），

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

四、双空题

16．在△中，角所对的边分别为，已知，.则的值为__________；若，则△周长的最大值为__________.

【答案】     ；     .

【分析】根据二倍角公式，结合正弦定理化简已知条件，即可求得；根据余弦定理，求得关系，结合不等式即可求得结果.

【详解】因为，，故，则，

即，也即，又，则；

若，由余弦定理可得，则，

即，即，解得，

即的最大值为，当且仅当时取得等号，故三角形周长的最大值为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知向量.

(1)已知，求向量与的夹角；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用向量坐标夹角公式进行求解；

（2）先计算得到，，再利用向量垂直，数量积为0列出方程，求出的值.

【详解】（1）因为，所以，

故，

因为，所以向量与的夹角；

（2），

，

由于，

所以，

解得：或，

从而或.

18．在中，角所对的边分别为，已知2：1：.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的面积.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理求解即可；

（2）利用余弦定理求解；

（3）由（2）求出，再利用三角形面积公式可求得结果.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理得，

因为，所以，解得；

（2）由（1）可知，，，得，

由余弦定理得；

（3）由（2）得，

因为，

所以，

因为，，

所以的面积为.

19．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为2的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．

(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的表面积；

(2)若，求几何体的体积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知求解三角形得圆柱与圆锥的高，再由圆柱和圆锥的表面积公式求解即可，

（2）由，，可得，，再求出，从而可求出体积

【详解】（1）由题意得，

则，，，

所以，

由对称性可得，

所以几何体的表面积为

（2）由，，可得，，

所以，

因为，

所以，

所以几何体的体积为

20．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．

（1）设，，当，请用，来表示，；

（2）当时，试求．

【答案】（1），；（2）0.

【分析】（1）利用向量的线性运算求解；

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．

【详解】（1），，点是的中点，

，

，

．

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点，

点坐标为，

又，，，，

所以，，

所以．

【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解．

21．将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.

(1)求函数的解析式及单调递增区间；

(2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围.

【答案】(1)，增区间为；

(2).

【分析】（1）先对的解析式化简变形，然后利用三角函数图象变换规律可求出的解析式，再利用正弦函数的性质可求出函数的单调增区间；

（2）由（1）可得，再利用正弦定理可得，结合，利用三角函数恒等变换公式化简得，再求出角的范围，然后由正弦函数的性质可求出结果.

【详解】（1），

将函数图象上所有点向右平移个单位长度，

得，

然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得

，

由，

得，

所以的单调递增区间为；

（2），

因为，

所以由正弦定理得，

所以，

所以，

因为，所以，所以，

所以

，

因为为锐角三角形，

所以，解得，

所以，

所以，

所以，

所以的取值范围为.

22．如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处．

(1)保安甲沿从值班室出发行至点处，此时千米，求的距离，并说明点在点方向角哪个方向上；

(2)保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时. 若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？

【答案】(1)千米，点在点北偏东方向上或东偏北方向上

(2)不能通话的时间为小时

【分析】（1）根据勾股定理可求得，由初中知识可知，再根据余弦定理即可求出，勾股定理的逆定理可知，从而确定点的方向角；

（2）设甲乙同时出发小时后，甲到达点处，乙到达点处，根据余弦定理可求出，再解不等式，解集的区间长度即是不能通话的时长．

【详解】（1）由题意可知，是，因为，

由勾股定理，解得.

在中，，可得.

当时，，在中，由余弦定理得

，解得.

因为，得到.

所以千米，点在点北偏东方向上或东偏北方向上.

（2）已知甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，因为，

所以两小时后保安甲到达值班室的同时，保安乙到达值班室.

设甲乙同时出发小时后，甲到达点处，乙到达点处，

可得，

当时，在中，由余弦定理得

，

所以.由，

整理得，解得.

因为，所以，又因时，；时，，所以，两人不能通话的时间为小时．