上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺(3)数学试题(含解析)
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这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺(3)数学试题(含解析),共19页。试卷主要包含了填空题,单选题,解答题等内容,欢迎下载使用。
上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三模拟冲刺(3)数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、填空题1.已知一组数据的中位数为4,则其总体方差为___________.2.已知集合,,若,则实数值集合为______.3.已知向量,则在方向上的投影向量是______________.4.已知数列的前项和为,且满足对一切正整数成立.则__________.5.已知是关于的方程的两根,则__________.6.如图是甲、乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图,其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是__________. 7.已知,若,则______.8.若,则__________.9.现有一倒置圆锥形窗口,深24米,底面直径6米.以的速度向容器中注水,则当水深8米时,水面上升的速度为__________.10.一艘渔船航行到A处看灯塔B在A的北偏东75°,距离为海里,灯塔C在A的北偏西45°,距离为 海里,该船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东45°方向,则______海里.11.已知复数,其中.则的最小值为__________.12.已知,双曲线的左、右焦点分别为、,点在双曲线的右支上,且直线的斜率为.若,则__________. 二、单选题13.已知是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A. B.C. D. 三、解答题14.下列说法正确的是( )A.甲、乙两人做游戏;甲、乙两人各写一个数字,若是同奇数或同偶数则甲胜,否则乙胜,这个游戏公平B.做次随机试验,事件发生的频率就是事件发生的概率C.某地发行福利彩票,回报率为47%,某人花了100元买该福利彩票,一定会有47元的回报D.试验:某人射击中靶或不中靶,这个试验是古典概型 四、单选题15.两个平面与相交但不垂直,直线在平面内,则在平面内( )A.一定存在直线与平行,也一定存在直线与垂直;B.一定存在直线与平行,不一定存在直线与垂直;C.不一定存在直线与平行,一定存在直线与垂直;D.不一定存在直线与平行,也不一定存在直线与垂直16.对于无穷数列和正整数,若对一切正整数成立,则称具有性质.设无穷数列的前项和为,有两个命题:①若是等比数列且对一切正整数,数列都具有性质,则具有性质;②若是等差数列且存在无数个正整数,使得数列不具有性质,则的公差.那么( )A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 五、解答题17.某高校为增加应届毕业生就业机会,每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估,已知某年度参与评估的毕业生共有2000名.其评估成绩近似的服从正态分布.现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本,并把样本数据进行了分组,绘制了如下频率分布直方图:(1)求样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加三家公司的面试.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值.请利用估计值判断这2000名毕业生中,能够参加三家公司面试的人数;附:若随机变量,则,.18.在中,分别是角的对边.设,已知(1)求角的大小;(2)设,当时,求函数的最小值.19.如图,直三棱柱内接于圆柱,,平面平面(1)证明:是圆柱下底面的直径;(2)若为中点,为中点,求平面与平面所成二面角的正弦值.20.设椭圆的左顶点为,上顶点为.已知椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上异于点的两动点,若直线的斜率之积为.①证明直线恒过定点,并求出该点坐标;②求面积的最大值.21.设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意,点与点都关于点对称,则称是关于的“对称函数”.(1)若和是关于的“对称函数”,求;(2)已知是关于的“对称函数”.且对任意,存在,使得,求实数的取值范围;(3)证明:对任意,存在唯一的,使得和是关于的“对称函数”.
