数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后测评

点点练27  空间点、线、面的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　

一    基础小题练透篇

1.以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

2.

如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)

A．点A

B．点B

C．点C但不过点M

D．点C和点M

3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1D1，AB，C1D1的中点，则直线A1G，EF所成角的余弦值为(　　)

A．     B．    C．    D．

4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点，则下列说法正确的是(　　)

A．MN＝EF，且MN与EF平行

B．MN≠EF，且MN与EF平行

C．MN＝EF，且MN与EF异面

D．MN≠EF，且MN与EF异面

5．已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l⊥α，m⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中所有正确的命题是(　　)

A．①③    B．①④    C．②③    D．①②③④

6．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　)

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，一定在平面α内

D．有无数条，不一定在平面α内

7．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).

8．如图，在四棱锥P­ABCD中，O为CD上的动点，VP­OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．

二     能力小题提升篇

1.[2022·辽宁省实验中学高三模拟]如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是(　　)

A.AB与CF成45°角

B．BD与EF成45°角

C．AB与EF成60°角

D．AB与CD成60°角

2．[2022·广西柳州市高三摸底]三棱锥P­ABC中，若PA＝PB＝PC，则P在底面ABC上的投影O为△ABC的(　　)

A．垂心    B．外心    C．内心    D．重心

3.

[2022·浙江省金华高三模拟]已知四面体A­BCD，AB＝，BC＝BD＝2，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于E，BF⊥AD于F，则(　　)

A．AC可能与EF垂直，△BEF的面积有最大值

B．AC不可能与EF垂直，△BEF的面积有最大值

C．AC可能与EF垂直，△BEF的面积没有最大值

D．AC不可能与EF垂直，△BEF的面积没有最大值

4．[2022·山西省大同市高三摸底]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点(点P与A1，C1不重合)，则下列说法不正确的是(　　)

A．BD⊥CP

B．三棱锥C­BPD的体积为定值

C．过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形

D．DP与平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大为

5.

如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．

6．[2022·西安模拟]如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是____________．

三      高考小题重现篇

1.[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

2．[全国卷Ⅱ]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A．    B．    C．    D．

3．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是________．

①p1∧p4　    ②p1∧p2

③¬p2∨p3　    ④¬p3∨¬p4

4．[2019·北京卷]已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．(答案不唯一)

四    经典大题强化篇

1.已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；

(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

2．[2022·福建厦门质检]如图，在多面体ABCDEF中，AD，BE，CF均垂直于平面ABC，AC＝BC，AD＝2，BE＝4，CF＝3.

(1)过CF的平面α与平面ABED垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；

(2)若∠ACB＝120°，AB＝4，求多面体ABCDEF的体积．