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2022-2023学年甘肃省定西市岷县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年甘肃省定西市岷县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. 32B. −10C. a2+1D. a
2.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )
A. 1.5，2，2.5B. 3，4，5C. 5，12，13D. 20，30，40
3.下列各式中能与 3合并的二次根式的是( )
A. 6B. 32C. 23D. 12
4.下面说法正确的是( )
A. 3+ 3=3 3B. 2⋅ 3= 5C. 27÷ 3=3D. 4=±2
5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
6.如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O.点E是CD的中点，BD=6，则△DOE的周长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 10
7.在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，则AB，AC，BC之间的数量关系正确的是( )
A. AC2−BC2=AB2B. AC2+BC2=AB2
C. AC2+AB2=BC2D. AB2+BC2=AC2
8.下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.已知y= 2x−5+ 5−2x−3，则2xy的值为
( )
A. −15B. 15C. −152D. 152
10.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值是( )
A. 3.65B. 2.42C. 2.44D. 2.65
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. 2× 6= ．
12.在四边形ABCD中，已知AB//CD，请补充一个条件______，使得四边形ABCD是平行四边形．
13.如图，已知OA=OB，BC⊥AC于点C.点O对应的数是0，点C对应的数是−2，AC=1，那么数轴上点B所表示的数是______．
14.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积若S1=9，S2=22，则S3=______．
15.正方形面积为36，则对角线的长为______．
16.平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD=______cm．
17.如果 (2a−1)2=1−2a，则______．
18.如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：
(1)3 5+2 12− 20−12 32
(2)( 2−1)2+(1+ 2)(1− 2)
四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
已知x= 5+ 7，y= 5− 7，求代数式x2+y2的值．
21.(本小题6分)
如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE=CF，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
22.(本小题6分)
《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着地处离竹子根部6尺远，问：折处离地还有多高的竹子？(1丈=10尺)
23.(本小题6分)
在等腰△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D．
(1)若∠A=40°，求∠DCB的度数；
(2)若BC=15，CD=12，求AC的长．
24.(本小题8分)
如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积．
25.(本小题8分)
我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
(1)这个中点四边形EFGH的形状一定是______；
(2)若AC=BD，证明四边形EFGH是菱形．
26.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．
27.(本小题10分)
阅读下列解题过程：1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1；1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
1 4+ 3= 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3；…则：
(1)1 10+ 9= ______；
(2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子1 n+ n−1= ______；
(3)利用这一规律计算：(1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 2023+ 2022)( 2023+1)的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】[分析]
根据二次根式的定义判断各式是否为二次根式即可．
本题考查了二次根式的定义，注意判断二次根式的方法：二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，一般地，形如 aa⩾0的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义进行解答．
[详解]
解：A.是三次根式；故本选项错误；
B.被开方数−10<0，不是二次根式；故本选项错误；
C.被开方数a2+1>0，符合二次根式的定义；故本选项正确；
D.被开方数a<0时，不是二次根式；故本选项错误；
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：A、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、202+302≠402，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】D
【解析】解：A． 6与 3不是同类二次根式，不能合并；
B. 32=3，与 3不是同类二次根式，不能合并；
C. 23= 63，与 3不是同类二次根式，不能合并；
D. 12=2 3，与 3是同类二次根式，可以合并；
故选：D．
先化简各二次根式，再根据同类二次根式的概念逐一判断即可得．
本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4.【答案】C
【解析】解：A.3与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 2与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C.原式= 27÷3=3，所以C选项符合题意；
D.原式=2，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB−EB=10−4=6m，
在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2=10(m)，
故小鸟至少飞行10m．
故选：B．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
根据平行四边形的对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=12BC，所以易求△DOE的周长．
【解答】
解：∵▱ABCD的周长为20，
∴2(BC+CD)=20，则BC+CD=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，
∴OD=OB=12BD=3．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=12CD，
∴OE=12BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=12BD+12(BC+CD)=3+5=8，
即△DOE的周长为8．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°
∴∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2
故选：B．
