专题17 电感感应中动量、能量问题-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）

专题17  电感感应中动量、能量问题

【例题】（2023·福建漳州·统考二模）如图甲，abcd和a′b′c′d′为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，ab段和a′b′段间距为2L，cd段和c′d′段间距为L、整个导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，bcc′b′左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，bcc′b′右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，图中t0为已知量，两根相同金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc′之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一不可伸长绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，重物离地面的高度为L，细绳处于伸直状态且与M杆垂直，t=0时刻释放重物，同时在N杆中点处施加一水平拉力，使两杆在0~t0时间内均处于静止状态。已知M、N杆和重物的质量都为m，不计导轨电阻，重力加速度为g。

（1）求0~t0时间内回路的感应电动势E；

（2）求0~t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的函数关系式；

（3）从t0时刻开始，保持拉力F不变，若重物下落的过程中，回路产生的总热量为Q，求重物落地时N杆的速度大小v。

“双轨＋双杆”模型

如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上．t＝0时，ab棒以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd棒始终与导轨垂直并接触良好．

模型分析：双轨和两导体棒组成闭合回路，通过两导体棒的感应电流相等，所受安培力大小也相等，ab棒受到水平向左的安培力，向右减速；cd棒受到水平向右的安培力，向右加速，最终导体棒ab、cd共速，感应电流消失，一起向右做匀速直线运动，该过程导体棒ab、cd组成的系统所受合外力为零，动量守恒：mabv0＝（mab＋mcd）v共，若ab棒、cd棒所在导轨不等间距，则动量不守恒，可考虑运用动量定理求解．

【特别提醒】

等距导轨上的双棒模型

题型二　动量定理在电磁感应中的应用

关于电磁感应的一些问题中，物体做变加速运动，无法直接应用运动学公式或动能定理求解时，特别是涉及到求电荷量，变加速运动的时间、位移时，可用动量定理解决.

练后反馈

1、　单棒＋电阻模型

2、　不等距导轨上的双棒模型

3、　棒＋电容器模型

【变式训练】（2023·福建厦门·统考二模）如图所示，间距均为L的光滑平行倾斜导轨与光滑平行水平导轨在M、N处平滑连接，虚线MN右侧存在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。a、b为两根粗细均匀的金属棒，a棒质量为m，长度为L、电阻为R，垂直固定在倾斜轨道上距水平面高h处；b棒质量为2m、长度为L、电阻为2R，与水平导轨垂直并处于静止状态。a棒解除固定后由静止释放，运动过程中与b棒始终没有接触，不计导轨电阻，重力加速度为g，求：

（1）a棒刚进入磁场时产生的电动势大小；

（2）当a棒的速度大小变为刚进入磁场时速度的一半时，b棒的加速度大小；

（3）整个运动过程中，b棒上产生的焦耳热。

1．（2023·河北保定·高三校考期末）如图所示，固定光滑平行轨道abcd的水平部分处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为2d，cd段轨道宽度为d，bc段轨道和cd段轨道均足够长，将质量分别为2m、m，有效电阻分别为2R、R的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且均与轨道垂直，金属棒Q原来处于静止状态。现让金属棒P从距水平轨道高为h处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度大小为g，求：

（1）金属棒Q的最大加速度am；

（2）回路中产生的总焦耳热Qm。

2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根质量均为m，电阻均为R的金属棒P、Q放置在足够长的倾斜平行长直金属导轨和上，两导轨间距为L，倾角，两金属棒与导轨间的动摩擦因数均为，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直斜向上。金属棒Q通过不可伸长的轻绳跨过光滑的轻质定滑轮与质量为的重物相连，轻绳与导轨平面平行，重物离地面足够高。初始时，两金属棒处于静止状态，细绳处于绷直状态，用外力使重物保持静止，现撤去外力，使重物下落，重物下落h时，金属棒P恰好相对斜面开始运动。设金属棒与导轨始终接触良好，导轨电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度大小为g，试求

（1）金属棒P恰好要运动时，金属棒Q的速度大小；

（2）重物从静止释放至下落h过程，金属棒P产生的焦耳热以及金属棒Q运动的时间；

（3）两金属棒最终的速度差值。

3．（2023·辽宁丹东·高三统考期末）如图所示，质量的足够长金属导轨放在绝缘水平面上。质量的导体棒PQ垂直放置在导轨上，在导轨之间的电阻，且始终与导轨接触良好，构成矩形。棒与导轨间和导轨与水平面间的动摩擦因数均为，棒左侧有两个固定于水平面的立柱（棒不会向左运动）。导轨宽度，导轨电阻忽略不计。以为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小为。用水平向左的恒力垂直作用在导轨的边上，使导轨由静止开始向左运动。（）

