2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三冲刺模拟4数学试题含解析

2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三冲刺模拟4数学试题

一、填空题

1．集合，则_____．

【答案】

【分析】联立得方程组，解出即可.

【详解】由题意得，故.

故答案为：.

2．以点为直径的圆的一般式方程为______________．

【答案】

【分析】根据为直径，得到直径和圆心坐标，然后写方程即可.

【详解】因为，，所以，中点坐标为，所以以为直径的圆的标准方程为，展开得一般式方程为.

故答案为：.

3．设关于的不等式的解集为，则__________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.

【详解】因为关于的不等式的解集为，

所以一元二次方程的两个根为，

所以根据韦达定理可得，解得，

所以，

故答案为: .

4．设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．

【答案】

【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.

【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，

因为其一条渐近线为，

所以，.

故答案为：

【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.

5．设等差数列的前项和为，若，则__________.

【答案】24

【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．

【详解】是等差数列，

∴，，

．

故答案为：24.

6．中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________．

【答案】

【分析】先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算.

【详解】

上下底面对角线的长度分别为： ， 高h ，

上底面的面积 ，下底面的面积 ，

四棱台的体积 ；

故答案为： .

7．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集.

【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，

所以，，由可得，

因为函数的定义域为，所以，，解得，

所以，，则，

由可得，解得.

因此，不等式的解集为.

故答案为：.

8．如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．

【答案】180

【详解】按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；

第二步B区域有4种颜色可选；

第三步C区域有3种颜色可选；

第四步由于D区域可以重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选．

由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．

9．若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数__________.

【答案】

【分析】关于的方程恰有两个不同的实数解，可转化为函数与有两个交点，因，故，结合图象，两个函数在时有1个交点，故两个函数在有且只有一个交点，故与相切，可得.

【详解】  

如图，显然.

当时，由单调性得，方程有且仅有一解.

因此当时，方程也恰有一解.

即为函数的切线，

，

令得，

故当时，，

得，即

从而.

故答案为：

10．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.

【答案】

【解析】首先设 (，且)，代入方程，化简为，再分和两种情况求验证是否成立.

【详解】设，(，且)

则原方程变为.

所以，①且，②；

（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；

从而，此时或3，故满足条件；

（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，

所以.

综上满足条件的所以复数的和为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数.

11．已知平面上的点满足，则__________.

【答案】

【分析】根据双曲线和圆的定义，求出所在曲线的的方程，联立方程组，求出的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.

【详解】以中点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，

则，

因为，，

所以点､分别在以，为焦点的双曲线的右支和左支上，且，，

所以，，

所以双曲线方程为；

因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，

即点在圆上，

因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，

即点在圆上，

联立，因为，可求，

联立，因为，可求，

因为，，

故.

故答案为：.

12．已知平面向量满足，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】将向量坐标化，利用平面向量的数量积的坐标运算求解即可.

【详解】不妨设，

因为，所以.

所以，

由得，，

，所以，

所以，

因为，所以，

故答案为:.

二、单选题

13．已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得抛物线标准方程，再去求其准线方程即可解决.

【详解】抛物线的焦点，

由，可得，不妨令

则，解之得

则抛物线方程为，其准线方程为

故选：B

14．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较

【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件

故选：B

15．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（   ）

A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件

C． D．

【答案】D

【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B同时发生的情况数，得到，判断出A错误，

同理可得B错误；

利用条件概率求解公式得到C错误，D正确.

【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法，

事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有种，

若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有种，共有种，

∴，

同理，

若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有种，

∴，故事件A与B不相互独立，A错误；

同理可得，，

若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，

若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，

综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有种，

故，B错误；

，D正确；

事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有种，

若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有种，共有种，

∴，

若事件A，C同时发生，

若丙丁2人都去往体育馆③，有种，

若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，

综上：事件A，C同时发的情况有种，

∴，，C错误；

故选：D

16．设为无穷数列.若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“-低调数列”.有以下两个命题：①是-低调数列当且仅当；②若存在，使得为2-低调数列，则.那么（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题

【答案】C

【分析】根据“-低调数列”的定义验证即可.

【详解】对于数列，

若该数列为-低调数列，因均小于，故.

反之，当时，，

即该数列为-低调数列.故①是真命题.

对于数列，显然.

若存在使得该数列为2-低调数列，则对一切正整数恒成立.

若，则当时，（*）不成立；

若，取即可；

若，则，取即可.

综上，②是真命题.

故选：C.