参考答案:1.【分析】先利用中位数的定义求出,然后由方差的计算公式求解即可.【详解】因为数据的中位数为4,所以,故,所以这组数据的平均数为,故方差为,故答案为:.2.【分析】由得到,则的子集有,,,,分别求解即可.【详解】因为,故;则的子集有,,,,当时,显然有;当时,;当,;当,不存在,所以实数的集合为;故答案为.3.【分析】在方向上的投影向量是:,先求出,代入即可.【详解】因为,则在方向上的投影向量是:故答案为:.4.4【分析】由与的关系公式,得到是一个等比数列,再求其,利用极限即可【详解】由可得,当时,,则;当时,,两式相减得,即,,所以数列是一个等比数列,首项,公比,所以,所以故答案为:45.【分析】先通过根与系数的关系得到的关系,再通过同角三角函数的基本关系即可解得.【详解】由题意:,所以,所以,即,解得.故答案为:.6./【分析】识别茎叶图,利用平均数和古典概型求概率公式求解即可.【详解】设被污损的数字为,则,且,甲的平均成绩为,乙的平均成绩为,因为,解得,故的可能值有个,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.故答案为:7.【解析】先由指数式化为对数式可得,,再利用即可求的值.【详解】由,可得:,,所以,则,故答案为:8.【分析】对两边同时取导数,再令,即可得出答案.【详解】由可得:①,对①两边同时取导可得:,令,可得,所以.故答案为:.9.5【分析】根据平行线分线段成比例可得水面半径和高关系,再由圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系,根据水深求出时间,对其求导即可的到水面上升的速度.【详解】设注入水后水面高度为,水面所在圆的半径为, ,即:,因为水的体积为,即,当时,,令,则,故,即当水深8米时,水面上升的速度为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率,可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢,故解决本题的关键是求出水深与时间的函数关系,水流入时间为时的瞬时变化率,即此时的导数值.10.【分析】利用方位角求出B的大小,利用正弦定理直接求解AD的距离,直接利用余弦定理求出CD的距离即可.【详解】如图,在△ABD中,因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上,距离为海里,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔 B在南偏东45°方向上,所以B=180°−75°−45°=60°由正弦定理,所以海里;在△ACD中,AD=,AC=,∠CAD=45°,由余弦定理可得:,所以CD=海里;故答案为:.11.【分析】根据复数所表示的几何意义得,再利用绝对值不等式即可得到答案.【详解】在图中作出复数,和的位置,分别为点,令复数所在复平面上的点为,易得,所以四边形为平行四边形,因为,所以四边形为菱形,,,所以复数所表示的点在线段上(包括端点),因为四边形为菱形,所以垂直平分,所以有.于是由三角不等式,,当且仅当,即时等号成立,此时.故答案为:4. 12.【分析】依题意求出,由直线的斜率为求出,设,,再由双曲线的定义,余弦定理及正弦定理计算可得.【详解】双曲线,即,所以,所以,又直线的斜率为,即,所以,显然为锐角,所以,,设,,则,另一方面,在中,由正弦定理,即,解得,代入上述方程组,解得,(负值舍去). 故答案为:13.B【分析】根据空间向量的基底性质——基底向量由三个不共面的非零向量构成,即不共线,以此作为判断依据.【详解】对于A. ,故A错误;对于B. 不共面,故B正确;对于C. ,故C错误对于D. ,故D错误故选:B14.A【详解】对于A,两人各写一个数字,则同奇数或同偶数的概率为,可知甲胜的概率为,反之乙胜的概率为,故游戏公平,故正确;对于B,概率为频率的趋近值;故错误对于C,中奖几率为随机事件发生的概率,具有随机性,所以不一定会有47元的回报;故错误对于D,古典概型的特点是:(1)实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.中靶与不中靶不是等可能的,故错误.故选:A15.C【分析】根据题意,由条件可得分两种情况:和,然后对选项逐一验证即可得到结果.【详解】设,则有两种情况:和,当时,在平面内不存在直线与平行,故AB错误;当时,在平面内一定存在直线与平行,也一定存在直线与垂直,当时,在平面内不存在直线与平行,由三垂线定理可知,一定存在直线与垂直,综上:不一定存在直线与平行,但一定存在直线与垂直,故C正确,D错误;故选:C16.C【分析】通过分析两种不同情况下数列时和的大小关系,分析数列是否具有性质,即可得出结论.