根据三角形内角和定理可得∠C=90°，进而根据勾股定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；
②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；
③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：
④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；
故选：C．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查算术平方根的非负性，解答本题的关键是求出x和y的值．
首先根据算术平方根的非负性求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．
【解答】
解：要使二次根式有意义，则2x−5≥05−2x≥0,
解得x=52，
故y=−3，
∴2xy=2×52×(−3)=−15．
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：
∵相邻的两个直角三角形全等，即△ACB≌△BDE，
∴BC=DE，AC=BD，
∴根据勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，
同理：S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，
∴S1+S2+S3+S4=2.44，故选C．
观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
本题考查了勾股定理的知识，其包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
11.【答案】2 3
【解析】【分析】
根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则 a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)．
【解答】
解： 2× 6
= 2×6
= 12
=2 3．
12.【答案】AB=CD或AD//BC
【解析】解：可补充的条件是AB=CD或AD//BC，
理由是：∵在四边形ABCD中，已知AB//CD，
∴根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
可补充一个条件：AB=CD．
∵AB//CD，AD//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形(有两组对边分别平行线且相等的四边形是平行四边形，
即可补充一个条件是：AD//BC，
故答案为：AB=CD或AD//BC．
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．即可选出答案．(答案不唯一)
此题主要考查学生对平行四边形的判定这一知识点的理解和掌握，此题答案不唯一，可根据已知条件，选一个最简单的填入即可．
13.【答案】− 5
【解析】【分析】
本题考查了数轴和勾股定理．能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．
首先根据勾股定理得：OB= 5，即OA= 5，又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是− 5．
【解答】
解：由图可知，OC=2，BC⊥AC，垂足为C，AC=1，
故OB=OA= 22+12= 5，
∵B在x的负半轴上，
∴数轴上点B所表示的数是− 5．
故答案为− 5．
14.【答案】13
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=AC2，S3=BC2，S2=AB2，
∴S3=S2−S1=22−9=13，
故答案为：13．
根据勾股定理和正方形的面积公式计算．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15.【答案】6 2
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．设正方形的边长为x，利用正方形的面积公式得到x2=36，解得x=6，然后根据等腰直角三角形的性质计算正方形的对角线的长．
【解答】
解：设正方形的边长为x，
根据题意得x2=36，解得x1=6，x2=−6(舍去)
即正方形的边长为6，
所以正方形的对角线的长为 62+62=6 2．
故答案为6 2．
16.【答案】4
【解析】解：∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC−AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
17.【答案】a≤12
【解析】解：∵ (2a−1)2=1−2a，
∴1−2a≥0，
解得：a≤12，
故答案为：a≤12．
根据 x2=|x|≥0，再列不等式解题即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握 x2=|x|≥0是解本题的关键．
18.【答案】30
【解析】【分析】
本题考查勾股定理，以及圆的面积，观察图形的特点，用各面积相加减，可得出阴影部分的面积.根据勾股定理求出AB的长，即可用减法求出阴影部分的面积．
【解答】
解：由勾股定理AB= 52+122=13，
根据题意得：S阴影=12π(122)2+12π(52)2+12×5×12−12π(132)2=30．
故答案为30．
19.【答案】解：(1)原式=3 5+ 2−2 5−2 2
= 5− 2；
(2)原式=2−2 2+1+1−2
=2−2 2．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：∵x= 5+ 7,y= 5− 7，
∴x+y=2 5，xy=−2，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20
∴x2+y2=20−2xy=20−2×(−2)=24．
【解析】根据x= 5+ 7,y= 5− 7，可以得到x+y和xy的值，然后将所求式子变形，再将x+y和xy的值代入计算即可．
本题考查因式分解的应用，以及求代数式的值、二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和二次根式的运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴ED//BF，
又∵AE=CF，
且ED=AD−AE，BF=BC−CF，
∴ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
由平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，由已知得到ED=BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
22.【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(18−x)尺，
根据勾股定理得：x2+62=(18−x)2，
解得：x=8，
答：原处还有8尺高的竹子．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(18−x)尺．利用勾股定理解题即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
23.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠DBC=70°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=90°−70°=20°；
(2)Rt△BCD中，BD= BC2−CD2= 152−122=9，
设AC=AB=x，则AD=x−9，
∵Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴(x−9)2+122=x2，
解得x=22518=12.5，
∴AC=12.5．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理即可求得；
(2)根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程，即可得到AC的长．
此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，并列方程求解是解本题的关键．
24.【答案】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，
∴AC=5米，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积−△ACD的面积=12×5×12−12×3×4=24(平方米)．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键，同时考查了直角三角形的面积公式．
