上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三最后一模数学试题（含解析）

上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三最后一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知全集，集合，则______.

2．复数满足，则________.

3．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_________.

4．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面展开图的中心角为____________.

5．的二项展开式中系数最大的项为____.

6．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示:

根据上表建立线性回归方程，预测当广告费投入6万元时，销售额约为_______万元.

7．已知，且（为正整数），则______.

8．若的值域为，则至多有_______个零点.

9．以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是____.

10．从6人中选出4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有___________.（用数字作答）

11．已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则_________.

12．已知，对任意都有，则实数的最小值为______.

二、单选题

13．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（    ）

A．散点图 B．条形图 C．茎叶图 D．扇形图

14．已知，则函数的图像必定不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．设点满足，则“”是“为定值”的（     ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

16．若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:

（1）数列是某个数列的“衍生数列”；

（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（     ）.

A．（1）（2）均为真命题

B．（1）（2）均为假命题

C．（1）为真命题，（2）为假命题

D．（1）为假命题，（2）为真命题

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，面，，，点分别为的中点，，.

(1)证明：直线平面；

(2)求二面角的余弦值.

18．已知函数.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.

19．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，

甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域 .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在 上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为，在 上的概率为；对落点在 上的来球，小明回球的落点在上的概率为 ，在上的概率为 .假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.

20．已知坐标平面上左、右焦点为，的双曲线和圆．

(1)若的实轴恰为的一条直径，求的方程；

(2)若的一条渐近线为，且与恰有两个公共点，求a的值；

(3)设，若存在上的点，使得直线与恰有一个公共点，求的离心率的取值范围．

21．设函数.

(1)求函数在点处的切线方程;

(2)证明:对每个，存在唯一的，满足；

(3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足.

参考答案：

1．

【分析】根据补集的定义求解即可.

【详解】由全集，集合，

则.

故答案为：

2．

【分析】设出，利用得到方程组，解方程组求出，的值，从而可求出.

【详解】设，则，

所以则，

所以，解得：，所以，

故.

故答案为：

3．或

【分析】分截距为和不为两种情况讨论即可得解.

【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，

即直线过原点，又过，则直线方程为；

若截距不为，设在轴、轴上的截距为，

则直线方程为，

又直线过点，

则，解得，

所以此时直线方程为.

故答案为：或

4．180°/π

【分析】由题意首先确定展开图的母线长，然后利用弧度制的定义可得展开图的中心角.

【详解】设圆锥底面半径为r，由题意知母线为2r，圆锥的底面周长为，

则它的侧面展开图的弧长为：，

∴它的侧面展开图的圆心角：.

故答案为：π.

5．

【分析】设第项的系数最大，列不等式求，再由通项求解即可.

【详解】设展开式的第项的系数最大，

则，解得，

所以系数最大的项为第或第项，

所以系数最大的项为：

，

.

故答案为：

6．

【分析】首先求所给数据的平均数，得到样本中心点，利用回归系数公式求出回归系数，再根据回归直线过样本中心点，求出，再利用回归直线方程即可求出预测销售额.

【详解】因为，，

，

，

所以，

因为数据的样本中心点在线性回归直线上，

所以，

所以线性回归方程为，当时，，

所以广告费投入6万元时，销售额为万元.

故答案为：.

7．

【分析】利用已知关系式推导出是以为周期的数列，所以根据周期性即可求出结果.

【详解】因为，且，

所以，，

，，

，，，

所以是以为周期的数列，

因为，

所以.

故答案为：

8．4

【分析】分别代入、、，求出的解，即可得出答案.

【详解】当时，，

由可得，；

当时，，

由可得，或；

当时，，

由可得，或.

综上所述，的零点可能是或或或.

所以，的零点至多有4个.

故答案为：4.

9．

【分析】根据条件，进行以为圆心的动圆与两圆相外切和与圆外切，与圆内切，两种情况讨论，利用点的轨迹为椭圆，即可得出结果.

【详解】由题知，若以为圆心的动圆与两圆均外切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，

则，，

因，

所以此时点的轨迹不是椭圆，不符合题意；

若以为圆心的动圆与圆外切，与圆内切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，

则，，

因，

若点的轨迹为椭圆，

则，即，

且圆与圆不相交，即，

综上，若点的轨迹为椭圆，则.

故答案为：

10．240

【分析】根据题意，使用间接法，首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案.

【详解】由题意可得:首先从6人中选4人分别到四个城市游览有=360种不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有=60种，乙到巴黎游览的有=60种，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览的方案共有360-60-60=240种.

【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题，一般情况下可采取特殊情况优先考虑的策略，即直接法，有时也可以采用间接法来处理.

11．

【分析】不妨设点、，设点，可得出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，利用累加法求出数列的通项公式，由此可得出，即可得解.