【详解】由题意,对命题①,设数列的公比为.因为数列具有性质,所以对任意,也即.因此数列严格增,故①是真命题.对命题②,设等差数列的首项为.对每个使得数列不具有性质的正整数,存在正整数,使得则,从而因为是定值,所以当无限增大时,得到.故②是真命题.故选:.17.(1)70,161;(2)317.【分析】(1)根据频率分布直方图,结合平均数和方差的计算公式即可容易求得;(2)利用正态分布的概率求解,求得,再乘以,即可容易求得.【详解】(1)由所得数据绘制的频率直方图,得:样本平均数;样本方差;(2)由(1)可知,,,故评估成绩服从正态分布,所以.在这2000名毕业生中,能参加三家公司面试的估计有人.【点睛】本题考查由频率分布直方图求平均数和方程,正态分布的概率求解,属综合基础题.18.(1)(2)最小值 【分析】(1)利用向量的坐标运算和正弦定理即可求解;(2)先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简,再用辅助角公式化为,最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值.【详解】(1)由题意可得:,由正弦定理得:,则,可得,因为,则,可得,即,又因为,所以.(2)由(1)可得,则,由题意可得:,因为,则,可得,所以当,即时,有最小值.19.(1)证明见解析(2) 【分析】(1)连接,利用平面平面可得到平面,继而得到,结合可得到平面,所以,即可求证;(2)以为正交基底建立空间直角坐标系,计算出平面和平面的法向量,然后用夹角公式进行求解即可【详解】(1)连接,在直三棱柱中,,四边形为正方形,,又平面平面,平面平面平面,平面,又平面又平面平面,又平面,平面,又平面,为圆柱底面的直径.(2)由已知平面,以为正交基底建立空间直角坐标系,,为中点,,设平面的一个法向量为,则,又,,取,得,设平面的一个法向量为,则,又,,取,得,,所以平面与平面所成二面角的余弦值为,对应的正弦值为20.(1)(2)①证明见解析,定点;② 【分析】(1)由题意可得,,再结合,可求出,从而可求得椭圆的方程,(2) ①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入椭圆方程中消去,利用根与系数的关系,再结合化简可得,从而可得或进而可求出定点,当直线的斜率不存在时,若直线过定点,求出两点坐标,求解即可,②设直线过定点为,则的面积,直线的方程为,代入椭圆方程中,消去,利用根与系数的关系,从而可表示出,化简换元后利用基本不等式可求得结果【详解】(1)由于,①又,②由①②解得,椭圆的方程为.(2)①在(1)的条件下,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,由,消去得:,设,则,.又,由题知,则,且,则.,则,或当时,直线的方程为,此时直线过定点,显然不适合题意,当时,直线的方程为.此时直线过定点.当直线的斜率不存在时,若直线过定点,点的坐标分别为.满足.综上,直线过定点.②不妨设直线过定点为.则的面积,设直线的方程为,联立椭圆的方程消去得,则所以.令,则因为,所以(当且仅当即),所以,即面积的最大值为.21.(1)(2)(3)证明见解析 【分析】(1)通过定义即可得出的解析式,即可求出;(2)求出的解析式,根据即可得出实数的取值范围;(3)将证明转化为证任意,关于的方程有唯一解,通过求导得出函数的单调性和极值点,即可证明结论.【详解】(1)由题意,和是关于的“对称函数”,∴,∴.(2)由题意及(1)得,是关于的“对称函数”,∴,设,则,∴.另一方面,由于,∴函数在上恰有一个驻点,从而当时,比较和处的函数值得,.因此,,故,即.(3)由题意,(1)及(2)得原命题等价于证明:对任意,关于的方程有唯一解考虑,则当时,由知.而当时,由于,∴函数在区间上唯一极小值点,∴从而.令,则.∴函数在区间上有唯一的极小值点.而,∴.综上,当时,,函数严格增.从而对任意,关于的方程,也即至多有一解.由知,当时,∴当且时,;而当时,.从而由零点存在定理,关于的方程,也即一定有解.综上,对任意,关于的方程有唯一解.【点睛】方法点睛:根据函数的零点个数求解参数范围,一般方法:(1)转化为函数最值问题,利用导数解决;(2)转化为函数图像的交点问题,数形结合解决问题;(3)参变分离法,结合函数最值或范围解决.
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