连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
25.【答案】平行四边形
【解析】(1)解：连接AC、BD，如图所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF//AC，GH//AC，
∴EF//GH，
同理可得：EH//GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
(2)证明：如图，连接AC、BD，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH//BD，EH=12BD，FG//BD，
EF//AC，EF=12AC，HG//AC，
∴EF//GH，EH//GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH是菱形．
(1)根据中位线的性质得出EF//AC，GH//AC，根据平行公理得出EF//GH，同理得出EF//GH，即可得出答案；
(2)先根据中位线性质证明EF//GH，EH//GF，得出四边形EFGH为平行四边形，再根据AC=BD，得出EH=EF，证明平行四边形EFGH是菱形．
本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法．
26.【答案】解：(1)证明：
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE,
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=DB，
∵D是BC的中点，
∴DB=CD，
∴AF=DC，
∵AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
D是BC的中点
∴AD=CD=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF//BC，
AF=BD=CD，
∠BAC=90°，
∴S菱形ADCF=CD⋅h
=12BC⋅h
=S△ABC
=12AB⋅AC
=12×6×8=24．
法二、
连接DF
∵AF=DB，
AF//DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=8，
∴S菱形ADCF=12AC⋅DF
=12×6×8=24．
答：菱形ADCF的面积为24．
【解析】(1)先根据全等三角形的判定与性质推出AF=DB，进而得到四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形的性质即可证明四边形ADCF是菱形；
(3)根据菱形的面积公式即可求菱形ADCF的面积．
本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，掌握平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
27.【答案】 10−3 n− n−1
【解析】解：(1)1 10+ 9= 10− 9( 10+ 9)( 10− 9)= 10− 9= 10−3，
故答案为： 10−3；
(2)原式= n− n−1( n+ n−1)( n− n−1)
= n− n−1n−(n−1)
= n− n−1；
故答案为： n− n−1；
(3)原式=( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2023− 2022)( 2023+1)
=( 2023−1)( 2023+1)
=2023−1
=2022．
(1)仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
(2)仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
(3)先根据已知得到( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2023− 2022)( 2023+1)，合并后根据平方差公式即可求解．
本题主要考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类，理解题意找到规律是解题关键．
1.在下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. 32B. −10C. a2+1D. a
2.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )
A. 1.5，2，2.5B. 3，4，5C. 5，12，13D. 20，30，40
3.下列各式中能与 3合并的二次根式的是( )
A. 6B. 32C. 23D. 12
4.下面说法正确的是( )
A. 3+ 3=3 3B. 2⋅ 3= 5C. 27÷ 3=3D. 4=±2
5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )
A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米
6.如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O.点E是CD的中点，BD=6，则△DOE的周长为( )
A. 6B. 7C. 8D. 10
7.在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，则AB，AC，BC之间的数量关系正确的是( )
A. AC2−BC2=AB2B. AC2+BC2=AB2
C. AC2+AB2=BC2D. AB2+BC2=AC2
8.下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.已知y= 2x−5+ 5−2x−3，则2xy的值为
( )
A. −15B. 15C. −152D. 152
10.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值是( )
A. 3.65B. 2.42C. 2.44D. 2.65
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. 2× 6= ．
12.在四边形ABCD中，已知AB//CD，请补充一个条件______，使得四边形ABCD是平行四边形．
13.如图，已知OA=OB，BC⊥AC于点C.点O对应的数是0，点C对应的数是−2，AC=1，那么数轴上点B所表示的数是______．
14.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积若S1=9，S2=22，则S3=______．
15.正方形面积为36，则对角线的长为______．
16.平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD=______cm．
17.如果 (2a−1)2=1−2a，则______．
18.如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：
(1)3 5+2 12− 20−12 32
(2)( 2−1)2+(1+ 2)(1− 2)
四、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
已知x= 5+ 7，y= 5− 7，求代数式x2+y2的值．
21.(本小题6分)
如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE=CF，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
22.(本小题6分)
《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着地处离竹子根部6尺远，问：折处离地还有多高的竹子？(1丈=10尺)
23.(本小题6分)
在等腰△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D．
(1)若∠A=40°，求∠DCB的度数；
(2)若BC=15，CD=12，求AC的长．
24.(本小题8分)
如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块地的面积．
25.(本小题8分)
我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
(1)这个中点四边形EFGH的形状一定是______；
(2)若AC=BD，证明四边形EFGH是菱形．
26.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．
27.(本小题10分)
阅读下列解题过程：1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1；1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