（1）当导轨向左运动的速度为（未达到最大速度）时，求导体棒PQ受到的安培力；

（2）经过足够长时间后，导轨的速度达到稳定值，求该速度；

（3）若导轨从静止开始运动到达到稳定速度这一过程中，回路中产生的焦耳热为，则此过程中通过导体棒PQ的电荷量q。

4．（2023·山东日照·日照一中校考模拟预测）如图所示，间距均为的两段水平光滑导轨和足够长的倾斜导轨平行固定，两段水平导轨通过外层绝缘的导线交叉连接，倾斜导轨底端接有阻值为的定值电阻，水平导轨处只存在竖直向上的匀强磁场，倾斜导轨处只存在垂直导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为2T。倾斜导轨顶端与水平导轨最右端的高度差为、水平间距为。两质量均为、阻值均为的导体棒垂直静置在两段水平导轨上，某时刻给导体棒1一水平向左的初速度，一段时间后导体棒2刚好由倾斜导轨上端无碰撞地滑上倾斜导轨。已知导体棒2与倾斜导轨间的动摩擦因数为，在导轨上运动过程导体棒始终与导轨垂直且接触良好，忽略空气阻力，重力加速度。求：

（1）倾斜导轨与水平面间夹角α的正切值；

（2）导体棒2离开水平导轨前的瞬间，导体棒1的加速度大小；

（3）整个过程系统产生的电热和因摩擦产生的热量。

5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨的动摩擦因数均为。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度，重力加速度为g，以上物理量除未知外，其余的均已知。求

（1）当cd棒速度满足什么条件时？导体棒ab会相对于导轨运动；

（2）若已知且满足第（1）问的条件，从ab棒开始运动到速度最大，用时为t，求ab棒的最大速度；

（3）若已知且满足第（1）问的条件，从ab棒开始运动到速度最大，cd棒产生的焦耳热为Q，用字母表示ab棒的最大速度，用表示此时cd棒的速度。ab棒达到最大速度时，cd棒的位移是多少？

6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两条间距的平行金属导轨水平放置，导轨左端接一电容的电容器，右端接一阻值为的定值电阻，图中的各虚线均与导轨垂直。导轨的和段光滑，其余部分粗糙，为绝缘棒，连接导轨的左、右两部分。左侧区域和右侧区域有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度均为。质量为的金属棒甲垂直放在导轨的位置，质量为的金属棒乙垂直放在导轨位置。某时刻给金属棒甲施加与导轨平行的恒力F，当金属棒甲运动到位置时撤去拉力，金属棒甲继续向右运动与静止在处的金属棒乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短），最终金属棒甲恰好停在（绝缘部分）。已知两金属棒与导轨之间的动摩擦因数均为，与的距离为，与的距离为，与的距离为，与的距离为，两金属棒运动中始终与导轨垂直且接触良好，两金属棒电阻不计，重力加速度g取，求：

（1）金属棒甲与乙碰后，甲的速度大小；

（2）恒力F的大小；

（3）金属棒乙离开磁场时的速度以及乙穿过磁场过程中电阻R上产生的焦耳热。（结果可带根号）

7．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）如图甲所示，两根与水平面成角的足够长光滑金属导轨平行放置，导轨间距为，导轨的电阻忽略不计。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面斜向上。现将质量相等、电阻均为的金属棒a、b垂直于导轨放置，导轨与金属棒接触良好，金属棒a固定，对金属棒b施加沿导轨向上的恒力F，使得金属棒b向上加速运动直至获得最大速度。改变力F，金属棒b获得的最大速度不同，金属棒b获得的最大速度v与恒力F的关系如图乙所示。不计一切摩擦，重力加速度g取。求：

（1）求每根金属棒的质量m和磁感应强度B的大小；

（2）若恒力大小为，将金属棒a、b同时由静止释放。从静止释放到a刚开始匀速运动的过程中，a产生的焦耳热为，求这个过程流过金属棒a的电量q。

8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期末）如图所示，M1M2与P1P2是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L1＝1m，M1M2P2P1区域内存在垂直于导轨所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1T。N1N2与Q1Q2也是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为L2＝0.5m，并用导线分别与M1M2、P2P1相连接，N1N2Q2Q1区域内存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2T．在M1M2P2P1区域放置导体棒G，其质量m1＝2kg、电阻R1＝1Ω、长度为L1＝1m，在N1N2Q2Q1区域内放置导体棒H，其质量m2＝1kg、电阻R2＝1Ω、长度为L2＝0.5m。刚开始时两棒都与导轨垂直放置，且导体棒H被锁定，两个区域导轨都足够长、不计电阻且棒始终与导轨接触良好。

（1）要想使导体棒G在水平向右的外力作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，请写出力F与时间t的关系式；

