上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺（3）数学试题（含解析）

上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺（3）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为___________．

2．已知集合，，若，则实数值集合为______．

3．已知向量，则在方向上的投影向量是______________．

4．已知数列的前项和为，且满足对一切正整数成立.则__________.

5．已知是关于的方程的两根，则__________.

6．如图是甲､乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是__________.

7．已知，若，则______．

8．若，则__________.

9．现有一倒置圆锥形窗口，深24米，底面直径6米.以的速度向容器中注水，则当水深8米时，水面上升的速度为__________.

10．一艘渔船航行到A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为海里，灯塔C在A的北偏西45°，距离为 海里，该船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东45°方向，则______海里.

11．已知复数，其中.则的最小值为__________.

12．已知，双曲线的左､右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为.若，则__________.

二、单选题

13．已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ）

A． B．

C． D．

三、解答题

14．下列说法正确的是（  ）

四、单选题

15．两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（    ）

A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直；

B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直；

C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直；

D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直

16．对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质.设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差.那么（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题

五、解答题

17．某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩近似的服从正态分布．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：

（1）求样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加三家公司的面试．

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；

附：若随机变量，则，．

18．在中，分别是角的对边.设，已知

(1)求角的大小；

(2)设，当时，求函数的最小值.

19．如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面

(1)证明：是圆柱下底面的直径；

(2)若为中点，为中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.

20．设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为.

①证明直线恒过定点，并求出该点坐标；

②求面积的最大值.

21．设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.

(1)若和是关于的“对称函数”，求；

(2)已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围；

(3)证明：对任意，存在唯一的，使得和是关于的“对称函数”.

参考答案：

1．

【分析】先利用中位数的定义求出，然后由方差的计算公式求解即可.

【详解】因为数据的中位数为4，

所以，故，

所以这组数据的平均数为，

故方差为，

故答案为：.

2．

【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可.

【详解】因为，故；

则的子集有，，，，

当时，显然有；

当时，；

当，；

当，不存在，

所以实数的集合为；

故答案为．

3．

【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.

【详解】因为,

则在方向上的投影向量是:

故答案为：.

4．4

【分析】由与的关系公式，得到是一个等比数列，再求其，利用极限即可

【详解】由可得，当时，，则；

当时，，两式相减得，即，，

所以数列是一个等比数列，首项，公比，

所以，所以

故答案为：4

5．

【分析】先通过根与系数的关系得到的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.

【详解】由题意：，所以，

所以，即，解得.

故答案为：.

6．/

【分析】识别茎叶图，利用平均数和古典概型求概率公式求解即可.

【详解】设被污损的数字为，则，且，

甲的平均成绩为，

乙的平均成绩为，

因为，解得，

故的可能值有个，

则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.

故答案为：

7．

【解析】先由指数式化为对数式可得，，再利用即可求的值.

【详解】由，可得：，，

所以，则，

故答案为：

8．

【分析】对两边同时取导数，再令，即可得出答案.

【详解】由可得：

①，

对①两边同时取导可得：

，

令，可得，

所以.

故答案为：.

9．5

【分析】根据平行线分线段成比例可得水面半径和高关系，再由圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系，根据水深求出时间，对其求导即可的到水面上升的速度.

【详解】设注入水后水面高度为，水面所在圆的半径为，

，即：，

因为水的体积为，即，

当时，，

令，则，

故，即当水深8米时，水面上升的速度为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢，故解决本题的关键是求出水深与时间的函数关系，水流入时间为时的瞬时变化率，即此时的导数值.

10．

【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离，直接利用余弦定理求出CD的距离即可．

【详解】如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，

货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔 B在南偏东45°方向上，

所以B＝180°−75°−45°＝60°

由正弦定理，

所以海里；

在△ACD中，AD＝，AC＝，∠CAD＝45°，

由余弦定理可得：

，

所以CD＝海里；

故答案为：.

11．

【分析】根据复数所表示的几何意义得，再利用绝对值不等式即可得到答案.

【详解】在图中作出复数，和的位置，分别为点,

令复数所在复平面上的点为，

易得，所以四边形为平行四边形，

因为，所以四边形为菱形，

，，所以复数所表示的点在线段上（包括端点），

因为四边形为菱形，

所以垂直平分，所以有.

于是由三角不等式，，

当且仅当，即时等号成立，

此时.

故答案为：4.

12．

【分析】依题意求出，由直线的斜率为求出，设，，再由双曲线的定义，余弦定理及正弦定理计算可得.

【详解】双曲线，即，所以，所以，

又直线的斜率为，即，所以，

显然为锐角，所以，，

设，，

则，

另一方面，在中，由正弦定理，

即，解得，

代入上述方程组，解得，（负值舍去）.

故答案为：

13．B

【分析】根据空间向量的基底性质——基底向量由三个不共面的非零向量构成，即不共线，以此作为判断依据.

