上海市曹杨第二中学2023届高三模拟数学试题（含解析）

上海市曹杨第二中学2023届高三模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知为虚数单位，则复数的虚部是______．

2．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为______．

3．不等式的解集是______．

4．二项式展开中，项的系数为______．

5．已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为______．

6．抛物线的准线与圆相交于A、B两点，则______．

7．在平行四边形中，，．若，则______．

8．已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为______．

9．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.

10．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

11．设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为_______________________．

12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

二、单选题

13．记函数的最小正周期为T．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

14．从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ）

A． B． C． D．

15．上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（    ）

A．总体均值为25℃，中位数为23℃

B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃

C．总体中位数为23℃，众数为25℃

D．总体均值为25℃，总体方差为1℃

16．记函数，函数，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数 .判断如下两个命题真假：

①函数包裹函数的充要条件是；

②若对于任意对任意都成立，则函数包裹函数.

则下列选项正确的是（    ）

A．①真②假 B．①假②真 C．①②全假 D．①②全真

三、解答题

17．如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．

(1)求证：平面BDE∥平面B1D1F；

(2)连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．

18．已知数列，是其前项的和，且满足

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，求的表达式．

19．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如表：

并计算得，， ，，，，

(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；

(2)规定：数组满足为“Ⅰ类误差”；满足为“Ⅱ类误差”；满足为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．

附：相关系数，

20．如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，长轴长为．椭圆上有两点、，连接、，记它们的斜率为、，且满足．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求证：为一定值，并求出这个定值；

(3)设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点、，若和的面积相等，求点的横坐标．

21．已知函数．

(1)若是定义域上的严格增函数，求a的取值范围；

(2)若，，求实数a的取值范围；

(3)设、是函数的两个极值点，证明：．

参考答案：

1．

【分析】根据复数虚部的定义即可求解.

【详解】根据复数虚部的定义可知，复数的虚部是.

故答案为：

2．7

【分析】根据百分位数的定义即可求解.

【详解】将数据从小到大重新排列为 1,2,4,5,6,7,8,9 ，共8个数据，

由于，所以第70百分位数为7.

故答案为：7

3．

【分析】把分式不等式转化为，从而可解不等式.

【详解】因为，所以，解得或，

所以不等式的解集是.

故答案为：

4．

【分析】求得二项式展开式的通项，进而求得展开式中的系数.

【详解】由题意，二项式的通项为，

令，可得，

所以二项式展开式中的系数为.

故答案为：.

5．存在正数，使

【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.

【详解】由全称命题的否定为特称命题知：

存在正数，使.

故答案为：存在正数，使

6．2

【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解.

【详解】的准线方程为，圆心到直线的距离为，

所以弦长.

故答案为：2

7．/

【分析】利用平面向量的线性运算求出即可.

【详解】

由题意可得

，

所以，，所以.

故答案为：

8．1

【分析】根据，判断出是一个周期数列，从而求前项积即可.

【详解】,

，两式相除得：，

所以数列是以3 为周期的周期数列,由，，得：

记数列的前n 项积为 ,结合数列的周期性，，当时,

，

，

，

所以数列的前项积的最大值为1.

故答案为：1

9．

【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.

【详解】设球的半径为，因为球的体积为，所以有，

设两个圆锥的高分别为，于是有且，

所以有，设圆锥的底面半径为，

所以有，

因此这两个圆锥的体积之和为，

故答案为：

10．9

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．

【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式

由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

故答案为：.

［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式

由三角形内角平分线性质得向量式．

因为，所以，化简得，即，亦即，

所以，

当且仅当，即时取等号．

［方法三］：解析法＋基本不等式

如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．

下同方法一．

［方法四］：角平分线定理＋基本不等式

在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．

［方法五］：正弦定理＋基本不等式

在与中，由正弦定理得．

在中，由正弦定理得．

所以，由正弦定理得，即，下同方法一．

［方法六］： 相似＋基本不等式

如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．

由，得，即，从而．下同方法一．

【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；

方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；

方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；

方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；

方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；

方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．

11．

【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程.

【详解】如图所示：

因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，

因为，所以，

解得：.

【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率.

12．

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

13．C

【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.