（2）若在导体棒G上施加水平向右的F1＝5N的外力，在作用t1＝5s后达到最大速度，求此过程中导体棒G的位移大小；

（3）若导体棒G在水平向右的外力F作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2m/s2的匀加速直线运动，运动t2＝6s后将力F撤去，同时将导体棒H解锁，求从撤去外力到导体棒H获得最大速度的过程中导体棒H产生的热量；

（4）若开始时导体棒H即解除锁定，导体棒G一直在外力F作用下向右做a＝2m/s2的匀加速直线运动，求电路稳定后两棒的速度满足的关系式。

9．（2023·浙江宁波·校联考二模）如图甲所示，倾角粗糙斜面上放置矩形金属框，质量。其中水平边，阻值均为；足够长，电阻不计。空间中存在方向垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。一质量、阻值、长的光滑导体棒ab放置在金属框上，并平行MN边。时刻，在平行斜面的外力F作用下从位置由静止开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置在坐标原点O处，导体棒ab的速度随时间变化的图像是如图乙所示的正弦曲线，正弦曲线的周期。导体棒ab始终以垂直的方向运动，金属框始终保持静止。求：

（1）导体棒ab在0至0.25T内通过的电量；

（2）MN边在一个周期内产生的焦耳热；

（3）在0至0.25T内外力F的冲量；

（4）已知简谐运动的回复力系数，求矩形金属框受到的摩擦力与外力F等大同向时导体棒的位置。

10．（2023·湖北·高三统考期末）如图所示，与是一组足够长的平行光滑导轨，间距，、倾斜，、在同一水平面内，与垂直，、处平滑连接。水平导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度。质量、电阻、长度为的硬质导体棒静止在水平轨道上，与完全相同的导体棒从距水平面高度的倾斜轨道上由静止释放，最后恰好不与棒相撞，运动过程中、棒始终与导轨垂直且接触良好。不计其它电阻和空气阻力，重力加速度。

（1）求棒刚进入磁场时，棒所受的安培力；

（2）求整个过程中通过棒的电荷量及棒距离的初始距离；

（3）、棒稳定后，在释放棒的初始位置由静止释放相同的棒，所有棒运动稳定后，在同一位置再由静止释放相同的棒，所有棒运动再次稳定后，依此类推，逐一由静止释放、、…。当释放的棒最终与所有棒运动稳定后，求从棒开始释放到与所有棒运动保持相对稳定时，棒上产生的焦耳热，并算出时棒上产生的总焦耳热。

11．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）如图所示电路中，AD、CN为平行金属导轨，相距L以为分界线,左侧光滑，右侧粗糙，左右两侧一定距离处各有一金属导体棒P1和P2。导轨用导线和外侧电源相接，S为开关。DE、NG为光滑的绝缘连接轨道。EF、GH为足够长的光滑平行金属导轨、相距2L，其上有金属导体棒P3，整个装置位于水平面上，导轨AD、CN之间、EF、GH之间都有匀强磁场。磁感应强度均为为，导体棒P1、P2、P3；质量分别为m，2m，2m，在整个过程中接入电路的有效电阻不变，阻值分别为R、2R、2R，均垂直的置于金属导轨上，P1、P2与粗糙导轨间动摩擦内数为。现将开关K闭合瞬间又马上断开，金属P1获得瞬时速度开始在导轨上运动。（导体棒启动瞬间，不计摩擦的影响）。重力加速度为g。导轨电阻不计，求：

（1）开关闭合瞬间，通过导体棒P1的电荷量q；

（2）当金属棒P1以速度通过边界时，金属棒P2恰好以速度到达连接点D、N，则P1运动了多长时间到边界；

（3）金属棒P2以速度冲上平行导轨EF、GH后，撤走P1，为使P2与P3不碰撞，P3至EG的距离至少为多少？如果两者恰好没有碰撞，P3导体棒上有多少焦耳热生成？

12．（2023·云南·统考一模）如图所示，AD与为与水平面成倾角的无限长平行金属导轨，DC与为与水平面成倾角的平行金属导轨，两组导轨的间距均为，导轨电阻忽略不计。质量为、电阻为的导体棒ab置于右侧倾斜导轨上，电阻为的导体棒cd初始时被锁定在左侧导轨上。导体棒ab、cd与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。右侧导轨处于竖直向上的匀强磁场中，左侧导轨处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度均为。初始时刻，棒ab在倾斜导轨上恰好不下滑。（g取，）

（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数；

（2）解除锁定使棒cd由静止释放，当棒cd的质量不超过多大时，棒ab始终处于静止状态?（导体棒cd运动过程中，棒ab、cd一直与平行，结算结果保留一位小数）

（3）若棒cd的质量取第（2）问中的最大值，由静止释放开始计时，当时棒cd已经处于匀速直线运动状态，求在这内棒ab上产生的焦耳热。（结算结果取一位小数）

（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。

（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；

（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x；

（3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。