【详解】对于A. ,故A错误；

对于B. 不共面，故B正确；

对于C. ,故C错误

对于D. ,故D错误

故选:B

14．A

【详解】对于A，两人各写一个数字，则同奇数或同偶数的概率为，可知甲胜的概率为，反之乙胜的概率为，故游戏公平，故正确；

对于B，概率为频率的趋近值；故错误

对于C，中奖几率为随机事件发生的概率，具有随机性，所以不一定会有47元的回报；故错误

对于D，古典概型的特点是：（1）实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.中靶与不中靶不是等可能的，故错误.

故选：A

15．C

【分析】根据题意，由条件可得分两种情况：和，然后对选项逐一验证即可得到结果.

【详解】设，则有两种情况：和，

当时，在平面内不存在直线与平行，故AB错误；

当时，在平面内一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直，

当时，在平面内不存在直线与平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与垂直，

综上：不一定存在直线与平行，但一定存在直线与垂直，故C正确，D错误；

故选：C

16．C

【分析】通过分析两种不同情况下数列时和的大小关系，分析数列是否具有性质，即可得出结论.

【详解】由题意，

对命题①，设数列的公比为.因为数列具有性质，

所以对任意，也即.因此数列严格增，

故①是真命题.

对命题②，设等差数列的首项为.对每个使得数列不具有性质的正整数，

存在正整数，使得

则，从而

因为是定值，所以当无限增大时，得到.故②是真命题.

故选：.

17．（1）70，161；（2）317.

【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和方差的计算公式即可容易求得；

（2）利用正态分布的概率求解，求得，再乘以，即可容易求得.

【详解】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：

样本平均数；

样本方差

；

（2）由（1）可知，，，故评估成绩服从正态分布，

所以．

在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有人．

【点睛】本题考查由频率分布直方图求平均数和方程，正态分布的概率求解，属综合基础题.

18．(1)

(2)最小值

【分析】（1）利用向量的坐标运算和正弦定理即可求解；

（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值.

【详解】（1）由题意可得：，

由正弦定理得：，

则，

可得，

因为，则，可得，即，

又因为，所以.

（2）由（1）可得，则，

由题意可得：

，

因为，则，可得，

所以当，即时，有最小值.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，利用平面平面可得到平面，继而得到，结合可得到平面，所以，即可求证；

（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，然后用夹角公式进行求解即可

【详解】（1）连接，在直三棱柱中，，

四边形为正方形，，

又平面平面，平面平面平面，

平面，又平面

又平面平面，

又平面，

平面，又平面，

为圆柱底面的直径.

（2）由已知平面，

以为正交基底建立空间直角坐标系，

，

为中点，，

设平面的一个法向量为，

则，又，

，取，得，

设平面的一个法向量为，

则，又，

，取，得，

，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为，对应的正弦值为

20．(1)

(2)①证明见解析，定点；②

【分析】（1）由题意可得，，再结合，可求出，从而可求得椭圆的方程，

（2） ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或进而可求出定点，当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，

②设直线过定点为，则的面积，直线的方程为，代入椭圆方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，化简换元后利用基本不等式可求得结果

【详解】（1）由于，①

又，②

由①②解得，

椭圆的方程为.

（2）①在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由，消去得：，

设，则，.

又，由题知，

则，且，

则.

，

则，

或

当时，直线的方程为，

此时直线过定点，显然不适合题意，

当时，直线的方程为.

此时直线过定点.

当直线的斜率不存在时，若直线过定点，

点的坐标分别为.

满足.

综上，直线过定点.

②不妨设直线过定点为.则的面积，

设直线的方程为，联立椭圆的方程消去得，

则

所以.

令，则

因为，所以（当且仅当即），

所以，即面积的最大值为.

21．(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）通过定义即可得出的解析式，即可求出；

（2）求出的解析式，根据即可得出实数的取值范围；

（3）将证明转化为证任意，关于的方程有唯一解，通过求导得出函数的单调性和极值点，即可证明结论.

【详解】（1）由题意，

和是关于的“对称函数”，

∴，

∴.

（2）由题意及（1）得，

是关于的“对称函数”，

∴，

设，则，

∴.

另一方面，由于，

∴函数在上恰有一个驻点，

从而当时，比较和处的函数值得，.

因此，，

故，即.

（3）由题意，（1）及（2）得

原命题等价于证明：对任意，关于的方程有唯一解

考虑，则

当时，由知.

而当时，由于，

∴函数在区间上唯一极小值点，

∴

从而.

令，则.

∴函数在区间上有唯一的极小值点.

而，

∴.

综上，当时，，函数严格增.

从而对任意，关于的方程，

也即至多有一解.

由知，当时，

∴当且时，；

而当时，.

从而由零点存在定理，关于的方程，也即一定有解.

综上，对任意，关于的方程有唯一解.

【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：

（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；

（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；

（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.