【详解】不妨设点、，设点，

则数列满足，，，

所以，，

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，，

当时，

，

也满足，故对任意的，.

所以，.

故答案为：.

12．1

【分析】设出，，从而利用向量数量积公式结合三角函数恒等变换和有界性求出最值，得到答案.

【详解】可设，，其中，

则

，

因为，所以，

由于，，故

，

因为，所以，

又恒成立，故的最小值为1.

故答案为：1

【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用向量的几何意义将问题转化为几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

13．A

【分析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；

【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；

故选：A

14．A

【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.

【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，

且当越来越大时，图象与轴无限接近.

因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.

故选：A．

15．B

【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解.

【详解】若为定值，

即点到直线两条直线距离之和为定值，

显然，这两条直线平行，如图，

所以当点在与这两条直线平行的直线上时，此时直线满足且，

即，且，为定值，

所以“”是“为定值”的必要不充分条件.

故选：B

16．B

【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1），通过举反例判断（2）.

【详解】对于（1）：由题意，数列为无穷数列中的连续项，为有限项数列，

而数列的项数为无穷个，故数列不是某个数列的“衍生数列”，为假命题；

对于（2）：当数列为时，满足各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，为假命题.

综上，（1）（2）均为假命题.

故选：B

【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：

①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；

②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

17．(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得证；

（2）连接，即可求出、，从而得到，再由线面垂直的性质得到，即可得到平面，则二面角得平面角为，再由锐角三角函数计算可得.

【详解】（1）证明：点分别为的中点，

，

，，

平面，平面，

平面.

（2）解：，，

连接，由得，

，，

所以，

，

底面，底面，，

是平面内两相交直线，

平面，

平面，

二面角得平面角为，

，，，

所以二面角的余弦值为，

即二面角的余弦值为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.

（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.

【详解】（1）

令，则

所以，单调减区间是.

（2）由得：

，即，

由于，所以.

在中，，

，

于是，则，，

，所以.

19．（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

（II）机变量的分布列为：

数学期望

【详解】试题分析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）

则，

记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）

则，

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，

由题意，，

由事件的独立性和互斥性，即可得到小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率.

（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，

由事件的独立性和互斥性，得

可得随机变量的分布列为：

利用数学期望的计算公式得到

试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）

则，

记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）

则，

记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，

由题意，，

由事件的独立性和互斥性，

,

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.

（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，

由事件的独立性和互斥性，得

,

,

,

,

,

,

可得随机变量的分布列为：

所以数学期望

考点：随机变量的分布列与数学期望，互斥事件、独立事件的概率.

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）直接利用条件求出的值，进而求出，从而求出双曲线的方程；

（2）利用渐近线方程，求出与的关系，从而求出双曲线的方程，再利用双曲线和圆的对称性，将问题转化成方程只有一个解，从而求出的值；

（3）利用双曲一点的切线方程，根据条件，将问题转化成双曲线与圆有公共点，从而求出结果.

【详解】（1）因为的实轴恰为的一条直径，所以，即，又因为双曲线的左、右焦点为，，所以，

故双曲线的方程为；

（2）双曲线的渐近线为，所以由题知，

又，联立解得，

所以双曲线的方程为，

联立，消得到，

因为与恰有两个公共点，所以由双曲线和圆的对称性知，，

即，所以；

（3）设是双曲线上一点，当过的双曲线的切线斜率存在时，

设切线方程为，

由，消整理得，

由于是切点，所以是这个方程的二重实根，

由韦达定理有，

又因为，得到，

所以，

又，所以，

得到

化简得到，即，又易知，，

所以，所以切线方程为，即，

也即，又因为在双曲线上，所以，

所以切线方程为，

当切线斜率不存在时，

当时，过的曲线的切线方程为，

当时，过的曲线的切线方程为，均满足，

综上，过双曲线上一点的切线方程为，

又由题知，存在上的点，使得直线与恰有一个公共点，即为曲线的切线，

所点是双曲线与圆的公共点，

由，消得，

又因为，所以，

所以，

即，解得，

所以，得到.

【点睛】解决第（3）问的关健在于，利用过双曲线上一点的切线方程为，从而将问题转化成两曲线有公共点问题，进而求出结果.

21．(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，然后求解导数值即切线斜率，代入点斜式方程即可求解；

（2）根据，得函数在上是增函数，又，，根据零点存在性定理可证；

（3）由在上单调递增，可得，再减变形化简，利用放缩法得证.

【详解】（1），所以，

所以，又，

所以函数在点处的切线方程为，即；

（2）对每个，当时，

由函数，

可得，故函数在上是增函数.

由于，当时，，即.

又，

根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足；

（3）对于任意，由（1）中构成数列，当时，

，.

由在上单调递增，可得，即，故数列为减数列，

即对任意的，

由于      （1），

   （2）

用（1）减去（2）并移项，利用，可得

.

综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.