1 4+ 3= 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3；…则：
(1)1 10+ 9= ______；
(2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子1 n+ n−1= ______；
(3)利用这一规律计算：(1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 2023+ 2022)( 2023+1)的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】[分析]
根据二次根式的定义判断各式是否为二次根式即可．
本题考查了二次根式的定义，注意判断二次根式的方法：二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，一般地，形如 aa⩾0的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义进行解答．
[详解]
解：A.是三次根式；故本选项错误；
B.被开方数−10<0，不是二次根式；故本选项错误；
C.被开方数a2+1>0，符合二次根式的定义；故本选项正确；
D.被开方数a<0时，不是二次根式；故本选项错误；
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：A、1.52+22=2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、202+302≠402，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】D
【解析】解：A． 6与 3不是同类二次根式，不能合并；
B. 32=3，与 3不是同类二次根式，不能合并；
C. 23= 63，与 3不是同类二次根式，不能合并；
D. 12=2 3，与 3是同类二次根式，可以合并；
故选：D．
先化简各二次根式，再根据同类二次根式的概念逐一判断即可得．
本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4.【答案】C
【解析】解：A.3与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 2与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C.原式= 27÷3=3，所以C选项符合题意；
D.原式=2，所以D选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB−EB=10−4=6m，
在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2=10(m)，
故小鸟至少飞行10m．
故选：B．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．
根据平行四边形的对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=12BC，所以易求△DOE的周长．
【解答】
解：∵▱ABCD的周长为20，
∴2(BC+CD)=20，则BC+CD=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，
∴OD=OB=12BD=3．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=12CD，
∴OE=12BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=12BD+12(BC+CD)=3+5=8，
即△DOE的周长为8．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°
∴∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2
故选：B．
根据三角形内角和定理可得∠C=90°，进而根据勾股定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；
②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；
③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：
④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；
故选：C．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查算术平方根的非负性，解答本题的关键是求出x和y的值．
首先根据算术平方根的非负性求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．
【解答】
解：要使二次根式有意义，则2x−5≥05−2x≥0,
解得x=52，
故y=−3，
∴2xy=2×52×(−3)=−15．
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：
∵相邻的两个直角三角形全等，即△ACB≌△BDE，
∴BC=DE，AC=BD，
∴根据勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，
同理：S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，
∴S1+S2+S3+S4=2.44，故选C．
观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
本题考查了勾股定理的知识，其包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
11.【答案】2 3
【解析】【分析】
根据二次根式的乘法法则计算，结果要化简．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则 a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)．
【解答】
解： 2× 6
= 2×6
= 12
=2 3．
12.【答案】AB=CD或AD//BC
【解析】解：可补充的条件是AB=CD或AD//BC，
理由是：∵在四边形ABCD中，已知AB//CD，
∴根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
可补充一个条件：AB=CD．
∵AB//CD，AD//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形(有两组对边分别平行线且相等的四边形是平行四边形，
即可补充一个条件是：AD//BC，
故答案为：AB=CD或AD//BC．
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．即可选出答案．(答案不唯一)
此题主要考查学生对平行四边形的判定这一知识点的理解和掌握，此题答案不唯一，可根据已知条件，选一个最简单的填入即可．
13.【答案】− 5
【解析】【分析】
本题考查了数轴和勾股定理．能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．
首先根据勾股定理得：OB= 5，即OA= 5，又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是− 5．
【解答】
解：由图可知，OC=2，BC⊥AC，垂足为C，AC=1，
故OB=OA= 22+12= 5，
∵B在x的负半轴上，
∴数轴上点B所表示的数是− 5．
故答案为− 5．
14.【答案】13
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵S1=AC2，S3=BC2，S2=AB2，
∴S3=S2−S1=22−9=13，
故答案为：13．
根据勾股定理和正方形的面积公式计算．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15.【答案】6 2
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理以及正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．设正方形的边长为x，利用正方形的面积公式得到x2=36，解得x=6，然后根据等腰直角三角形的性质计算正方形的对角线的长．
【解答】
解：设正方形的边长为x，
根据题意得x2=36，解得x1=6，x2=−6(舍去)
即正方形的边长为6，
所以正方形的对角线的长为 62+62=6 2．
故答案为6 2．
16.【答案】4
【解析】解：∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC=10cm；
又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，