【详解】根据最小正周期，可得，解得；

又，即是函数的一条对称轴，

所以，解得.

又，当时，.

故选：C

14．D

【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量.

【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.

故选：D.

15．D

【分析】对于AB，取连续五天的平均气温为可判断；对于C，取连续五天的平均气温为可判断；对于D，用反证法可验证.

【详解】对于A，如连续五天的平均气温为，满足总体均值为，中位数为，故A不正确；

对于B，如连续五天的平均气温为，满足总体均值为25℃，总体方差大于0℃，故B不正确；

对于C，如连续五天的平均气温为，满足总体中位数为23℃，众数为25℃，故C不正确；

对于D，当总体均值为，总体方差为 ，

若存在有一天气温低于，不妨令，

根据方差公式 ，

可得，

因为方差为1， 所以不可能存在有一天气温低于，故D正确.

故选：D

16．D

【分析】①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确；

②利用反证法证明可得，即，则函数包裹函数，即②正确.

【详解】①因为函数包裹函数，

所以，

又因为，所以，

所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确；

②假设，令，

则当时，，与题意中矛盾，

故假设不成立.所以，即，

所以函数包裹函数，故②正确.

故选：D.

17．(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证DE∥FB1，进而平面，同理平面，可证平面BDE∥平面B1D1F；

（2）利用向量法可求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．

【详解】（1）以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图

则B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B1（1，0，4），D1（0，1，4），F（1，1，2），

∵，

∴DE∥FB1，

平面，平面，

平面，

同理平面，

∵平面，平面，平面，

∴平面平面．

（2）同（1）建系，

设平面BDE的一个法向量为，

则，得，

不妨取z＝1，则，

又，

设直线B1D与平面BDE所成的角为θ，

故，

直线B1D与平面BDE所成的角为．

18．（1）见解析； （2）.

【分析】（1）时，由,得，然后利用，可得到，进而得到从而可以证明数列为等比数列；（2）由（1）可以得到的通项公式，代入可得到的表达式，进而利用分组求和即可求出的表达式．

【详解】（1）时，，所以，

当时，由,得，

则，

 即，

所以又，

故就是首项为，公比为3的等比数列，

则即.

（2）将代入得,

所以

   =.

【点睛】分组求和与并项求和法：

把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为的数列求和．

19．(1)，正相关性，相关性很强；

(2)分布列见解析；期望

【分析】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱；

（2）根据条件可知，，再根据超几何分别求分布列和数学期望.

【详解】（1）因为

，

由于样本相关系数非常接近于1，可以推断该地区汛期遥测雨量与人工测雨量，两个变量正线性相关，且相关程度很强.

（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，

从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为，则的可取值为0，1，2，3，

由题意可得，，，

，，

则的分布列为

所以

20．(1)

(2)证明见解析，

(3)点横坐标为

【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解、，然后求解，得到椭圆方程；

（2）设、，通过．结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．

（3）通过，推出，转化求解点的横坐标即可．

【详解】（1）由已知条件，设椭圆，则，解得，

椭圆．

（2）证明：设、，则，整理得，

由，∴，

∵，

解得，将其代入，为定值.

（3）设、，由椭圆的对称性可知，，

∵，∴，

∴，∴或者，

或者．

∵，∴或者（舍），

解得：，

∴点横坐标为．

【点睛】易错点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．(1)；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）先求出函数的导数，由是定义域上的严格增函数转化为在其定义域恒成立，再参变分离，利用基本不等式求得最值，进而求解即可；

（2）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；

（3）由题意要证，只要证，涉及到转化的思想，令，，求的最小值即可求得结果.

【详解】（1）依题意，.           

若是定义域上的严格增函数，

则对于恒成立，即对于恒成立，

而，当且仅当，即时，等号成立.

所以，即a的取值范围为；

（2）由（1）知.           

①当时，在上，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.        

②当时，令，得，解得，，

所以当时，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.

③当时，判别式，所以，

所以在上单调递增，所以.

综上，实数a的取值范围是.

（3）由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极大值点，是的极小值点.

由（2）知，，，则.

综上，要证，只需证，

因为

，

设，.        

所以，

所以在上单调递增，所以.

所以，即得成立．

所以原不等式成立.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．