2023届上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学高三5月模拟冲刺（一）数学试题含解析

2023届上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学高三5月模拟冲刺（一）数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则__________．

【答案】

【分析】根据集合定义以及交集含义即可得到答案.

【详解】根据题意得，又，.

故答案为：.

2．已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为__________．

【答案】10.8

【分析】根据题设及百分位数的求法，得到第80百分位数所在的位次，找到对应位次上的数，即为所求.

【详解】由题设知：数据共有12个,则，即第80百分位数在第10位,

第80百分位数是10.8.

故答案为：10.8.

3．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．

【答案】.

【详解】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.

详解：由题意可得，所以，因为，所以

点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；

(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.

4．已知，，若与互为共轭复数，则________．

【答案】

【分析】化简复数，再利用共轭复数的概念，可得，的值，即可得答案；

【详解】，

，，

，

故答案为：.

【点睛】本题考查复数四则运算及共轭复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.

5．已知无穷等比数列中，，，则__________．

【答案】/

【分析】设等比数列的公比为，利用题意得到的通项公式和求和公式，即可求出答案

【详解】设等比数列的公比为，

所以由可得，即，解得，

所以，

所以的前项和为，所以

故答案为：

6．有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念．若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中的2人恰为1男1女的概率是__________．

【答案】/

【分析】根据组合数公式结合古典概率公式即可得到答案.

【详解】设选中的2人恰为1男1女为事件，

故，

故答案为：.

7．不等式的解集是__________．

【答案】

【分析】移项通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.

【详解】，即，即，

则，根据穿根法解得，

故答案为：.

8．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】根据函数解析式列出不等式组求解即可．

【详解】因为 ，即，解得，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

9．的展开式中的系数为______________．

【答案】24

【分析】的展开式中来自于三类:①中的二次项与的常数项的乘积;②中的常数项与的二次项的乘积;③中的一次项与的一次项的乘积.

【详解】展开式中项为，

∴的系数为24．

故答案为:24

10．某校组织“杭州亚运会”知识竞赛，元元从3道选择题和2道填空题中不放回地每次随机抽取1道作答．记事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到填空题”，则__________．

【答案】/0.75

【分析】利用条件概率的定义，结合古典概型的概率公式求解即可.

【详解】当第二次抽到填空题且第一次抽到选择题，共有种;

当第二次抽到填空题，第一次抽到是填空题时有种，故总数为8种，

则，

故答案为：．

11．已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据向量数量积的定义可设，且，再根据的范围得到关于的不等式，解出即可.

【详解】由题意得，

即，

由题意,可设.则

因为，，是空间中两两不同的三个单位向量，故，即，

则有.

则，即，

于是，即，解得.

而，所以的取值范围是.

故答案为：.

12．设，．以点为焦点，直线为准线的抛物线交抛物线于两点．则直线的斜率为__________．

【答案】或

【分析】两抛物线的焦点相同，得出两点到两准线的距离相等，因此均在两准线所成四个角的角平分线上，求其斜率即可.

【详解】抛物线的焦点也是，故由抛物线的定义得两点到两准线和的距离相等，因此均在两准线所成四个角的角平分线上，且.

设直线的倾斜角为，，，

如图，当为直线时，设其切斜角为，

由，，得，

，此时直线的斜率为3.

当为直线时，又，此时直线的斜率为.

则直线的斜率为或.

故答案为：或.

【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是两抛物线的焦点相同，根据抛物线的定义得出直线为两准线所成四个角的角平分线，题目偏难，灵活性强，学生不容易想到.

二、单选题

13．，，，，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立；

必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立.

因此，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

14．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【详解】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．

【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．

15．设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出．

【详解】设，，因为，，

所以，，

由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则．

故选：B．

16．已知奇函数及其导函数的定义域均为，且对一切成立．关于数列，，…，有以下两个论断：①存在，使得数列中恰有112项为1；②存在，使得数列中恰有448项为0．则（    ）

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题

【答案】A

【分析】利用和奇函数的性质得到的周期性，结合实例可判断①的正误，利用反证法可判断②的正误.

【详解】由题知，

，，

又是奇函数，

，，

，

则，所以，，故的周期为18，

设，则，

，，

故满足题设要求，而，令，

则，令，故，故①是真命题.

若为常数函数，则在上整零点的个数为0或2023，

故②为假命题；

若不为常数函数，设的最小正周期为，

则存在正整数，使得，故，则，

设在的整零点的个数为，在上整零点的个数为，

在上的整零点的个数为，其中，

则在的整零点个数为，

其中，

若，则，

当；当；当；

当，当，

若此时存在，使得在上整零点的个数恰为，

则，因均为的约数，且，

，故，但此时，

矛盾.

