上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模数学试题（含解析）

上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，集合，则__________.

2．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则__________.

3．已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则__________.

4．在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．

5．已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．

6．设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.

7．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______    

8．函数在一个周期内的部分取值如下表：

则__________.

9．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是__________.

10．已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是__________.

11．在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是__________.

12．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：

①若为递增数列，则存在最大值；

②若为递增数列，则存在最小值；

③若，且存在最小值，则存在最小值；

④若，且存在最大值，则存在最大值.

其中所有错误结论的序号有_______．

二、单选题

13．已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．4

14．对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

15．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（    ）

A．个 B．2个 C．个 D．无数个

16．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.

(1)设为的中点，求证：；

(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.

18．某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

(2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：

（i）求的分布列和数学期望；

（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）

19．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？

(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？

(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.

20．在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.

（1）求的周长；

（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；

（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标.

21．数列满足，

(1)求的值；

(2)求数列前项和；

(3)令，，证明：数列的前项和满足．

参考答案：

1．

【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.

【详解】，

或，

所以.

故答案为：

2．

【分析】根据题意，由三角函数的定义即可得到结果.

【详解】由三角函数的定义可知.

故答案为：.

3．

【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，，则.

故答案为：

4．2

【分析】根据复数的几何意义可得，由乘法运算即可求解.

【详解】由题意可知 ，所以，

故答案为：2

5．

【分析】由已知可设C的标准方程为，由已知，解出双曲线的渐近线方程为，结合已知，即可得出答案.

【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上， 设C的标准方程为.

因为双曲线C经过点，所以，

则双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，C的标准方程为.

故答案为：.

6．7

【分析】根据等比数列的基本量计算以及求和公式可得，解不等式即可.

【详解】由的公比为 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值为7，

故答案为：7

7．

【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果.

【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分，

设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，，

故,

故答案为：.

8．/

【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果.

【详解】设函数的最小正周期为，

由题意可得：函数的最大值为，最小值为，

则，可得，且，解得，

可得，

因为，则，解得，

又因为，则，

可得，

所以.

故答案为：.

9．

【分析】由题意可知为圆直径，设， 利用向量运算可得，由此即可求出答案.

【详解】因为，所以为圆直径，

设，则，

所以,

故，

所以当 时，，，

故

故答案为：.

10．

【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围.

【详解】由题设，若，则，

所以，值域为R，函数图象如下：

当时，只有一个与之对应；

当时，有两个对应自变量，

记为，则；

当时，有三个对应自变量且；

当时，有两个对应自变量，

记为，则；

当时，有一个与之对应；

令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，

若有三个解，则，此时有7个解，不满足；

若有两个解且，此时和各有一个解，

结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；

若有一个解，则有两个解，此时，

所以对应的，

综上，.

故答案为：.

11．10

【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.

【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，

因为求跳跃次数的最小值，则只取，

设对应的跳跃次数分别为，其中，

可得

则，两式相加可得，

因为，则或，

当时，则次数为；

当，则次数为；

综上所述：次数最小值为10.

故答案为：10.

12．①③④

【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.

【详解】①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，

则函数不存在最大值，故①错误；

②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，

所以函数在区间的最小值是，故②正确；

③若，取,,

则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，

函数单调递减，无最小值，故③错误；

④若，取，则恒成立，

则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，

故④错误.

故答案为：①③④

13．C

【分析】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.

【详解】双曲线化为：，依题意，，解得，

因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2.

故选：C

14．C

【分析】根据函数图象的对称性求解参数，再利用充要条件的概念判断即可.

【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数与的图象，

则函数的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分，

根据图象令，解得，

分析可得其图象关于直线对称，

要使函数的图象关于直线对称，则t的值为，

当时，函数的图象关于直线对称，

所以“”是“函数的图象关于直线对称”的充分必要条件.

故选：C

15．C

【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.