∴BC−AB=2cm，
解得：AB=4cm，BC=6cm．
∵AB=CD，
∴CD=4cm
故答案为：4．
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
17.【答案】a≤12
【解析】解：∵ (2a−1)2=1−2a，
∴1−2a≥0，
解得：a≤12，
故答案为：a≤12．
根据 x2=|x|≥0，再列不等式解题即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握 x2=|x|≥0是解本题的关键．
18.【答案】30
【解析】【分析】
本题考查勾股定理，以及圆的面积，观察图形的特点，用各面积相加减，可得出阴影部分的面积.根据勾股定理求出AB的长，即可用减法求出阴影部分的面积．
【解答】
解：由勾股定理AB= 52+122=13，
根据题意得：S阴影=12π(122)2+12π(52)2+12×5×12−12π(132)2=30．
故答案为30．
19.【答案】解：(1)原式=3 5+ 2−2 5−2 2
= 5− 2；
(2)原式=2−2 2+1+1−2
=2−2 2．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：∵x= 5+ 7,y= 5− 7，
∴x+y=2 5，xy=−2，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20
∴x2+y2=20−2xy=20−2×(−2)=24．
【解析】根据x= 5+ 7,y= 5− 7，可以得到x+y和xy的值，然后将所求式子变形，再将x+y和xy的值代入计算即可．
本题考查因式分解的应用，以及求代数式的值、二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和二次根式的运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴ED//BF，
又∵AE=CF，
且ED=AD−AE，BF=BC−CF，
∴ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
由平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，由已知得到ED=BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
22.【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(18−x)尺，
根据勾股定理得：x2+62=(18−x)2，
解得：x=8，
答：原处还有8尺高的竹子．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(18−x)尺．利用勾股定理解题即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
23.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠DBC=70°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=90°−70°=20°；
(2)Rt△BCD中，BD= BC2−CD2= 152−122=9，
设AC=AB=x，则AD=x−9，
∵Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴(x−9)2+122=x2，
解得x=22518=12.5，
∴AC=12.5．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理即可求得；
(2)根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程，即可得到AC的长．
此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，并列方程求解是解本题的关键．
24.【答案】解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，
∴AC=5米，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积=△ABC的面积−△ACD的面积=12×5×12−12×3×4=24(平方米)．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC是直角三角形是解题的关键，同时考查了直角三角形的面积公式．
连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，那么△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
25.【答案】平行四边形
【解析】(1)解：连接AC、BD，如图所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF//AC，GH//AC，
∴EF//GH，
同理可得：EH//GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
(2)证明：如图，连接AC、BD，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH//BD，EH=12BD，FG//BD，
EF//AC，EF=12AC，HG//AC，
∴EF//GH，EH//GF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH是菱形．
(1)根据中位线的性质得出EF//AC，GH//AC，根据平行公理得出EF//GH，同理得出EF//GH，即可得出答案；
(2)先根据中位线性质证明EF//GH，EH//GF，得出四边形EFGH为平行四边形，再根据AC=BD，得出EH=EF，证明平行四边形EFGH是菱形．
本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法．
26.【答案】解：(1)证明：
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE,
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=DB，
∵D是BC的中点，
∴DB=CD，
∴AF=DC，
∵AF//DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
D是BC的中点
∴AD=CD=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF//BC，
AF=BD=CD，
∠BAC=90°，
∴S菱形ADCF=CD⋅h
=12BC⋅h
=S△ABC
=12AB⋅AC
=12×6×8=24．
法二、
连接DF
∵AF=DB，
AF//DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=8，
∴S菱形ADCF=12AC⋅DF
=12×6×8=24．
答：菱形ADCF的面积为24．
【解析】(1)先根据全等三角形的判定与性质推出AF=DB，进而得到四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形的性质即可证明四边形ADCF是菱形；
(3)根据菱形的面积公式即可求菱形ADCF的面积．
本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，掌握平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
27.【答案】 10−3 n− n−1
【解析】解：(1)1 10+ 9= 10− 9( 10+ 9)( 10− 9)= 10− 9= 10−3，
故答案为： 10−3；
(2)原式= n− n−1( n+ n−1)( n− n−1)
= n− n−1n−(n−1)
= n− n−1；
故答案为： n− n−1；
(3)原式=( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2023− 2022)( 2023+1)
=( 2023−1)( 2023+1)
=2023−1
=2022．
(1)仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
(2)仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
(3)先根据已知得到( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2023− 2022)( 2023+1)，合并后根据平方差公式即可求解．
本题主要考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类，理解题意找到规律是解题关键．
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