若，则，

若此时存在，使得在上整零点的个数恰为，

则，因均为的约数，且，

，故，但此时，

矛盾.

综上，不存在，使得在上整零点的个数恰为，

所以①是真命题，②是假命题.

故选：A

三、解答题

17．三棱柱中，平面，且，，，为中点.

（1）求四面体的体积；

（2）求平面与所成锐二面角的余弦.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）改为为底易求得高，从而易得体积；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦．

【详解】解：（1）作于，

因为平面，平面，所以，而，

所以平面，为到平面的距离，

又三棱柱中平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，

中，，，所以，

.

（2）设为中点，为中点，则，平面，

以射线，，为非负，，轴.建立空间直角坐标系，

则，，，，.

∴，，，.

设平面的一个法向量是，

则，取，则，

设平面的一个向量是，则取，则，

.

故平面与平面所成锐二面角的余弦为.

【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积，常常用换底法求解，要求换底后，高易求得即可．求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法计算，这种方法把空间想象与逻辑推理转化为运算求解．

18．函数f（x）＝（sinx+cosx）2cos（2x+π）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且a＝2，求△ABC的面积．

【答案】（1）π；（2）．

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数为f（x）=2sin（2x）+1，再利用周期公式求解；

（2）先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，然后利用三角形的面积公式求解．

【详解】（1）f（x）＝（sinx+cosx）2cos（2x+π）＝1+sin2xcos2x＝2sin（2x）+1，

∴函数f（x）的最小正周期Tπ；

（2）f（）＝2sin（A）+1＝1，sin（A）＝0，

∵2A，

∴A0，即A，

由正弦定理以及sinC＝2sinB可得c＝2b，

由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b，

∴c，

∴S△ABCbcsinA．

【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，还考查了转化思想和运算求解的能力，属于中档题．

19．为了解某地观众对“中国诗词大会”的收视情况，某机构随机抽取了100名观众进行调查，其中女性观众55名．定义日均收看该节目时间不低于40分钟的观众为“诗词迷”．已知“诗词边”中有15名男性，非“诗词边”共有75名．

(1)根据调查结果，判断是否有的把握认为“诗词迷”与性别有关？

(2)采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查，再从这5人中任取2人奖励“诗词大礼包”．以表示获得“诗词大礼包”的男性人数，表示获得“诗词大礼包”的女性人数．记，求的分布和期望．

附：，；．

【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）绘制列联表，由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；

（2）根据题意确定随机变量的取值情况，利用超几何的概率公式求解概率，然后完成分布列求解数学期望即可．

【详解】（1）在抽取的100人中“非诗词迷”共有75名,则“诗词迷”有25名，又女性有55名，

从而完成2×2列联表如下所示：

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得，

所以没有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关；

（2）由题意采用分层抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人，则男性3名，女性2名，从5人中任意选取2人

当时，，当，，当，.

所以的所有取值为0，2，所以，

所求分布为：

所以期望.

20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．

(1)求的标准方程；

(2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值；

(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)存在，理由见解析.

【分析】（1）根据离心率，以及，结合，即可求得曲线方程；

（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明；

（3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可.

【详解】（1）由题可得，故可得，则，

故的标准方程为.

（2）由（1）中所求可得点，的坐标分别为，

又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零，

故设其方程为，，

联立双曲线方程可得：，

设点的坐标分别为，

则，

，

；

又直线方程为：，令，则，

故点的坐标为；

直线方程为：，令，则，

故点的坐标为；

则

故为定值.

（3）当直线斜率不存在时，

对曲线，令，解得，

故点的坐标为，此时，

在三角形中，，故可得，

则存在常数，使得成立；

当直线斜率存在时，

不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则，，

假设存在常数，使得成立，即，

则一定有：，也即；

又；；

又点的坐标满足，则，

故

；

故假设成立，存在实数常数，使得成立；

综上所述，存在常数，使得恒成立.

【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题.

21．已知，，.

(1)若，，写出曲线的一条水平切线的方程；

(2)若，使得，，，形成等差数列，证明：；

(3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答.

（2）利用反证法结合均值不等式依次证明作答.

（3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答.

【详解】（1）当，时，，求导得，

由，即，得，此时，

所以所求水平切线的方程为.

（2）依题意，只需证明：，

而，，，成等差数列，则，

即，

此时，若，则，从而有，

又，且由知等号不成立，因此，与矛盾，

于是，同理，

所以.

（3）依题意，，

当时，，函数在上严格递增，

从而当时，有唯一零点，

当时，，其中，而函数在上严格递增，

则当时，，而当时，，

于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增，

又，因此当且时，；

当且时，，而，

从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点，

所以的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.