2022-2023学年甘肃省武威二十三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省武威二十三中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知下列各式，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知三组数据：，，；，，；，，，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，则(    )

A.   B.   C.  D.

5.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，那么阴影部分的面积是矩形的面积的(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在矩形中，对角线，交于点已知，，则图中长度为的线段有(    )

 

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

8.  ▱中，，是对角线上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  在平行四边形中，对角线、相交于点，，，则边的长度的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是(    )

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是矩形
C. 当时，它是菱形
D. 当时，它是正方形

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  若，则的取值范围是______．

12.  已知中，、分别是、边上的中点，且，则______．

13.  若，则 ______ ．

14.  如图，在中，，点，分别是，边上的中点，连接，如果，，那么的长是______

15.  如图，正方形中，，，则数轴上点表示的数是______．

 

16.  如图，矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，，，则的长为______ ．

17.  菱形的周长为，对角线和相交于点，：：，则菱形的面积为______ ．

18.  年月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图，它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，下列说法：
；；；．
其中正确结论序号是______ ．

 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：
；
；
；
．

21.  本小题分
阅读下列题目的解题过程：已知、、为的三边，且满足，试判断的形状．
解：@，
，
，
是直角三角形．
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______ ；
错误的原因为______ ；
写出本题正确的解题方法．

22.  本小题分
如图，是平行四边形，是上一点，且和分别平分和．
求的度数；
如果，，求的周长．

23.  本小题分
如图是由边长为的小正方形组成的网格
求四边形的面积；
判断与的位置关系，并说明理由．

24.  本小题分
如图，已知四边形是矩形，点，，，分别是，，，的中点．
求证四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

25.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，，点、分别是、上的一动点，且满足，是的中点．
求证：是等腰直角三角形；
当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由．

26.  本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点．
求证：；
若菱形的边长为，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，故A不是最简二次根式；
原式，故B不是最简二次根式；
原式，故C不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，即，
构不成直角三角形；
，，即，
构成直角三角形；
，，即，
构成直角三角形；
则构成直角三角形的有：．
故选：．
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的简便方法是：两个较小的数的平方和等于最大数的平方即为直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以选项错误，不符合题意；
B.因为，所以选项错误，不符合题意；
C.因为，所以选项错误，不符合题意；
D.因为，所以选项正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式性质对选项进行判断；
根据二次根式的减法对选项进行判断；
根据二次根式的乘法对选项进行判断；
根据二次根式的除法对选项进行判断．
本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
则原式，
故选：．
先根据、的值计算出、的值，再代入原式计算可得．
本题主要考查分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身分母只有一项或与原分母组成平方差公式．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，．
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
在与中，
，
≌，
阴影部分的面积，
与同底且的高是高的，
．
故选：．
本题主要根据矩形的性质，得≌，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，以及等边三角形的判定与性质．因为矩形的对角线相等且互相平分，所以，已知，所以，从而从而可求出线段为的线段．
【解答】
解：在矩形中，，
．
，，
，
，
共有条线段为．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】
解：如图，连接与相交于，

在▱中，，，
A.若，则，即，所以四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；

B.若，则无法证明四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C.，则，
又，
在和中，

≌，
，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D.在▱中，，，
，
，
在和中，

≌，
，然后同可得四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
边的长度的取值范围是：，
即．
故选：．
由在平行四边形中，对角线、相交于点，，，根据平行四边形的性质，可求得与的长，然后由三角形三边关系，求得边的长度的取值范围．
此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项正确；
C、四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是选项；
故选：．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，解得．
故答案为：．
根据非负数的性质列出关于的不等式，求出的值即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，、分别是、边上的中点，
是三角形的中位线，
，
．
故答案为：．
由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可．
本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，



．
故答案为：．
由题意可得：，把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：点，分别是，边上的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理可得的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得的长，进一步即可求出的长．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
点在数轴上原点的左边，
点表示的数是，
故答案为：．
在直角三角形中根据勾股定理求得的值，即的值，进而求出数轴上点表示的数
本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于点，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
设，则，，
在中，
，
，解得，
即的长为．
故答案为．
先根据折叠的性质得，再利用矩形的性质得，则，所以，根据等腰三角形的判定定理得，
设，则，，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，周长为，
，，，，
：：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：负数舍去，
即，，
，，
菱形的面积是，
故答案为：．
由菱形性质得出，，，，由勾股定理得出、，由菱形面积公式求出即可．
此题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：直角三角形的斜边长是，则，
大正方形的面积是，即，正确；
小正方形的面积是，
，即，
则，
，
故正确；
根据图形可以得到，，
故不成立，故错误，明显错误．
故答案是：．
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积，即四个直角三角形的面积和，从而判断．
本题考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】分子分母因式分解，除法化为乘法即可解决问题；
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的法则，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

20.【答案】解：原式
；
原式

；
原式
；
原式
． 

【解析】先计算乘法，再化为最简二次根式，最后合并即可；
利用平方差公式计算；
先计算乘法及除法，再化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据负指数幂、零指数幂、立方根、绝对值的性质和二次根式的性质进行化简，然后再进行加减计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算及实数的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂的意义是解决问题的关键．
 

21.【答案】  除式可能为零 

【解析】解：，
，
当时，，当时，无法得到，
故答案为：；
当时，等式不能两边同时除以，
故答案为：除式可能为零；
，
，
，且，或，
当时，，
当时，为直角三角形，
当时，，为等腰三角形，
故是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
根据等式的性质进行判断即可；
根据题目中到可知没有考虑的情况；
根据和两种情况进行解答即可．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
 

22.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
又和分别平分和，
，
在中，
；

平分，
，
，


是等腰三角形，

同理：
即，
在中，，，

的周长是． 

【解析】根据平行四边形性质得出，，推出，求出，在中求出即可；
求出，，求出，即可求出答案．
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
 

23.【答案】解：由题意可知四边形的面积大正方形的面积四个小直角三角形的面积；
，理由如下：
，，，
，
是直角三角形，
， 

【解析】根据四边形的面积大正方形的面积四个小直角三角形的面积计算即可；
，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可．
本题考查了三角形的面积公式和勾股定理的逆定理的运用．
 

24.【答案】证明：如图，连接，，
点，是，的中点，
，，
同理可证，，
，
同理可证，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
解：如图，连接，，
则，，
四边形面积． 

【解析】连接、，由三角形中位线定理和矩形的性质证出，即可得出结论；
连接、，则，，由菱形面积公式即可得出答案．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，矩形的判定定理是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接
是等腰直角三角形，是的中点
，，，
在和中，
，
≌，
，，

，即，
为等腰直角三角形；

解：当点运动到的中点时，四边形是正方形；理由如下：
，，为中点，
，，，
是等腰直角三角形，
当为的中点时，，即，
又，，
四边形为矩形，
又，
矩形为正方形邻边相等的矩形为正方形． 

【解析】连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明≌，得到，，则是等腰三角形；由，得出，得到是直角三角形，从而证出是等腰直角三角形；
若四边形是正方形，则，得到点是的中点．
本题考查正方形的判定：邻边相等的矩形为正方形．也考查了等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

26.【答案】证明：为菱形，
，．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．  
．
在菱形中，，
为等边三角形，
．
在矩形中，
．
在中，
． 

【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得即可；
根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．