三、解答题

17．已知数列，是其前项的和，且满足

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，求的表达式．

【答案】（1）见解析； （2）.

【分析】（1）时，由,得，然后利用，可得到，进而得到从而可以证明数列为等比数列；（2）由（1）可以得到的通项公式，代入可得到的表达式，进而利用分组求和即可求出的表达式．

【详解】（1）时，，所以，

当时，由,得，

则，

 即，

所以又，

故就是首项为，公比为3的等比数列，

则即.

（2）将代入得,

所以

   =.

【点睛】分组求和与并项求和法：

把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为的数列求和．

18．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；

(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面几何的知识推得，进而得到与，从而利用柱体与锥体的体积公式求得关于的表达式，由此得解；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，设，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面与平面的法向量与，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.

【详解】（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角，

所以，

因为，所以在等腰中，，

所以，

因为是圆柱的底面直径，所以，则，

所以，则，即，

所以在等腰，，平分，则，

所以，则，

故在中，，，则，

在中，，

因为是圆柱的母线，所以面，

所以，

，

所以．

（2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，

则，

所以，，，

因为，所以，

则，

设平面的法向量，则，即，

令，则，故，

设平面的法向量，则，即，

令，则，故，

设二面角的平面角为，易知，

所以，

因此二面角的余弦值为．

19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中）

(1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？

(2)根据（1）的结果回答下列问题：

（i）建立关于的回归方程；

（ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？

(3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

(3)10

【分析】（1）根据所给数据求出相对应的相关系数，即可判断；

（2）（i）由（1）及所给数据求出、，即可得到回归方程；（ii）将代入计算即可；

（3）依题意，可得，令，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.

【详解】（1）因为的线性相关系数，

的线性相关系数，

，

更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.

（2）（i）依题意，可得，

，

，关于的回归方程为.

（ii）当时，金属含量的预报值为.

（3）因为，

令，则，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值，

故为10时，开采成本最大.

20．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且椭圆的离心率为.直线与椭圆相交于两点，线段的中垂线交椭圆于两点.

(1)求的标准方程；

(2)求线段长的最大值；

(3)证明：为定值，并求此定值.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析，0

【分析】（1）根据题意求出，即可得解；

（2）设，联立，根据求得的范围，再利用韦达定理求出，从而可求得的中点的坐标，即可求得直线的方程，再联立方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式计算即可得解；

（3）结合（2）根据数量积的坐标表示化简整理即可得证.

【详解】（1）根据题意得，，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，

由，整理得，

所以，解得，

设的中点，则，

所以的中垂线方程为：，即直线的方程为，

由，整理得，

所以，

所以

，

又因为，所以当时，；

（3）由（2）可知，，

所以

.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.

(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；

(2)若是函数，求正数的取值范围；

(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.

【答案】(1)是函数,不是函数，理由见解析

(2)

(3)“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件，理由见解析

【分析】（1）根据“函数”的定义结合函数的奇偶性以及单调性判断即可；

（2）令，利用导数讨论其单调性即可求解；

（3）先用特殊函数作为反例说明“在上严格减”不是“为函数”的必要条件，再构造，，，利用导数与单调性、最值的关系证明，根据单调性定义即可证明“在上严格减”是“为函数”的充分条件.

【详解】（1）设，

所以，

所以和均为定义在上的奇函数.

当时，函数严格减，故是函数.

而当和时，，故不是函数.

（2），

设，定义域为，

，

所以是定义在上的奇函数.

当时，不是函数，下设.

当时，令，

则.

再设，则.

设，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以，即恒成立，

所以当时，，

所以当时，；当时，.

因为，所以当时，

当时，，即恒成立，则函数严格单调递增，

当时，，即恒成立，则函数严格单调递减，

所以正数的取值范围是.

（3）证：函数是定义在上的奇函数，

且在上严格减，故为函数.

但当或时取值相等，

从而不是上严格减的函数.

故“在上严格减”不是“为函数”的必要条件.

下证“在上严格减”是“为函数”的充分条件.

对任意，定义.

则由得，且由严格减得,

当时，，

故当时，，即.

现任取，考虑.

则，且当时，.

由关于函数的讨论知，此时.

故当时，，

即：对任意，.

移项得，故在上严格减，

即为函数.

综上，“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于证明的导函数恒成立，在中，再设，则，利用常用不等式

以及的取值范围即可确定的符号，进而可确定的符号；本题第三问的关键在于构造函数，，，利用导数与单调性、最值的关系证明，根据单调性的定义即可证明.