【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

联立与，解得，

则将代入中，，解得，

当与平行时，满足要求，此时，

当与平行时，满足要求，此时，

综上，满足条件的的值共有3个.

故选：C

16．C

【分析】依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断.

【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点，

故第代芯片的产品良率为.

故选：C

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明线线垂直，利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面；

（2）首先设，，再以的中点为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式，列式求解.

【详解】（1）由题设知

因为平面 平面，平面 平面，，

所以平面．

因为平面，

所以.

因为为等边三角形，是的中点，

所以.

因为，平面，

所以平面．

所以.

（2）设，.

取的中点，的中点，连接，，

则，.

由（I）知平面，所以平面，

所以，.

如图建立空间直角坐标系，则

，，，．

所以， ，，，

.

设平面的法向量为，

则即

令，则，.于是.

因为直线和平面所成角的正弦值为，

所以，

整理得，

解得或.

因为，

所以，即.

18．(1)

(2)（i）分布列见解析，；（ii）.

【分析】（1）利用古典概型直接计算即可；

（2）（i）列出变量X的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii）计算方差，利用方差的含义直接判断即可.

【详解】（1）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，

则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，

该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为

（2）（i）随机变量可能的取值为0，1，2.

这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，.

时，若，有，，共3种，

若，有，共2种，

若，有，，，共4种，

故；

时，若，有，，共3种，

若，有，，共3种，

故；

时，若，有，，，共4种，

若，有共1种，

若，有共1种，

故.

则随机变量的分布列为：

所以的数学期望.

（ii）由（i）知，

这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，，3，1，，.

随机变量可能的取值为0，1，2，3.

时，若，有，，共3种，

若，有，共2种，

故；

时，若，有，，，共4种，

故；

时，若，有，，共3种，

若，有，，共3种，

故；

时，若，有，，，共4种，

若，有共1种，

若，有共1种，

故.

则随机变量的分布列为：

所以的数学期望.

所以，

因为，所以.

19．(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式；

（2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可.

【详解】（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题：

①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用与里程的函数关系式子；

②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算.

（2）由（1）中所建立的函数模型：

①由题意，当时；当时；当时.

故.

②若只能在路程的中点处停靠一次，则路费函数，即，分别作出函数图象.

由图象可得，与有交点，联立有，解得.

故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足公里时不停靠更划算，当路程不足公里时停靠更划算.

20．（1）；（2）；（3）或.

【分析】（1）由椭圆方程的性质可求的周长；（2）设，求出直线方程，解出点坐标，计算，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：到直线距离是到直线距离的3倍，求出的值，则点的坐标为与直线平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点.

【详解】解：（1）由椭圆方程可知：.

所以的周长为；

（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，

又，所以直线与的交点为，

，

当时，

（3）若，设到直线距离，到直线距离，

则，即，，，

可得直线方程为，

所以，.

由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，

设平行于的直线为，与直线的距离为，求得或，

当时，直线为，联立方程： ，可得，解得或，

当时，直线为，联立方程： 可得：，此时方程无解.

综上所述，点坐标为或.

21．(1)；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据已知条件，分别取n＝1，2，3即可依次算出；

(2)用作差法求出的通项公式，再求其前n项和；

(3)求，猜想，用数学归纳法证明；用导数证明，令，得，用这个不等式对放缩即可得证.

【详解】（1）依题，

；

（2）依题当时，，

，又也适合此式，

，

数列是首项为1，公比为的等比数列，故；

（3），，

，

，

，

猜想：  ①

下面用数学归纳法证明：

(i)当n＝1，2时，已证明①成立；

(ii)假设当时，①成立，即.

从而

.

故①成立.

先证不等式  ②

令，

则.

，即②成立.

在②中令，得到  ③

当时，；

当时，由①及③得：

.

证明完毕.

【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想，并用数学归纳法证明；根据结论构造不等式，令，得，然后用这个不等式对放缩.