2022-2023学年甘肃省酒泉市肃州二中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省酒泉市肃州二中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如果，则下列不等式中不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  函数的图象如图所示，当时，的值是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若等腰三角形中有两边长分别为和，则这个三角形的周长为(    )

A.  B. 或 C.  D.

7.  将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ，， D.

10.  在中，，，，将沿方向平移到，与交于点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11.  用不等式表示：与的差不大于的倍：______．

12.  分解因式：______．

13.  用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设________

14.  若是一个完全平方式，则的值是______．

15.  在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，把向右平移个单位长度得到，则点坐标为______ ．

16.  关于的不等式组的解集为，则的值为______．

17.  如图，点在内且到三边的距离相等．若，则______度．

18.  如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集为          ．

 

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

19.  在平面直角坐标系中，为坐标原点，点位于第二象限，点位于第三象限，且为整数．
求点和点的坐标；
若点为轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求的值．

四、解答题（本大题共6小题，共39分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
两个城镇、与两条公路、位置如图所示，电信部门需在处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，那么点应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹

21.  本小题分
解不等式与不等式组并把解集表示在数轴上．
；
．

22.  本小题分
分解因式：
；
．

23.  本小题分
在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标；
将绕原点逆时针旋转得到，请画出旋转后的，并写出点的坐标．

24.  本小题分
如图，是等边三角形，分别在、边上取点、，且，连接、相交于，于，，．
求证：≌；
求的长．

25.  本小题分
某文具商店销售功能相同的、两种品牌的计算器，购买个品牌和个品牌的计算器共需元；购买个品牌和个品牌的计算器共需元．
求这两种品牌计算器的单价；
学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：品牌计算器按原价的八折销售，品牌计算器个以上超出部分按原价的七折销售，设购买个品牌的计算器需要元，购买个品牌的计算器需要元，分别求出、关于的函数关系式；
小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

2.【答案】 

解：、正确，不符合题意；
B、正确，不符合题意；
C、应该是，此选项不正确，符合题意；
D、正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解；、是整式的乘法，故A错误；
B、，故B分解错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选；．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．
 

4.【答案】 

解：在中，，的垂直平分线交于，，
，
，
平分，
，，
．
在中，，，，
．
故选B．
先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出，再由角平分线定义得出，，利用三角形内角和定理求出，然后在中根据角所对的直角边等于斜边的一半得出．
本题考查的是含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

解：由函数的图象可知，当时，函数图象在轴上方，
故当时，的值是．
故选B．
直接根据函数的图象进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图形，利用数形结合解答是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

解：若为腰长，为底边长，
由于，则三角形不存在；
若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

7.【答案】 

解：，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项不符合题意；
D.，故该选项符合题意；
故选：．
根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法，进行因式分解，据此即可一一判定．
本题考查了利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

解：，，
，
绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，
，等于旋转角，
为等边三角形，
，
即旋转角度为．
故选：．
先利用互余得到，再根据旋转的性质得，等于旋转角，然后判断为等边三角形得到，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明为等边三角形，
 

9.【答案】 

解：：：：：，，
最大角，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
，
，不能求出的一个角是直角，
即不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，三角形的内角和等于，如果三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

10.【答案】 

解：如图，过点作于点，

，，
，
将沿方向平移到，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
解得，
．
故选：．
过点作于点，根据平移的性质求得是等腰三角形，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意抓住关键词语，弄清不等关系．与的差为，不大于即小于等于，的倍为，据此列不等式．
【解答】
解：由题意得：；

故答案为．

12.【答案】 

解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】一个三角形中有两个角是直角 

解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
 

14.【答案】 

解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故答案为：．
根据完全平方式得出，再求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
 

15.【答案】 

解：把向右平移个单位，点的纵坐标不变，横坐标增加个单位，
点横坐标为，
即点坐标为，
故答案为：．
根据平移的性质以及坐标的变化规律计算即可．
本题考查了坐标的平移变化，熟练掌握平移变化规律是解题关键．
 

16.【答案】 

解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
，

故答案为：．
求出不等式组的解集，根据已知得出，从而求出的值．
本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出．
 

17.【答案】 

解：点在内且到三边的距离相等，
平分，平分，
，，
，
，
，
，


．
故答案为：．
利用角平分线的性质得到平分，平分，则，，再根据三角形内角和定理可得到，然后把代入计算即可．
本题考查了角平分线的性质，也考查了三角形内角和定理．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
观察函数图象得到，当，函数的图象都在函数图象的上方，于是可得到关于的不等式的解集．
【解答】
解：当，函数的图象在函数图象的上方，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：．  

19.【答案】解：点位于第二象限，点位于第三象限，且为整数，
，
，
为整数，
，
，；
，，
，
点为轴上一点，且是以为底的等腰三角形，
，
，
，
解得，．
的值为或． 

【解析】根据坐标系的特点得出不等式组解答即可；
根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形的性质、两点距离公式，掌握这几个知识点的熟练应用是解题关键．
 

20.【答案】解：作出线段的垂直平分线；
作出角的平分线；
它们的交点即为所求作的点个． 

【解析】仔细分析题意，寻求问题的解决方案．
到城镇、距离相等的点在线段的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点．
由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点有个．
本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点有个，注意避免漏解．
 

21.【答案】解：，
移项得，
合并同类项得，
化简得，
解集用数轴表示为：
，
去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
化简得去括号得，
移项合并同类项得，
化简得，
故原不等式的解集为，
解集用数轴表示为：． 

【解析】先将含未知数的项移到等号左边，然后合并同类项，最后按照不等式的性质化简；
分别解不等式组中的两个不等式，然后找出两组解集的公共部分即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．
 

22.【答案】解：

；


． 

【解析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；
先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标为；

如图，即为所求，点的坐标为． 

【解析】本题考查了作图旋转变换依据平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
利用网格特点和平移的性质写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点得到；
根据绕原点逆时针旋转得到，得到点、、的位置，然后描点即可．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在与中，
，
≌；

解：≌，
，
又，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】由等边三角形的性质得到，，再由证明≌即可；
根据全等三角形的性质和三角形外角的性质证明，再由含度角的直角三角形的性质得到，则．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：设、两种品牌的计算器的单价分别为元、元，
根据题意得，，解得：，
答：种品牌计算器元个，种品牌计算器元个；
品牌：；
品牌：当时，，
当时，，
综上所述：
，
；

当时，，解得，即购买个计算器时，两种品牌都一样；
当时，，解得，即购买超过个计算器时，品牌更合算；
当时，，解得，即购买不足个计算器时，品牌更合算． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，品牌计算器难点在于要分情况讨论，先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键．
设、两种品牌的计算器的单价分别为元、元，然后根据元，元列出二元一次方程组，求解即可；
品牌，根据八折销售列出关系式即可，品牌分不超过个，按照原价销售和超过个两种情况列出关系式整理即可；
先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．